1、8.18.1 基本立体图形基本立体图形 第一课时第一课时 多面体多面体 基础达标 一、选择题 1.四棱柱有几条侧棱，几个顶点( ) A.四条侧棱、四个顶点 B.八条侧棱、四个顶点 C.四条侧棱、八个顶点 D.六条侧棱、八个顶点 解析 四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得). 答案 C 2.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是( ) A.是棱柱 B.不是棱锥 C.不是棱锥 D.是棱台 解析 结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知是棱柱，是棱锥，是棱台，不是棱锥，故 B 错误. 答案 B 3.如图所示， 在三棱台ABCABC中， 截去三棱锥AABC， 则剩余部分是( ) A.三棱锥
2、B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体 解析 余下部分是四棱锥 ABCCB. 答案 B 4.五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( ) A.20 B.15 C.12 D.10 解析 如图， 在五棱柱 ABCDEA1B1C1D1E1中， 从顶点 A 出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从 B，C，D，E 点出发的对角线均有两条，共 2510(条). 答案 D 5.棱台不具备的特点是( ) A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点 解析 由于棱锥的侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱都相等的说法是错误的.
3、答案 C 二、填空题 6.若棱台上、 下底面的对应边之比为 12， 则上、 下底面的面积之比是_. 解析 由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积之比为对应边之比的平方. 答案 14 7.一个棱柱有 10 个顶点，所有的侧棱长的和为 60 cm，则每条侧棱长为_ cm. 解析 因棱柱有 10 个顶点，所以该棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为60512(cm). 答案 12 8.如图，M 是棱长为 2 cm 的正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 CC1的中点，沿正方体表面从点 A 到点 M 的最短路程是_cm. 解析 由题意，若以 BC 为轴展开，则 A，M 两点连成的线段所
4、在的直角三角形的两直角边的长度分别为 2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 13 cm.若以 BB1为轴展开，则 A，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm， 4 cm， 故两点之间的距离是 17 cm.故沿正方体表面从点 A 到点 M 的最短路程是 13 cm. 答案 13 三、解答题 9.如图所示的是一个长方体 ABCDA1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 解 (1)是棱柱， 并且是四棱柱， 因
5、为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义. (2)截面 BCNM 的上方部分是三棱柱 BB1MCC1N，下方部分是四棱柱 ABMA1DCND1. 10.如图，在边长为 2a 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，BC 的中点，沿图中虚线将 3 个三角形折起，使点 A，B，C 重合，重合后记为点 P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ (3)每个面的三角形面积为多少？ 解 (1)如图，折起后的几何体是三棱锥. (2)这个几何体共有 4 个面，其中DE
6、F 为等腰三角形，PEF 为等腰直角三角形，DPE 和DPF 均为直角三角形. (3)SPEF12a2， SDPFSDPE122aaa2， SDEFS正方形ABCDSPEFSDPFSDPE(2a)212a2a2a232a2. 能力提升 11.从正方体 ABCDA1B1C1D1的 8 个顶点中任意取 4 个不同的顶点，这 4 个顶点可能是： (1)矩形的 4 个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的 4 个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的 4 个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的 4 个顶点. 其中正确结论的个数为_. 解析 如图所示：四边形 AB
7、CD 为矩形，故(1)满足条件；四面体 DA1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故(2)满足条件；四面体 DB1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件；四面体 CB1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件；故正确的结论有 4 个.故答案为 4. 答案 4 12.如图， 在三棱锥VABC中， VAVBVC4， AVBAVCBVC30 ，过点 A 作截面AEF，求AEF 周长的最小值. 解 将三棱锥沿侧棱 VA 剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求AEF 周长的最小值. AVBA1VCBVC30 ，AVA
8、190 . 又 VAVA14，AA14 2. AEF 周长的最小值为 4 2. 创新猜想 13.(多选题)下列说法错误的是( ) A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥 B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 解析 选项 A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故 A错误；选项 B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平
9、行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故 B 错误；选项 C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360 时， 各侧面构成平面图形， 故这个棱锥不可能为六棱锥， 故 C 错误； 选项 D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故 D 正确. 答案 ABC 14.(多空题、开放题)如图所示的是一个三棱台 ABCA1B1C1， (1) 如 果 把 这 个 三 棱 台 截 成 三 个 三 棱 锥 ， 则 这 三 个 三 棱 锥 分 别 是_(答案不唯一，写出一种情况即可). (2)如果把这个三棱台截成两个多面体，则这两个多面体可以是_(答案不唯一). 解析 (1)如图所示，所截成的三个三棱锥分别是 A1ABC，A1BB1C1，A1BCC1. 图 (2)用平行于三棱台的底面的平面去截，可以得到两个三棱台，也可以截成一个三棱柱和一个五面体，如图所示，也可以截成一个三棱锥和一个五面体，如图所示. 图 图 答案 (1)A1ABC，A1BB1C1，A1BCC1(答案不唯一) (2)两个三棱台(答案不唯一，也可以是一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个五面体)