1、7.27.2 复数的四则运算复数的四则运算 7 7. .2.12.1 复数的加复数的加、减运算及其几何意义减运算及其几何意义 1已知 z56i34i，则复数 z 为( ) A420i B210i C820i D220i 答案 B 解析 z34i(56i)(35)(46)i210i. 2复数(3mi)(2i)对应的点在第四象限内，则实数 m 的取值范围是( ) Am23 Bm1 C.23m1 答案 B 解析 (3mi)(2i)3mi2i1(m1)i， m10，m1. 3已知复数 z 对应的向量如图所示，则复数 z1 所对应的向量正确的是( ) 答案 A 解析 由图可知 z2i， 所以 z11i，
2、 则复数 z1 所对应的向量的坐标为(1,1) 故选 A. 4若 z12i，z23ai(aR)，且 z1z2所对应的点在实轴上，则 a 的值为( ) A3 B2 C1 D1 答案 D 解析 z1z22i3ai(23)(1a)i 5(1a)i. z1z2所对应的点在实轴上， 1a0，a1. 5如果一个复数与它的模的和为 5 3i，那么这个复数是( ) A.115 B. 3i C.115 3i D.1152 3i 答案 C 解析 设这个复数为 abi(a，bR)， 则|abi| a2b2. 由题意知 abi a2b25 3i， 即 a a2b2bi5 3i， a a2b25，b 3，解得 a115
3、，b 3. 所求复数为115 3i. 6已知 z1(3xy)(y4x)i(x，yR)，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)设 zz1z2，且 z132i，则 z1_，z2_. 答案 59i 87i 解析 zz1z2(3xy4y2x)(y4x5x3y)i(5x3y)(x4y)i132i. 5x3y13，x4y2，解得 x2，y1. z159i，z287i. 7已知|z|4，且 z2i 是实数，则复数 z_. 答案 2 32i 解析 因为 z2i 是实数，所以可设 za2i(aR)， 由|z|4 得 a2416， 所以 a212，所以 a 2 3， 所以 z 2 32i. 8设 f(z)z3
4、i|z|，若 z124i，z25i，则 f(z1z2)_. 答案 33 2 解析 z1z233i，故 f(z1z2)f(33i)3|33i|33 2. 9计算：(1)212i 122i ； (2)(32i)( 32)i； (3)(12i)(ii2)|34i|； (4)(63i)(32i)(34i)(2i) 解 (1)原式212122 i5252i； (2)(32i)( 32)i3(2 32)i3 3i； (3)(12i)(ii2)|34i|12ii1553i； (4)(63i)(32i)(34i)(2i)633(2)32(4)1i82i. 10已知 z022i，|zz0| 2. (1)求复数
5、z 在复平面内对应的点 Z 的集合是什么图形？ (2)求|z|的最小值和最大值 解 (1)设由 z022i，知 Z0(2,2)， 由|zz0| 2，知复平面内点 Z 到点 Z0的距离为 2， 所以复数 z 对应的点 Z 的集合是以 Z0(2,2)为圆心，半径为 2的圆，如图所示 (2)当 z 对应的 Z 点在 OZ0的连线上时，|z|有最大值或最小值 因为|OZ0|2 2，半径 r 2， 所以|z|min 2，|z|max3 2. 11在复平面内点 A，B，C 所对应的复数分别为 13i，i，2i，若ADBC，则点 D 对应的复数是( ) A13i B3i C35i D53i 答案 C 解析
6、点 A，B，C 对应的复数分别为 13i，i,2i， BC对应的复数为 2i(i)22i. 设点 D 对应的复数为 xyi(x，yR)， AD对应的复数为 x1(y3)i， 又ADBC，x1(y3)i22i， 由复数相等得 x12，y32， x3，y5. 点 D 对应的复数为 35i. 12复数 z11icos ，z2sin i，则|z1z2|的最大值为( ) A32 2 B. 21 C32 2 D. 21 答案 D 解析 |z1z2|(1sin )(cos 1)i| 1sin 21cos 2 32cos sin 32 2cos4. 1cos41， |z1z2|max32 2 21. 13在复
7、平面内，O 是原点，OA，OC，AB对应的复数分别为2i，32i,15i，那么BC对应的复数为_ 答案 44i 解析 因为OA， OC， AB对应的复数分别为2i,32i,15i， 且BCOCOBOC(OAAB)，所以BC对应的复数为 32i(2i)(15i)44i. 14设实数 x，y， 满足以下关系：xyi35cos i(45sin )，则 x2y2的最大值是_ 答案 100 解析 因为 xyi(35cos )i(45sin )， 所以 x2y2(35cos )2(45sin )2 5030cos 40sin 5050cos()， 其中 sin 45，cos 35. 又1cos()1，所以
8、(x2y2)max5050100. 15已知复数|z|1，则复数 34iz 的模的最大值为_，最小值为_ 答案 6 4 解析 令 34iz， 则 z(34i) |z|1，|(34i)|1， 复数 在复平面内对应的点表示以(3,4)为圆心，1 为半径的圆，如图，容易看出，圆上的点 A 所对应的复数 A的模最大， 为 324216； 圆上的点 B 所对应的复数 B的模最小，为 324214，复数 34iz 的模的最大值和最小值分别为 6 和 4. 16已知复平面内ABCD，A 点对应的复数为 2i，向量BA对应的复数为 12i，向量BC对应的复数为 3i，O 为坐标原点 (1)求点 C，D 对应的复数； (2)求ABCD 的面积 解 (1)向量BA对应的复数为 12i，向量BC对应的复数为 3i，ACBCBA， 向量AC对应的复数为(3i)(12i)23i. 又OCOAAC， 点 C 对应的复数为(2i)(23i)42i. ADBC，向量AD对应的复数为 3i， ADODOA，ODOAAD， 点 D 对应的复数为 2i3i5. (2)BA BC|BA|BC|cos B， cos BBA BC|BA|BC|325 1015 2210. sin B7 210. SABCD|BA|BC|sin B 5 107 2107， 故ABCD 的面积为 7.