1、7.17.1 复数的概念复数的概念 7 7. .1.11.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 基础达标 一、选择题 1.若复数 z(a22a)(a2a2)i(aR)是纯虚数，则( ) A.a0 或 a2 B.a0 C.a1 且 a2 D.a1 或 a2 解析 由题意得a22a0，a2a20，解得 a0. 答案 B 2.设 a，bR，i 是虚数单位，则“ab0”是“复数 abi 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若复数 abi 为纯虚数，则 a0 且 b0，故 ab0.而由 ab0 不一定能得到复数 abi 是
2、纯虚数， 故“ab0”是“复数 abi 为纯虚数”的必要不充分条件. 答案 B 3.以 52i 的虚部为实部，以 5i2i2的实部为虚部的新复数是( ) A.22i B. 5 5i C.2i D. 5 5i 解析 设所求新复数 zabi(a， bR)， 由题意知： 复数 52i 的虚部为 2，复数 5i2i2 5i2(1)2 5i 的实部为2，则所求的 z22i.故选A. 答案 A 4.如果 zm(m1)(m21)i 为纯虚数，则实数 m 的值为( ) A.1 B.0 C.1 D.1 或 1 解析 由题意知m（m1）0，m210，m0. 答案 B 5.若 sin 21i( 2cos 1)是纯虚
3、数，则 的值为( ) A.2k4(kZ) B.2k4(kZ) C.2k4(kZ) D.k24(kZ) 解析 由题意， 得sin 210，2cos 10，解得k4，2k34(kZ)， 2k4， kZ. 答案 B 二、填空题 6.若实数 x，y 满足(1i)x(1i)y2，则 xy 的值是_. 解析 因为实数 x，y 满足(1i)x(1i)y2， 所以 xxiyyi2，可得xy2，xy0， 所以 xy1，所以 xy1. 答案 1 7.若复数 m3(m29)i0，则实数 m 的值为_. 解析 依题意知m30，m290，解得m3，m3或3，即 m3. 答案 3 8.已知 z14a1(2a23a)i，z
4、22a(a2a)i，其中 aR，若 z1z2，则 a的取值集合为_. 解析 由 z1z2，得2a23a0，a2a0，4a12a，解得 a0， 故 a 的取值集合为0. 答案 0 三、解答题 9.当实数 m 为何值时， 复数 z(m2m6)im27m12m3是： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 解 (1)由m2m60，m30，得 m2. 当 m2 时，z 是实数. (2)由m2m60，m30，得m2且m3，m3，即 m2 且 m3.当 m2 且 m3 时，z 是虚数. (3)由m2m60，m30，m27m120，得m2且m3，m3，m3或m4，即 m3 或 m4. 当 m3 或 m4 时
5、，z 是纯虚数. 10.已知 M1，(m22m)(m2m2)i，P1，1，4i，若 MPP，求实数 m 的值. 解 MPP，MP， (m22m)(m2m2)i1 或(m22m)(m2m2)i4i. 由(m22m)(m2m2)i1 得m22m1，m2m20，解得 m1； 由(m22m)(m2m2)i4i 得m22m0，m2m24，解得 m2. 综上可知 m1 或 m2. 能力提升 11.下列四个命题： 两个复数不能比较大小； 若复数 z 满足 z2R，则 zR； 若实数 a 与 ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； 纯虚数集相对复数集的补集是虚数集. 其中真命题的个数是_. 解析 中当这两个
6、复数都是实数时，可以比较大小. 若 z21，满足 z2R，而 z i，不满足 zR. 若 a0，则 ai 不是纯虚数. 由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知此命题不正确. 答案 0 12.已知复数 z1m(4m2)i，z22cos (3sin )i，mR，0，2，z1z2，求 的取值范围. 解 由 z1z2，mR，可得m2cos ，4m23sin . 整理，得 4sin23sin 4sin 382916. 0，2，sin 0，1，916，1 . 创新猜想 13.(多选题)在给出的下列几个命题中错误的是( ) A.若 x 是实数，则 x 可能不是复数 B.若 z 是虚数，则 z 不是实数 C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 D.1 没有平方根 解析 因实数是复数，故 A 错，B 正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故 C 错；因1 的平方根为 i，故 D 错. 答案 ACD 14.(多空题)已知关于 x 的方程 x2(12i)x(3mi)0 有实数根，则实数 m 的值为_，方程的实根 x 为_. 解析 设 a 是方程的实根，则 a2(12i)a(3mi)0， 即(a2a3m)(2a1)i0， 所以 a2a3m0 且 2a10，所以 a12， 122123m0，所以 m112. 答案 112 12