1、7.17.1 复数的概念复数的概念 7 7. .1.11.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 1设 a，bR，则“a0”是“复数 abi 是纯虚数”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 B 解析 因为 a，bR，当“a0”时，“复数 abi 是纯虚数”不一定成立，也可能 b0，即 abi0R. 而当“复数 abi 是纯虚数”时，“a0”一定成立 所以 a，bR，“a0”是“复数 abi 是纯虚数”的必要不充分条件 2以3i 的虚部为实部，以 3ii2的实部为虚部的复数是( ) A1i B1i C33i D33i 答案 A 解析 3
2、i 的虚部为 1,3ii213i 的实部为1，故所求复数为 1i. 3在复平面内，复数 z(a22a)(a2a2)i(aR)是纯虚数，则( ) Aa0 或 a2 Ba0 Ca1 且 a2 Da1 或 a2 答案 B 解析 因为复数 z(a22a)(a2a2)i 是纯虚数， 所以 a22a0 且 a2a20，所以 a0. 4若 a，bR，i 是虚数单位，a2 020i2bi，则 a2bi 等于( ) A2 0202i B2 0204i C22 020i D42 020i 答案 D 解析 因为 a2 020i2bi， 所以 a2，b2 020，即 a2，b2 020， 所以 a2bi42 020i
3、. 5(多选)下列命题中错误的有( ) A若 x，yR，则 xyi1i 的充要条件是 xy1 B若复数 zR，则其虚部不存在 C若(z1z2)2(z2z3)20，则 z1z2z3 D若实数 a 与 ai 对应，则实数集与复数集一一对应 答案 BCD 解析 由复数相等的定义知 A 正确；实数的虚部为 0，故 B 错误；对于 C，只有当 z1，z2，z3R 时，才有 z1z2z3，否则不成立，故 C 错误；对于 D，a0 时，ai0，故 D 错误 6若实数 x，y 满足 xy(xy)i2，则 xy 的值是_ 答案 1 解析 由题意得 xy2，xy0， 所以 xy1，所以 xy1. 7若复数 zsi
4、n 2(1cos 2)i 是纯虚数，则 _. 答案 k2(kZ) 解析 由题意知 sin 20,1cos 20， 22k(kZ)，k2(kZ) 8如果(m21)(m22m)i1，则实数 m 的值为_ 答案 2 解析 由题意得 m22m0，m211，解得 m2. 9当实数 m 取什么值时，复数 z(m25m6)(m22m15)i 是下列数？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0. 解 由 m25m60，得 m2 或 m3， 由 m22m150，得 m5 或 m3. (1)当 m22m150 时，复数 z 为实数， m5 或 m3. (2)当 m22m150 时，复数 z 为虚数， m5
5、 且 m3. (3)当 m22m150，m25m60时，复数 z 是纯虚数， m2. (4)当 m22m150，m25m60时，复数 z 是 0， m3. 10分别求满足下列条件的实数 x，y 的值 (1)2x1(y1)ixy(xy)i； (2)x2x6x1(x22x3)i0. 解 (1)x，yR， 由复数相等的定义，得 2x1xy，y1xy， 解得 x3，y2. (2)xR， 由复数相等的定义，得 x2x6x10，x22x30， 即 x3或x2，且x1，x3或x1， x3. 11已知复数 za2(2a3)i(aR)的实部大于虚部，则实数 a 的取值范围是( ) A(1,3) B(，1)(3，
6、) C(3,1) D(，3)(1，) 答案 B 解析 由已知可得 a22a3，即 a22a30， 解得 a3 或 a1， 因此，实数 a 的取值范围是(，1)(3，) 12若复数 a2a2(|a1|1)i(aR)不是纯虚数，则( ) Aa1 Ba1 且 a2 Ca1 Da2 答案 C 解析 复数 a2a2(|a1|1)i(aR)不是纯虚数，则有 a2a20 或|a1|10，解得 a1. 13已知关于 x 的方程(x2mx)2xi22i(mR)有实数根 n，且 zmni，则复数 z 等于( ) A3i B3i C3i D3i 答案 B 解析 由题意知(n2mn)2ni22i， 即 n2mn2，2
7、n2，解得 m3，n1.z3i. 14使不等式 m2(m23m)i(m24m3)i10 成立的实数 m 的取值集合是_ 答案 3 解析 由已知，得 m23m0，m24m30，m210，解得 m3， 所以所求的实数 m 的取值集合是3 15若复数 zcos 45sin 35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则 tan4的值为( ) A7 B17 C7 D7 或17 答案 C 解析 复数 zcos 45sin 35i 是纯虚数， cos 450，sin 350， sin 35，tan 34， tan4tan 11tan 3411347. 16 已知复数 z14m2(m2)i， z22sin (cos 2)i(其中 i 是虚数单位， m， ， R) (1)若 z1为纯虚数，求实数 m 的值； (2)若 z1z2，求实数 的取值范围 解 (1)z1为纯虚数， 4m20，m20，解得 m2. (2)由 z1z2，得 4m22sin ，m2cos 2， 4cos22sin sin22sin 3 (sin 1)22. 1sin 1， 当 sin 1 时，min2， 当 sin 1 时，max6， 实数 的取值范围是2,6