1、7.1.27.1.2 复数的几何意义复数的几何意义 基础达标 一、选择题 1.设 z34i，则复数 z1z|z|(1i)在复平面内的对应点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 z34i，|z|32425， z134i5(1i)(351)(41)i35i. 复数 z1在复平面内的对应点在第二象限. 答案 B 2.当23m1 时，复数 z(3m2)(m1)i 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 复数 z 在复平面内对应的点为 Z(3m2，m1). 由23m0，m10.所以点 Z 位于第四象限.故选 D. 答案
2、 D 3.在复平面内，O 为原点，向量OA对应的复数为12i，若点 A 关于直线 yx 的对称点为 B，则向量OB对应的复数为( ) A.2i B.2i C.12i D.12i 解析 A(1，2)关于直线 yx 的对称点为 B(2，1)，向量OB对应的复数为2i. 答案 B 4.设 A，B 为锐角三角形的两个内角，则复数 z(cos Btan A)itan B 对应的点位于复平面的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 因 A，B 为锐角三角形的两个内角，所以 AB2，即 A2B，sin Acos B.cos Btan Acos Bsin Acos Acos Bs
3、in A0，又 tan B0，所以点(cos Btan A，tan B)在第二象限，故选 B. 答案 B 5.已知 z153i，z254i，下列选项中正确的是( ) A.z1z2 B.z1z2 C.|z1|z2| D.|z1|z2| 解析 |z1|53i|5232 34， |z2|54i| 5242 41， 34 41，|z1|z2|. 答案 D 二、填空题 6.若复数 z11i，z235i，则复平面上与 z1，z2对应的点 Z1与 Z2的距离为_. 解析 z11i 对应的点为 Z1(1，1)，z235i 对应的点为 Z2(3，5)，由两点间距离公式得 （31）2（51）22 5. 答案 2
4、5 7.若复数(6k2)(k24)i(kR)所对应的点在第三象限，则 k 的取值范围是_. 解析 复数对应的点位于第三象限， k260，4k20，2k 6或 6k2. 答案 ( 6，2)(2， 6) 8.复数 z1a2i，z22i，如果|z1|z2|，那么实数 a 的取值范围是_. 解析 因为|z1| a24，|z2| （2）212 5. 又因|z1|z2|，所以a24 5，解得1a1. 答案 (1，1) 三、解答题 9.设复数 zlg(m22m14)(m2m6)i，求当实数 m 为何值时： (1)z 为实数； (2)z 对应的点位于复平面内的第二象限. 解 (1)由题意得m2m60，m22m
5、140， 解得 m3(m2 舍去).故当 m3 时，z 是实数. (2)由题意得lg（m22m14）0，m2m60， 即0m22m141，m2m60. 即m22m140，m22m150，m2m60， 得m1 15或m1 15，5m3，m2或m3. 解得5m1 15. 故当5m1 15时，z 对应的点位于复平面内的第二象限. 10.已知 z134i，|z|2，求|zz1|的最大值和最小值. 解 如图，|z|2 表示复数 z 对应的点在以(0，0)为圆心，2 为半径的圆上，而 z1在坐标系中的对应点的坐标为(3，4)，|zz1|可看作是点(3，4)到圆上的点的距离. 由图可知，点(3，4)到圆心(
6、即原点)的距离为（3）2425，故|zz1|max527，|zz1|min523. 能力提升 11.若复数 35i， 1i 和2ai 在复平面上对应的点在同一条直线上， 则实数 a的值为_. 解析 由题意知点(3，5)，(1，1)，(2，a)共线，可得 a5. 答案 5 12.已知 x 为实数，复数 zx2(x2)i. (1)当 x 为何值时，复数 z 的模最小？ (2)当复数 z 的模最小时，复数 z 在复平面内对应的点 Z 位于函数 ymxn 的图象上，其中 m0，n0，求1m1n的最小值及取得最小值时 m，n 的值. 解 (1)|z|（x2）2（x2）2 2x282 2， 当且仅当 x0
7、 时，复数 z 的模最小，为 2 2. (2)当复数 z 的模最小时，Z(2，2). 又点 Z 位于函数 ymxn 的图象上，所以 2mn2. 又 m0，n0，所以1m1n1m1n mn232mnn2m32 2，当且仅当 n22m2时等号成立. 又 2mn2，m0，n0，所以 m2 2，n2 22. 所以1m1n的最小值为32 2，此时 m2 2，n2 22. 创新猜想 13.(多选题)已知 z1，z2是复数，以下结论错误的是( ) A.若 z1z20，则 z10，且 z20 B.若|z1|z2|0，则 z10，且 z20 C.若|z1|z2|，则向量OZ1和OZ2重合 D.若|z1z2|0，则z1z2 解析 A 中 z1z20 只能说明 z1z2；B 中|z1|z2|0，说明|z1|z2|0，即z1z20；C 中|z1|z2|，说明|OZ1|OZ2|，但OZ1与OZ2方向不一定相同；D 中|z1z2|0，则 z1z2，故z1z2；故错误的为 A，C 选项. 答案 AC 14.(多空题)复数 za21(a1)i(aR)是纯虚数，则 a_，|z|_. 解析 复数 za21(a1)i 是纯虚数， a210，a10，解得 a1， z2i，|z|2. 答案 1 2