1、8.38.3 简单几何体的表面积与体积简单几何体的表面积与体积 8 8. .3.13.1 棱柱棱柱、棱锥棱锥、棱台的表面积和体积棱台的表面积和体积 1正方体的表面积为 96，则正方体的体积为( ) A48 6 B64 C16 D96 答案 B 2已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为 2，体对角线长为 4，则这个棱柱的表面积是( ) A8 B16 2 C812 2 D816 2 答案 D 3一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为 23，则棱柱与棱锥的体积之比为( ) A.12 B2 C.13 D3 答案 B 解析 设棱柱的高为 h，底面积为 S，则棱锥的高为 h，底面积为32S，故二者的体
2、积之比为V1V2Sh1332Sh212. 4.如图，ABCABC是体积为 1 的三棱柱，则四棱锥 CAABB 的体积是( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 C 解析 V三棱锥CABC13V三棱柱ABCABC13， V四棱锥CAABB11323. 5(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上下两部分的高之比为 12，则关于上下两几何体的说法正确的是( ) A侧面积之比为 14 B侧面积之比为 18 C体积之比为 127 D体积之比为 126 答案 BD 解析 依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台， 所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为 13，高之比为 13，
3、 所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为 19，体积之比为 127， 即小棱锥与棱台的侧面积之比为 18，体积之比为 126. 6棱长都是 3 的三棱锥的表面积 S 为_，体积为_ 答案 9 3 9 24 解析 因为三棱锥的四个面是全等的正三角形， 所以 S434329 3. 如图所示，BE3323 32， BO3 3223 3， AO32 32 6， 体积为 V133432 69 24. 7 正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2， 侧棱长为 3， D 为 BC 的中点， 则三棱锥 AB1DC1的体积为_ 答案 1 解析 正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 3，D 为 B
4、C 的中点， 底面 B1DC1的面积为122 3 3. 三棱锥 AB1DC1的高就是底面正三角形的高 3. 三棱锥 AB1DC1的体积为13 3 31. 8一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为 8 cm 和 18 cm，侧棱长为 13 cm，则其表面积为_ cm2. 答案 1 012 解析 易知正四棱台侧面为等腰梯形， 其高为 1325212， 所以正四棱台的表面积 S412(818)12821821 012(cm2) 9现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为 9 和 15，高是 5，求该直四棱柱的侧面积、表面积 解 如图，设底面对角线 ACa，BDb，交点为 O， 体对角
5、线 A1C15，B1D9， a252152，b25292， a2200，b256. 该直四棱柱的底面是菱形， AB2AC22BD22a2b2420056464， AB8. 直四棱柱的侧面积 S侧485160. 直四棱柱的底面积 S底12AC BD20 7. 直四棱柱的表面积 S表160220 716040 7. 10.如图， 正六棱锥被过棱锥高 PO 的中点 O且平行于底面的平面所截， 得到正六棱台 OO和较小的棱锥 PO. (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥 PO 的侧棱长为 12 cm，小棱锥的底面边长为 4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积 解 (1)由题意
6、知 S小棱锥侧S大棱锥侧14，则 S大棱锥侧S小棱锥侧S棱台侧413. (2)如图所示，小棱锥的底面边长为 4 cm， 大棱锥的底面边长为 8 cm， 又 PA12 cm，A1A6 cm. 又梯形 ABB1A1的高 h 62224 2(cm)， S棱台侧64824 2144 2(cm2)， S棱台表S棱台侧S上底S下底144 224 396 3(144 2120 3)(cm2) 11.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为 1 m2，互相平行的两个侧面的距离为 1 m，则这个六棱柱的体积为( ) A.3 34 m3 B.34 m3 C1 m3 D.12 m3 答案 B 解析 设正六棱柱的底面边
7、长为 a m，高为 h m，则 2ah1， 3a1，解得 a33，h32，所以六棱柱的体积 V3433263234(m3) 12侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a 时，该三棱锥的表面积是( ) A.3 34a3 B.34a3 C.3 32a3 D.6 34a2 答案 A 解析 如图，PA，PB，PC 两两垂直且 PAPBPC， ABC 为等边三角形，ABa， PAPBPC22a， 表面积为34a21222a2334a234a23 34a2. 13已知正四棱锥底面正方形的边长为 4，高与斜高的夹角为 30 ，则正四棱锥的表面积为_，体积为_ 答案 48 32 33 解析 如图，正四
8、棱锥的高、斜高、底面边心距组成 RtPOE， OE2，OPE30 ， 斜高 PEOEsin 302124， PO2 3， S棱锥侧1244432，S棱锥表321648. V13442 332 33. 14.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 MEFGH 的体积为_ 答案 112 解析 连接 AD1，CD1，B1A，B1C，AC(图略)， E，H 分别为 AD1，CD1的中点， EHAC，EH12AC. F，G 分别为 B1A，B1C 的中点， FGAC，FG12AC， EHFG，EHFG，四
9、边形 EHGF 为平行四边形， 又 EGHF，EHHG，四边形 EHGF 为正方形 又四棱锥 MEFGH 的高为12， 四棱锥 MEFGH 的体积为1322212112. 15.有一塔形几何体由 3 个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为 2，则该塔形几何体的表面积为_ 答案 36 解析 易知由下向上三个正方体的棱长依次为 2， 2，1， S表222422( 2)21236. 该几何体的表面积为 36. 16在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 为梯形，ABCD,2AB3CD，M 为 AE 的中点，设EABCD 的体积为 V，那么三棱锥 MEBC 的体积为多少？ 解 设点 B 到平面 EMC 的距离为 h1，点 D 到平面 EMC 的距离为 h2， 连接 MD，因为 M 是 AE 的中点， 所以 VMABCD12V， 所以 VEMBC12VVEMDC. 而 VEMBCVBEMC，VEMDCVDEMC， 所以VEMBCVEMDCVBEMCVDEMCh1h2. 因为 B，D 到平面 EMC 的距离即为到平面 EAC 的距离，而 ABCD，且 2AB3CD， 所以h1h232. 所以 VEMBCVMEBC310V.