1、7 7. .2.22.2 复数的乘、除运算复数的乘、除运算 基础达标 一、选择题 1.设复数 z 满足 iz1，其中 i 为虚数单位，则 z 等于( ) A.i B.i C.1 D.1 解析 z1ii. 答案 A 2.i 为虚数单位，1i1i31i51i7等于( ) A.0 B.2i C.2i D.4i 解析 1ii，1i3i，1i5i，1i7i，1i1i31i51i70. 答案 A 3.下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1i)2 B.i2(1i) C.(1i)2 D.i(1i) 解析 由(1i)22i 为纯虚数知选 C. 答案 C 4.复数（12i）234i( ) A.1 B.1
2、 C.i D.i 解析 （12i）234i34i34i1. 答案 A 5.若复数 za12ii(i 为虚数单位)的实部与虚部互为相反数，则实数 a( ) A.53 B.13 C.1 D.5 解析 za12iia（12i）（12i）（12i）ia52a51 i.由题意，知a52a510，解得 a53.故选 A. 答案 A 二、填空题 6.若复数 z 满足 i z12i，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为_. 解析 复数 z12ii(12i)(i)2i，实部是 2. 答案 2 7.已知 z 是纯虚数，z21i是实数，那么 z_. 解 析 设z bi(bR ， b0) ， 则z21ibi21i（
3、bi2）（1i）（1i）（1i）2b（b2）i22b2b22i 是实数，所以 b20，b2，所以 z2i. 答案 2i 8.已知关于 x 的方程 x2(12i)x3mi0 有实根，则实数 m_. 解析 设实根为 x0，则 x20(12i)x03mi0， 即(x20 x03m)(2x01)i0， 所以x20 x03m0，2x010，解得x012，m112. 答案 112 三、解答题 9.计算（1i）3（1i）3（1i）2（1i）2. 解 原式（1i）2（1i）（1i）2（1i）2i2i 2i（1i）2i（1i）4i4i4i1. 10.已知复数 z（1i）23（1i）2i，若 z2azb1i(a，
4、bR)，求 ab 的值. 解 z（1i）23（1i）2i2i33i2i3i2i1i， 又 z2azb1i， (1i)2a(1i)b1i， (ab)(2a)i1i，ab1. 能力提升 11.复数 z21 3i，则 1zz2_. 解析 z21 3i2（1 3i）（1 3i）（1 3i）1 3i21232i. 1zz211232i1232i211232i1 3i20. 答案 0 12.二次方程 x2(abi)xc0(a，b，cR). (1)求方程有相异两实根的条件； (2)求方程有一实根一虚根的条件. 解 (1)设原方程的相异两个实根为 ， 由根与系数的关系得（abi），c， a，b0. 当 b0
5、时，原方程化为 x2axc0，有相异两个实根的条件为 a24c0，b0. (2)设实根为 m，虚根为 z，则由根与系数的关系得 mzc，因此 mc0，方程化为 x(xabi)0，要使方程有虚根abi，只有 b0，综上，方程有一实根一虚根的条件是 c0，b0. 创新猜想 13.(多空题)已知 a，bR，(abi)234i(i 是虚数单位)，则 a2b2_，ab_. 解析 由已知(abi)234i， 即 a2b22abi34i.从而有a2b23，ab2， 解得a2，b1或a2，b1，则 a2b25，ab2. 答案 5 2 14.(多空题)定义运算a bc dadbc.若复数 x1i1i，y4i xi2 xi，则|x|_，y_. 解析 因为 x1i1i（1i）22i，则|x|1， 所以 y4i xi2 xi4i 12 04i 0122. 答案 1 2