1、7 7. .2 2 复数的四则运算复数的四则运算 7 7. .2.12.1 复数的加、减运算及其几何意义复数的加、减运算及其几何意义 基础达标 一、选择题 1.复数 z1212i，z2122i，则 z1z2等于( ) A.0 B.3252i C.5252i D.5232i 解析 z1z2212122 i5252i. 答案 C 2.若 z32i4i，则 z 等于( ) A.1i B.13i C.1i D.13i 解析 z4i(32i)13i. 答案 B 3.设 z12bi，z2ai(a，bR)，当 z1z20 时，复数 abi 为( ) A.1i B.2i C.3 D.2i 解析 由2a0，b1
2、0，得a2，b1.abi2i. 答案 D 4.已知复数 z1(a22)3ai，z2a(a22)i，若 z1z2是纯虚数，那么实数 a的值为( ) A.1 B.2 C.2 D.2 或 1 解析 由 z1z2a22a(a23a2)i 是纯虚数，得a22a0，a23a20，得 a2. 答案 C 5.如果复数 z 满足|z2i|z2i|4，那么|zi1|的最小值是( ) A.1 B. 2 C.2 D. 5 解析 设复数2i，2i，(1i)在复平面内对应的点分别为 Z1，Z2，Z3，因为|z2i|z2i|4，|Z1Z2|4，所以复数 z 对应的点 Z 的集合为线段 Z1Z2，如图所示，问题转化为：动点
3、Z 在线段 Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值. 因此作 Z3Z0Z1Z2于 Z0，则 Z3与 Z0的距离即为所求的最小值，|Z0Z3|1.故选A. 答案 A 二、填空题 6.若复数 z1z234i，z1z252i，则 z1_. 解析 两式相加得 2z182i，z14i. 答案 4i 7.设 f(z)z3i|z|，若 z124i，z25i，则 f(z1z2)_. 解析 z1z233i，f(z1z2)f(33i)3|33i|33 2. 答案 33 2 8.若|z2|z2|，则|z1|的最小值是_. 解析 由|z2|z2|，知 z 对应点的集合是到(2，0)与到(2，0)距离相等的点的集合，即虚
4、轴.|z1|表示 z 对应的点与(1，0)的距离.|z1|min1. 答案 1 三、解答题 9.一个复数与它的模的和为 5 3i，求这个复数. 解 设这个复数为 xyi(x，yR)， xyi x2y25 3i， x x2y25，y 3，x115，y 3.xyi115 3i. 10.计算：(1)(7i5)(98i)(32i)； (2)1312i (2i)4332i ； (3)已知 z123i，z212i，求 z1z2，z1z2. 解 (1)(7i5)(98i)(32i)7i598i32i (593)(782)i1i. (2)1312i (2i)4332i 1312i2i4332i 1324312
5、132i1i. (3)z1z223i(12i)15i， z1z223i(12i)3i. 能力提升 11.复平面内点 A，B，C 对应的复数分别为 i，1，42i，由 ABCD 按逆时针顺序作ABCD，则|BD|等于( ) A.5 B. 13 C. 15 D. 17 解析 如图， 设 D(x， y)， F 为ABCD 的对角线的交点， 则点 F 的坐标为2，32， 所以x14，y03，即x3，y3. 所以点 D 对应的复数为 z33i， 所以BDODOB(3，3)(1，0)(2，3)， 所以|BD| 13. 答案 B 12.已知复数 z1 2a1aiaR且a12，若复数 zz1|z1|1i 在复
6、平面内所对应的点在第二象限，求实数 a 的取值范围. 解 因为 z1 2a1ai， 所以|z1| a22a1|a1|. 又 a12，所以|a1|a1， 所以 z 2a1ai(a1)1i 2a1a(a1)i.因为 zz1|z1|1i在复平面内所对应的点在第二象限， 所以2a1a0，a10，a12，解得 a1 2， 所以实数 a 的取值范围为(1 2，). 创新猜想 13.(多空题)已知z1(3xy)(y4x)i(x， yR)， z2(4y2x)(5x3y)i(x， yR).设 zz1z2，且 z132i，则 z1_，z2_. 解析 zz1z2(3xy4y2x)(y4x5x3y)i(5x3y)(x4y)i132i. 5x3y13，x4y2，解得x2，y1. z159i，z287i. 答案 59i 87i 14.(多空题)已知复数|z|1，则复数 34iz 的模的最大值为_，最小值为_. 解析 令 34iz， 则 z(34i). |z|1，|(34i)|1， 复数 在复平面内对应的点的集合是以(3，4)为圆心，1 为半径的圆，如图，容易看出，圆上的点 A 所对应的复数 A的模最大，为 324216；圆上的点B 所对应的复数 B的模最小，为 324214，复数 34iz 的模的最大值和最小值分别为 6 和 4. 答案 6 4