1、7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义复数的加、减运算及其几何意义 A 组 素养自测 一、选择题 1若复数 z 满足 z(34i)1，则 z 的虚部是( ) A2 B4 C3 D4 2设 xR，则“x1”是“复数 z(x21)(x1)i 为纯虚数”的( ) A充分必要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 3如图，在复平面内，复数 z1，z2对应的向量分别是OA，OB，则复数 z1z2( ) A12i B22i C12i D12i 4 复平面上三点 A，B， C 分别对应复数 1,2i,52i， 则由 A，B， C 所构成的三角形是( ) A直角三角形 B等腰三角形
2、 C锐角三角形 D钝角三角形 5(多选)设复数 z 满足 z|z|2i，那么( ) Az 的虚部为 i Bz 的虚部为 1 Cz34i Dz34i 二、填空题 6计算|(3i)(12i)(13i)|_. 7设 z1x2i，z23yi(x，yR)，且 z1z256i，则 z1z2_. 8已知|z| 5，且 z24i 为纯虚数，则复数 z_. 三、解答题 9已知 z1(3xy)(y4x)i，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)，设 zz1z2132i，求 z1，z2 10(1)若|z1|z2|1，且|z1z2| 2，求|z1z2|. (2)设向量OZ1及OZ2在复平面内分别与复数 z153i
3、 及复数 z24i 对应，试计算 z1z2，并在复平面内表示出来. B 组组 素养提升素养提升 一、选择题 1已知|z|3，且 z3i 是纯虚数，则 z 等于( ) A3 B3 C3i D3i 2ABCD 中，点 A、B、C 分别对应复数 4i、34i、35i，则点 D 对应的复数是( ) A23i B48i C48i D14i 3 已知复数 z1(a22)3ai， z2a(a22)i， 若 z1z2是纯虚数， 那么实数 a 的值为( ) A1 B2 C2 D2 或 1 4设复数 z 满足|z34i|1，则|z|的最大值是( ) A3 B4 C5 D6 二、填空题 5在平行四边形 OABC 中
4、，各顶点对应的复数分别为 z00，zA2a2i，zB2a3i，zCbai，则实数 ab 为_. 6已知 z1，z2C，|z1z2|2 2，|z1|2，|z2|2，则|z1z2|为_. 三、解答题 7已知复平面内平行四边形 ABCD，A 点对应的复数为 2i，向量BA对应的复数为 12i，向量BC对应的复数为 3i，求： (1)点 C，D 对应的复数； (2)平行四边形 ABCD 的面积. 8已知|z|2，求|z1 3i|的最大值和最小值. 参考答案 A 组组 素养自测素养自测 一、选择题 1 【答案】B 【解析】z1(34i)24i，故选 B 2 【答案】A 【解析】z 是纯虚数 x210，x
5、10，x1，故选 A 3 【答案】B 【解析】OA(2，1)，OB(0,1)， z12i，z2i， z1z222i. 4 【答案】A 【解析】|AB|2i1| 5，|AC|42i| 20，|BC|5， |BC|2|AB|2|AC|2故选 A 5 【答案】BD 【解析】设 zxyi(x，yR)，则 xyi x2y22i， x x2y22，y1，解得 x34，y1，z34i. z 的虚部为 1 二、填空题 6 【答案】5 【解析】|(3i)(12i)(13i)|(2i)(13i)|34i| 32425 7 【答案】110i 【解析】z1z256i， (x2i)(3yi)56i， x35，2y6，即
6、 x2，y8， z122i，z238i， z1z2(22i)(38i)110i. 8 【答案】2 i 【解析】设复数 zxyi(x，yR)， 则 z24i(x2)(y4)i. 由题意知 x20，y40，x2y25， x2，y1或 x2，y1，z2 i. 三、解答题 9解：zz1z2(3xy)(y4x)i(4y2x)(5x3y)i (3xy)(4y2x)(y4x)(5x3y)i (5x3y)(x4y)i， 又z132i，且 x，yR， 5x3y13，x4y2，解得 x2，y1， z1(321)(142)i59i， z24(1)225 23 (1)i 87i. 10解：(1)|z1z2|和|z1z
7、2|是以OZ1和OZ2为两邻边的平行四边形的两条对角线的长. 如图所示，由|z1|z2|1，|z1z2| 2，知四边形为正方形， 另一条对角线的长|z1z2| 2. (2)z1z2(53i)(4i)(54)(31)i12i. 如图所示，Z2Z1即为 z1z2所对应的向量. 根据复数减法的几何意义： 复数 z1z2是连接向量OZ1， OZ2的终点， 并指向被减数的向量Z2Z1所对应的复数. B 组组 素养提升素养提升 一、选择题 1 【答案】D 【解析】设 zxyi，x，yR， 则 z3ix(y3)i.因为 z3i 是纯虚数， 所以 x0，y30.又因为|z| x2y23，解得 x0，y3，即
8、z3i. 2 【答案】C 【解析】AB对应的复数为(34i)(4i)(34)(41)i13i， 设点 D 对应的复数为 z，则DC对应的复数为(35i)z. 由平行四边形法则知ABDC， 13i(35i)z， z(35i)(13i)(31)(53)i48i.故应选 C 3 【答案】C 【解析】由 z1z2a22a(a23a2)i 是纯虚数，得 a22a0，a23a20a2 4 【答案】D 【解析】因为|z34i|1，所以复数 z 所对应点在以 C(3,4)为圆心，半径为 1 的圆上，由几何性质得|z|的最大值是 324216 二、填空题 5 【答案】4 【解析】因为OAOCOB， 所以 2a2
9、i(bai)2a3i， 所以 2b2a，a2a3，得 ab4 6 【答案】2 2 【解析】由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应 z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1z2|2 2. 三、解答题 7解：(1)因为向量BA对应的复数为 12i，向量BC对应的复数为 3i， 所以向量AC对应的复数为(3i)(12i)23i. 又OCOAAC， 所以点 C 对应的复数为(2i)(23i) 42i. 因为ADBC， 所以向量AD对应的复数为 3i， 即AD(3，1). 设 D(x，y)，则AD(x2，y1)(3，1)， 所以 x23，y11，解得 x5，y0. 所以点 D 对应的复数为 5 (2)因为BA BC|BA|BC|cosB， 所以 cosBBA BC|BA|BC|325 10210. 所以 sinB7 210. 所以 S|BA|BC|sinB 5 107 2107， 所以平行四边形 ABCD 的面积为 7 8解：设 zxyi，则由|z|2 知 x2y24， 故 z 对应的点在以原点为圆心，2 为半径的圆上， |z1 3i|表示圆上的点到点(1， 3)的距离. 又点(1， 3)在圆 x2y24 上， 圆上的点到点(1， 3)的距离的最小值为 0，最大值为圆的直径 4， 即|z1 3i|的最大值和最小值分别为 4 和 0