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2021年广东省广州市中考数学模拟试题分类专题:四边形(含答案解析)

1、专题专题 8 四边形四边形 一选择题(共一选择题(共 7 小题)小题) 1如图,小明从 A 点出发,沿直线前进 6 米后向左转 45,再沿直线前进 6 米,又向左转 45照这样走下去,他第一次回到出发点 A 时,共走路程为( )米 A60 B72 C48 D36 2 (2021荔湾区三模)菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,且 DEAC,CEDB,则四边形 OCED是( ) A梯形 B矩形 C菱形 D正方形 3 (2021广州模拟)如图,在矩形 ABCD 中,AB5,AD12,对角线 BD 的垂直平分线分别与 AD,BC边交于点 E、F,则四边形 BFDE 的面积为( ) A8

2、4524 B84512 C16912 D82513 4 (2021广州模拟)如图,矩形 ABCD,两条对角线相交于 O 点,过点 O 作 AC 的垂线 EF,分别交 AD、BC 于 E、F 点,连接 CE,若 OC= 25cm,CD4cm,则 DE 的长为( ) A5cm B5cm C3cm D2cm 5 (2020花都区一模)如图,菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 AC6,BD8,点 P 是 BC 边上的一动点,则 AP 的最小值为( ) A4 B4.8 C5 D5.5 6 (2020白云区模拟)如图,过ABCD 对角线 AC 的中点 O 作两条互相垂直的直线,分别交 AB,BC,CD,

3、DA 于 E,F,G,H 四点,则下列说法错误的是( ) AEHHG BAC 与 EG 互相平分 CEHFG DAC 平分DAB 7 (2020荔湾区一模)如图,已知在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是菱形,其中点 B 坐标是(4,1) ,点 D 坐标是(0,1) ,点 A 在 x 轴上,则菱形 ABCD 的周长是( ) A8 B25 C45 D12 二填空题(共二填空题(共 14 小题)小题) 8 (2021花都区二模)如图,在平行四边形 ABCD 中,B60,AD8,AB4,点 H、G 分别是边DC、BC 上的动点,其中点 H 不与点 C 重合连接 AH、HG,点 E 为 AH 的中点

4、,点 F 为 GH 的中点,连接 EF,则 EF 的最大值与最小值的差为 9 (2021越秀区校级模拟)如图,已知正方形 ABCD,点 M 是边 BA 延长线上的动点(不与点 A 重合) ,且 AMAB,CBE 由DAM 平移得到若过点 E 作 EHAC,H 为垂足,则有以下结论:点 M 位置变化,使得DHC60时,2BEDM;无论点 M 运动到何处,都有 DM= 2HM;无论点 M 运动到何处,CHM 一定等于 150;无论点 M 运动到何处,都有 SACE2SADH其中正确结论的序号为 10 (2021白云区二模)将 5 个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放,点 A1,A2,A5分别是正

5、方形的中心,则这 5 个正方形两两重叠(阴影)部分的面积之和是 ;若按此规律摆放 n 个这样的正方形,则这 n 个正方形两两重叠(阴影)部分的面积之和是 11 (2021越秀区校级二模)如图,正方形 ABCD 中,AB6,点 E 在边 CD 上,且 CD3DE,将ADE沿 AE 对折至AFE,延长 EF 交边 BC 于点 G,连接 AG、CF则下列结论:ABGAFG;BGCG;AGCF;SEGCSAFE;AGB+AED145,其中正确的是 (填序号) 12 (2021天河区二模)如图,点 E 是矩形 ABCD 边上一点,EFAC 于点 F,若 tanBAC2,EF3,则 AF 的长为 13 (

6、2021海珠区一模)如图,已知坐标原点 O 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点,顶点 A 的横坐标为 4,AD 平行 x 轴,且 AD 长为 5若平行四边形面积为 10,则顶点 B 的坐标为 14 (2021天河区一模)如图,在矩形 ABCD 中,O 为 AC 中点,EF 过 O 点且 EFAC 分别交 DC 于 F,交 AB 于 E,点 G 是 AE 中点且AOG30,则下列结论正确的是 (1)DC3OG; (2)OG=12BC; (3)OGE 是等边三角形; (4)SAOE=16矩形 15 (2021越秀区校级三模) 如图, 矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O

7、, 点 E 在 AD 上, 且 DECD,连接 OE,BE,AC 与 BE 相交于点 F,ABE=12ACB,则下列结论:BEDE;OEBD;AEF是等腰三角形; 当 AE2, 则 OE 的长为13, 其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号) 16 (2021广州模拟)如图,矩形 ABCD 中,AB6,BC8,M 是 AD 边上的一点,且 AM2,点 P 在矩形 ABCD 所在的平面上,且BPD90,则 PM 的最大值为 17 (2021从化区一模)如图,矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在坐标轴上,B(8,7) ,D(5,0) ,点 P 是边 AB 上的一点,连接 OP,DP,当ODP

8、 为等腰三角形时,点 BP 的长度为 18 (2020南沙区一模)如图,在边长为 a 的正方形 ABCD 中,点 M 为 CB 的延长线上的动点,线段 MNAM 于点 M, 且与BCD 的外角平分线交于点 N, 直线 AN 与边 BC 交于点 E, 与 DC 延长线交于点 F 下列结论: BAMCAE; AEEF; AC+CN= 2CM; AF 平分MFD; MCF 的周长为定值其中正确的是 (请填写序号) 19 (2020越秀区一模)如图,ABCD 为正方形,CAB 的角平分线交 BC 于点 E,过点 C 作 CFAE 交AE 的延长线于点 G,CF 与 AB 的延长线交于点 F,连接 BG

9、、DG、与 AC 相交于点 H,则下列结论:ABECBF;GFCG;BGDG;DH(2 1)AE,其中正确的是 20 (2020白云区一模)如图,ABC 中,BAC90,AB=12BCa,点 D 在边 AC 上运动(不与点 A,C 重合) ,以 BD 为边作正方形 BDEF,使点 A 在正方形 BDEF 内,连接 EC,则下列结论: BCDECD;当 CD2AD 时,ADE30;点 F 到直线 AB 的距离为 a;CDE 面积的最大值是38a2其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号) 21 (2020广州一模)如图,在正方形 ABCD 中,边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F

10、分别在 BC 和CD 上, 下列结论: BE+DFEF;CECF;AEB75;S正方形ABCD2+3, 其中正确的序号是 三解答题(共三解答题(共 16 小题)小题) 22 (2021花都区二模)如图,在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在线段 BC、CD 上,连接 AE、AF,且BEDF求证:AEAF 23 (2021越秀区校级二模)如图 1,已知正方形 ABCD 的边长为 42,点 E 在 BC 边上,BE= 2,连接BD,点 F、G 分别为 BD、CD 边上的点,且 FGEF (1)求点 E 到 BD 的距离; (2)如图 2,连接 AF,当 A、F、G 三点共线时,求FDG 的面积

11、; (3)如图 3,过点 E 作 EMBD 于点 M,过点 G 作 GNBD 于点 N,求 MN 的最小值 24 (2021越秀区模拟)如图,四边形 ABCD 为矩形,AD2,CD= 2,点 E 为边 AD 上一动点,过点 E作 EFAC 交直线 BC 于点 F,连接 CE,AF (1)若四边形 AECF 为菱形,求 AE 的长; (2)若ABF 的面积为24,求CDE 的面积; (3)当 AE 长为多少时,四边形 AECF 周长有最小值?并求该最小值 25 (2021越秀区校级模拟)如图,在正方形 ABCD 中,CD= 2若点 P 满足 PD1,且BPD90,请直接写出APD 的度数,并求出

12、点 A 到 BP 的距离 26 (2021白云区二模)四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC,BD 交于点 O (1)如图是ABCD 的一部分,请用尺规补全图形(不写作法,保留作图痕迹) ; (2)如图,在射线 BD 上作一点 E,使得ACE60若ACE 是等边三角形,求证:ABCD 是菱形; (3)在(2)的条件下,若AED2EAD,求证:菱形 ABCD 是正方形 27 (2021天河区校级二模)已知:在平行四边形 ABCD 中,AEBC,垂足为 E,CECD,点 F 为 CE的中点,点 G 为 CD 的一点,连接 DF,BG,AG,12 (1)若 CF2,AE3,求 BE 的长; (

13、2)探究CEG 与AGE 的数量关系,并证明 28 (2021天河区二模)已知,如图,AC 是菱形 ABCD 的一条对角线,E,F 分别是 BC,CD 的中点,求证:AEAF 29 (2021黄埔区二模)如图 1,正方形 ABCD 的对角线相交于点 O,延长 OD 到点 G,延长 OC 到点 E,使 OG2OD,OE2OC,以 OG,OE 为邻边作正方形 OEFG,连接 AG,DE (1)探究 AG 与 DE 的位置关系与数量关系,并证明; (2)固定正方形 ABCD,以点 O 为旋转中心,将图 1 中的方形 OEFG 逆时针转 n(0n180)得到正方形 OE1F1G1,如图 2 在旋转过程

14、中,当OAG190时,求 n 的值; 在旋转过程中,设点 E1到直线 AG1的距离为 d,着正方形 ABCD 的边长为 1,请直接写出 d 的最大值与最小值,不必说明理由 30 (2021从化区一模) 如图, 四边形 ABCD 是矩形, 点 P 是对角线 AC 上一动点 (不与点 C 和点 A 重合) ,连接 PB,过点 P 作 PFPB 交射线 DA 于点 F,连接 BF,已知 AD33,CD3,设 CP 的长为 x (1)线段 PB 的最小值为 (2)如图,当动点 P 运动到 AC 的中点时,AP 与 BF 的交点为 G,FP 的中点为 H,求线段 GH 的长度; (3)当点 P 在运动的

15、过程中:试探究FBP 是否会发生变化?若不改变,请求出FBP 大小; 若改变,请说明理由;当 x 为何值时,AFP 是等腰三角形? 31 (2021花都区一模)如图,菱形 ABCD 中,DMAB 于点 M,DNBC 于点 N求证:AMCN 32 (2021白云区一模)不在射线 DA 上的点 P 是边长为 2 的正方形 ABCD 外一点(P 在 AB 左侧) ,且满足APB45,以 AP,AD 为邻边作APQD (1)如图,若点 P 在射线 CB 上,请用尺规补全图形; (2)若点 P 不在射线 CB 上,求PAQ 的度数; (3)设 AQ 与 PD 交点为 O,当APO 的面积最大时,求 ta

16、nADO 的值 33 (2021越秀区一模)如图,在四边形 ABCD 中,AADC90,ABAD10,CD15,点 E,F 分别为线段 AB,CD 上的动点,连接 EF,过点 D 作 DG直线 EF,垂足为 G点 E 从点 B 向点 A 以每秒 2 个单位的速度运动, 同时点 F 从点 D 向点 C 以每秒 3 个单位的速度运动, 当点 E 运动到点 A 时,E,F 同时停止运动,设点 E 的运动时间为 t 秒 (1)求 BC 的长; (2)当 GEGD 时,求 AE 的长; (3)当 t 为何值时,CG 取最小值?请说明理由 34 (2021广州一模)如图 1,已知 RtABC 中,C90,

17、AC8cm,BC6cm,点 P 由 B 出发沿 BA方向向点 A 匀速运动,同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动,它们的速度均为 2cm/s以 AQ、PQ 为边作AQPD,连接 DQ,交 AB 于点 E设运动的时间为 t(单位:s) (0t4) 解答下列问题: (1)用含有 t 的代数式表示 AE (2)如图 2,当 t 为何值时,AQPD 为菱形 (3)求运动过程中,AQPD 的面积的最大值 35 (2020越秀区校级一模)如图,在ABCD 中,AEBC,AFCD,垂足分别为 E,F,且 BEDF (1)求证:ABCD 是菱形; (2)若 AB10,AC12,求ABCD

18、的面积 36 (2020越秀区校级一模)如图,在正方形 ABCD 中,点 E 为 BC 边上一点,以 AE 为直角边作等腰直角AEF,EF 交 DC 于点 G,AF 交 DC 于点 H,连接 EH (1)求证:AHEAHD; (2)若 tanHEG=13,求的值; (3)若正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 在运动过程中,AEH 的面积是否为定值?如果是,请求出定值;如果不是,请求出AEH 面积的最小值 37(2020越秀区一模) 如图所示, 四边形 ABCD 为平行四边形, AD13, AB25, DAB, 且 cos=513, 点E 为直线 CD 上一动点,将线段 EA 绕点 E 逆时

19、针旋转 得到线段 EF,连接 CF (1)求平行四边形 ABCD 的面积; (2)当点 C、B、F 三点共线时,设 EF 与 AB 相交于点 G,求线段 BG 的长; (3)求线段 CF 的长度的最小值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 7 小题)小题) 1 【解答】解:根据题意可知,他需要转 360458 次才会回到原点, 所以一共走了 8648(米) 故选:C 2 【解答】解:DEAC,CEDB, 四边形 OCED 是平行四边形, 四边形 ABCD 为菱形, ACBD, COD90, 四边形 OCED 是矩形, 故选:B 3 【解答】解:四边形 ABCD 是矩

20、形, ADBC, DEOBFO,EDOFBO, 对角线 BD 的垂直平分线分别与 AD,BC 边交于点 E、F, BODO,EFBD, DEOBFO(AAS) , EOFO, BODO, 四边形 BEDF 是平行四边形, EFBD, 平行四边形 BEDF 是菱形, BEDE, 设 DEx,则 AE12x, 在 RtAEB 中,AB2+AE2BE2, 即 52+(12x)2x2, x=16924, DE=16924, S菱形EBDFDEAB=16924 5 =84524 故选:A 4 【解答】解:四边形 ABCD 是矩形, ADC90,OAOC,AC2OC45, AD= 2 2=(45)2 42

21、=8, EFAC, AECE, 设 AECEx,则 DE8x, 在 RtCDE 中,由勾股定理得:42+(8x)2x2, 解得:x5, DE853(cm) ; 故选:C 5 【解答】解:设 AC 与 BD 的交点为 O, 点 P 是 BC 边上的一动点, APBC 时,AP 有最小值, 四边形 ABCD 是菱形, ACBD,AOCO=12AC3,BODO=12BD4, BC= 2+ 2= 9 + 16 =5, S菱形ABCD=12ACBDBCAP, AP=245=4.8, 故选:B 6 【解答】解:四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD, OAEOCG, O 是 AC 的中点, OAOC,

22、 在AOE 和COG 中, = = = , AOECOG(ASA) , OEOG, AC 与 EG 互相平分, 同理可得 OFOH, 四边形 EFGH 是平行四边形, EGFH, 四边形 EFGH 是菱形, EHGH,EHFG选项 A、B、C 不符合题意; 当四边形 ABD 是菱形时,AC 平分DAB, 没有条件证出四边形 ABCD 是菱形,选项 D 符合题意; 故选:D 7 【解答】解:设点 A(a,0) 四边形 ABCD 是菱形, ADAB,且点 B 坐标是(4,1) ,点 D 坐标是(0,1) , (a4)2+(10)2(a0)2+(01)2, a2, 点 A(2,0) , AO2, A

23、D= 2+ 2= 4 + 1 = 5, 菱形 ABCD 的周长4 5 =45, 故选:C 二填空题(共二填空题(共 14 小题)小题) 8 【解答】解:如图,取 AD 的中点 M,连接 CM、AG、AC,作 ANBC 于 N, 四边形 ABCD 是平行四边形,B60,AB4, DB60,ABCD4, AD8, CMAMDMDC4, CDM 是等边三角形, DMCMCD60,CMDMAM, MACMCA30, ACD90, AC43, 在 RtACN 中,AC43,ACNDAC30, AN=12AC23, AEEH,GFFH, EF=12AG, AG 的最大值为 AC 的长,最小值为 AN 的长

24、, AG 的最大值为 43,最小值为 23, EF 的最大值为 23,最小值为3, EF 的最大值与最小值的差为3 9 【解答】解:如图,在正方形 ABCD 中,ABCBADCD,BADC90, DAHBAC45, EHAC, AHE90, MEHEAH45DAH, AHEH; 由平移得 AMBE, EMABAD, ADHEMH(SAS) , DHAMHE, DHMDHAAHMMHEAHMAHE90; 以 DM 的中点 O 为圆心,以 DM 为直径作O,连结 OA、OH,则 OAOH=12DMOD, 点 A、H 在O 上 当DHC60时,则BECAMD180DHADHC60, BCE30, 2

25、BECEDM 故正确; 由得 HDHM,DHM90, DM2HD2+HM22HM2, DM= 2HM 故正确; CHMDHC+DHMDHC+90, CHM 的大小随DHC 即AMD 的变化而变化, 如当AMD75时, 则CHM165150 故错误; 作 HPAB 于点 P,HQAD 于点 Q,则 HPHQ=12AEAPEP 设正方形 ABCD 的边长为 x,HPHQa,则 AE2a SACE=122axax,SADH=12ax, SACE2SADH 故正确 故答案为: 10 【解答】解:A1,A2,A5分别是正方形的中心, 一个阴影部分面积等于正方形面积的14,即1441 故 5 个正方形两两

26、重叠(阴影)部分的面积之和是 4 n 个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为:1(n1)n1 故答案为:4;n1 11 【解答】解:正确 理由:ABADAF,AGAG,BAFG90, RtABGRtAFG(HL) ; 正确 理由:EFDE=13CD2,设 BGFGx,则 CG6x 在直角ECG 中,根据勾股定理,得(6x)2+42(x+2)2, 解得 x3 BG363CG; 正确 理由:CGBG,BGGF, CGGF, FGC 是等腰三角形,GFCGCF 又RtABGRtAFG; AGBAGF,AGB+AGF2AGB180FGCGFC+GCF2GFC2GCF, AGBAGFGFCGCF,

27、 AGCF; 正确 理由:SGCE=12GCCE=12346, SAFE=12AFEF=12626, SEGCSAFE; 错误 BAGFAG,DAEFAE, 又BAD90, GAE45, AGB+AED180GAE135, 故答案为: 12 【解答】解:在矩形 ABCD 中,B90,tanBAC2, =2, ADBC,CDAB, =12, tanEAF=12, EF3, AF6, 故答案为 6 13 【解答】解:如图,连接 BD,设 AD 与 y 轴交于点 M, 点 A 的横坐标为 4,AD 平行 x 轴,且 AD 长为 5 点 D 的横坐标为1, 平行四边形 ABCD 的面积为 10, 12

28、ADOM=1410, OM1, 点 D(1,1) , 四边形 ABCD 是平行四边形, BODO, 点 B(1,1) , 故答案为: (1,1) 14 【解答】解:EFAC,点 G 是 AE 中点, OGAGGE=12AE, AOG30, OAGAOG30, GOE90AOG903060, OGE 是等边三角形,故(3)正确; 设 AE2a,则 OEOGa, 由勾股定理得,AO= 2 2= (2)2 2= 3a, O 为 AC 中点, AC2AO23a, BC=12AC=1223a= 3a, 在 RtABC 中,由勾股定理得,AB=(23)2 (3)2=3a, 四边形 ABCD 是矩形, CD

29、AB3a, DC3OG,故(1)正确; OGa,12BC=32a, OG12BC,故(2)错误; SAOE=12a3a=32a2,SABCD3a3a33a2, SAOE=16S矩形ABCD,故(4)正确; 综上所述,结论正确的是(1) (3) (4) 故答案为: (1) (3) (4) 15 【解答】解:四边形 ABCD 是矩形, ABCD,BAE90, DECD, ABDE, ABBE, BEDE,故错误; BODO,BEDE, OE 与 BD 不垂直,故错误; 如图,作 CHBE 于 H,EGBD 于 G设 BE 与 AC 的交点为 F 则HBC+BCHBHC90, 四边形 ABCD 为矩

30、形, ADBC,ABCD,ABCBAD90,ADBC,ACBD ABE+CBH90, ABEBCH, ABE=12ACB, BCHGCH, BHFH,BCCG,CBHCGH, 设 ABx,则 EDCDABx, AE2,所以 ADAE+ED2+x, CBCF2+x, ADBC, AEGCBHCGHAGE, AFAE2,故正确; ACAG+CG4+x, 在 RtABC 中:AB2+BC2AC2, x2+(x+2)2(x+4)2,解得 x16,x22(舍) , ABCD6,ADAC8,ACBD10, AC 与 BD 交于点 O, AOBOCODO5, sinBDA=35,cosBDA=45, EG=

31、35ED=185,DG=45ED=245, OGODDG5245=15, 在 RtOGE 中: OE2EG2+OG2(15)2+(185)2=32525=13, OE= 13,故正确 故其中正确的结论是 故答案为: 16 【解答】解:如图,连接 BD,以 BD 为直径作O,则点 P 在O 上,作 OEAD 于 E,连接 OM,PM,OP OEAD, AEDE4, OBOD,AEDE, OE=12AB3, AM2, EMAEAM2, OM= 2+ 2= 32+ 22= 13, 四边形 ABCD 是矩形, BAD90,BCAD8, BD= 2+ 2= 62+ 82=10, OPOBOD5, PMO

32、M+OP, PM 13 +5, PM 的最大值为13 +5, 故答案为13 +5 17 【解答】解:四边形 OABC 是矩形,B(8,7) , OABC8,OCAB7, D(5,0) , OD5, 点 P 是边 AB 的一点, ODDP5, AD3, PA= 52 32=4, PB3 故答案为:3 18 【解答】解:四边形 ABCD 是正方形, ACBACDBAC45,ABBCCDAD, CN 平分BCF, BCN45NCF, ACN90, AMMN, AMNACN90, 点 A,点 C,点 N,点 M 四点共圆, CANCMN,MANMCN45,MNAMCA45, MANMNA, AMMN,

33、 BAM+AMB90NMC+AMB, BAMNMC, BAMCAE,故正确; ABCD, =, 当 BECE 时,AEEF, 点 N 在BCF 的平分线上移动, 点 E 的位置随点 N 的变化而变化, BE 不一定等于 EC,即 AE 不一定等于 EF,故错误; 如图 1,过点 M 作 MHMC,交 CA 的延长线于 H, ACB45, ACMH45, MHMC, CH= 2CM, AMNHMC90, HMACMN, AHMNCM(ASA) , CNAH, CN+ACAH+ACHC= 2CM,故正确; 如图 2,在 CD 上截取 DGMB,连接 AG, ADAB,DABM90,DGBM, AD

34、GABM(SAS) , AGAM,BAMDAG, MAGBAD90, MAN45, MANGAN45, 在AFM 和AFG 中, = = = , AFMAFG(SAS) , AFGAFM,MFGF, AF 平分MFD; MCF 的周长MC+CF+MFBM+BC+CF+FGDH+BC+CF+CG+CF2BC+2CF, MCF 的周长2a+2CF, 点 F 随点 N 的变化而变化,即 CF 的长度不确定, MCF 的周长不确定,故错误, 故答案为 19 【解答】解:四边形 ABCD 为正方形, ABCB,ABCCBF90, AGCF, AGF90, GAF+F90, BCF+F90, GAFBCF

35、, ABECBF(ASA) , 故此小题结论正确; AG 是CAB 的角平分线, BAGCAG, AGFAGC90,AGAG, AFGACG(ASA) , FGCG, 故此小题结论正确; CBF90,FGCG, BGCG, CBGBCG, ABCDCB90, ABGDCG, ABDC, ABGDCG(SAS) , AGBDGC, DGC+AGDAGC90, AGB+AGD90, BGDG, 故此小题结论正确; ABGDCG, CDGBAGCAG, DCHACE, DCHACE, =22, DH=22, 故此小题结论错误 由上可知,正确的结论是, 故答案为: 20 【解答】解:四边形 BDEF

36、是正方形, BDED,BDE90, CDCD, 当ADB45时,ADBADE, 此时BDCEDC, 则BCD 不全等于ECD, 故错误; ABC 中,BAC90,AB=12BCa, AC= 3a, CD2AD, AD=33a, = 3, ADB60, ADEBDEADB30, 故正确; 过 F 作 FGAB 于点 G, 四边形 BDEF 是正方形, BDFB,DBFBADFGB90, ABD+ABFABF+GFB90, ABDGFB, ABDGFB(AAS) , ABGFa, 点 F 到直线 AB 的距离为 a, 故正确; 过点 E 作 EHAC 于点 H, 四边形 BDEF 是正方形, BD

37、DE,BDEBADDHE90, ABD+BDABDA+HDE90, ABDHDE, ABDHDE(AAS) , ADHE, ADABtanABDatanABD, AC= 3a, = = (3 ), =12 =12(2 + 3tanABD)a238 ( 32)2a2382, CDE 面积的最大值是38a2, 故正确; 故答案为: 21 【解答】解:四边形 ABCD 为正方形, ABAD,BD90, AEF 为等边三角形, AEAF, 在 RtABE 和ADF 中, = = , RtABEADF, BEDF,BAEDAF, 而EAF60, BAEDAF15, AEB75,所以正确, CBCD, C

38、BBECDDF, 即 CECF,所以正确; CEF 为等腰直角三角形, CECF=22EF= 2, 设正方形的边长为 x,则 ABx,BEx2, 在 RtABE 中,AB2+BE2AE2, x2+(x2)222, 整理得 x22x10,解得 x1=2+62,x2=262(舍去) , BE+DF2(x2)2(2:622)= 6 2 2,所以错误; S正方形ABCDx2(2:62)22+3,所以正确 对于的判断可用下面的方法: 连接 AC 交 EF 于 G,如图, AEAF,CECF, AC 垂直平分 EF, EGFG, BAE15,GAE30, BEAEsin15,EGAEsin30, BEEG

39、, BE+DFEF,所以错误 故答案为 三解答题(共三解答题(共 16 小题)小题) 22 【解答】证明:四边形 ABCD 是正方形, ABAD,BD90, BEDF, 在 RtABE 与 RtADF 中, = = = , RtABERtADF(SAS) , AEAF 23 【解答】解: (1)如图 1 中,过点 E 作 EHBF 于 H 四边形 ABCD 是正方形, DBC45, EHBD, EHBEsin45= 2 22=1 点 E 到 BD 的距离为 1 (2)如图 2 中,过点 F 作 AD 的垂线分别交 AD,BC 于点 M,N A,F,G 共线,EFG90, AFE90, ADF4

40、5 设 MFMDa, 且 ADMN, AMFN, NFE+AFMAFM+MAF, NFEMAF, AMFFNE(AAS) , MFEN, 即 a32 a, a=322, FMDG, =, 322=52242, DG=1225 SDFG=121225322=185 (3)如图 3 中,设 CG= 2y,MFx 四边形 ABCD 是正方形, CBDCDB45,CBCD42, BD= 2BC8,DG42 2y, EMBD,GNBD, EMFEFGGNF90, DNNG4y, BE= 2, BMEM1, FN7x(4y)3x+y, MFE+GFN90GFN+FGN90, MFEFGN, EMFFNG,

41、 =, 13;:=4;, 整理得 x2(3+y)x+4y0, 0, (3+y)24(4y)0, 解得 y42 5 或 y542(舍弃) , y 的最小值为 42 5, CG 的最小值852, 观察图象可知,当 CG 的值最小时,MN 的值最小,MN 的最小值81(942)42 2 24 【解答】解: (1)四边形 AECF 为菱形, AEEC, 设 AEECx, 四边形 ABCD 是矩形, D90, EC2DE2+CD2, x2(2x)2+(2)2, x=32, AE=32; (2)四边形 ABCD 为矩形, ABCD= 2,BCAD2,BD90, ABF 的面积为24, 12ABBF=24,

42、即:122 BF=24, BF=12, CFBCBF212=32, 在 RtABF 中,AF= 2+ 2=(2)2+ (12)2=32, AFCF, EFAC, EF 是 AC 的垂直平分线, AECE, 由(1)可知:AECE=32, AFCE, RtCDERtABF(HL), SCDESABF=24; (3)如图,过点 C 作 CMEF 交 AD 的延长线于点 M, 四边形 ABCD 为矩形, ADBC,ADCABCBAC90, 四边形 CFEM 是平行四边形, EMCF,CMEF, EFAC, CMAC, ACM90, 在 RtACD 中,AC= 2+ 2=22+ (2)2= 6, ta

43、nCAD=, 22=6, CM= 3, EFCM= 3, cosCAD=, AM=2=(6)22=3, 即 AE+EM3, AE+CF3, 延长 CD 至 C,使 DCCD= 2,连接 CE, 过点 F 作 FGAD 于点 G,连接 BG,过点 E 作 EHBG 交 BC 于点 H, 在 RtEFG 中,EG= 2 2=(3)2 (2)2=1, 四边形 ABFG 是矩形, AFBG,FBGFAG, BGEH,EGBH, 四边形 BGEH 是平行四边形, EHBGAF,CHEFBG, 四边形 AECF 周长AE+AF+CF+CEAE+EM+BG+CEAM+EH+CE3+CE+EH, 当 C、E、

44、H 三点共线时,CE+EH 最小,即四边形 AECF 周长最小, 此时CEDCHEFBGFAG, CDEFGA90,CDFG, CDEFGA(AAS), DEAG=12(ADEG)=12(21)=12, AEADDE212=32, 此时,CE= 2+ 2=(12)2+ (2)2=32, 四边形 AECF 周长最小值为 3+3226, 故当 AE=32时,四边形 AECF 周长最小值为 6 25 【解答】解:由题意得点 P 是以 BD 为直径,BD 中点为圆心的圆与点 D 为圆心,半径为 1 的圆的交点, 如图,当点 P 在 AD 上方时,连接 PD,PB,PA,作 AHBP 于点 H, 正方形

45、边长 BCCD= 2, BD= 2CD2, 即O 直径 BD 为 2,半径为 1, BPD90,PD=12BD1, DBP30,BP= 3DP= 3, ADBAPB45, AHP 为等腰直角三角形, 设 AHPHx,则 BH= 3 x, 在 RtAHB 中,由勾股定理得: AH2+BH2AB2, 即 x2+(3 x)22, 解得 x=3+12(舍)或3;12, AH=312 如图,当点 P 在 AD 下方时,连接 PD,PB,PA,作 AHBP 于点 H, 同理可得 AH=3+12 综上所述,点 A 到 BP 的距离为3;12或3:12 26 【解答】解: (1)如图所示,ABCD 即为所补全

46、图形; 作法:以点 A 为圆心,BC 长为半径画弧,以 C 为圆心,AB 长为半径画弧,两弧相交于点 D,连接 AD、CD, 则ABCD 即为所补全图形; (2)ABCD, AOCO, ACE 是等边三角形, OE 是ACE 的中线, OE 垂直平分 AC, ADCD, ABCD 是菱形; (3)由(2)得,如图,在等边三角形 ACE 中,AEC60, AEB=12AEC30, AED2EAD, EAD=12AEB15, ADBAEB+EAD45, 在菱形 ABCD 中,ADC2ADB90, 菱形 ABCD 是正方形 27 【解答】解: (1)CECD,点 F 为 CE 的中点,CF2, DC

47、CE2CF4, 四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD4, AEBC, AEB90, 在 RtABE 中,由勾股定理得:BE= 2 2= 16 9 = 7; (2)AGE2CEG,理由如下: 延长 AG,交 BC 延长线于 M, 在ECG 和DCF 中, 2 =1 = = , ECGDCF(AAS) , CFCG, CECD,F 为 CE 的中点, DGCG, 四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC, ADGMCG, 在ADG 和MCG 中, = = = , ADGMCG(ASA) , AGMG, AEC90, EG=12AMGM, GECM, AGEGEC+M, CEG=12AGE,

48、 AGE2CEG 28 【解答】解:证明: 菱形 ABCD, BCCD, E、F 分别是 BC、CD 的中点, ECFC, AC 是菱形 ABCD 的一条对角线, ACEACF, 在AEC 和AFC 中, = = = , AECAFC(SAS) , AEAF 29 【解答】解: (1)AGDE,AGDE. 证明:如图 1,延长 ED 交 AG 于点 H, 点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点, OAOCOD,OAOD, AOGDOE90, OG2OD,OE2OC, OGOE, 在AOG 和DOE 中, = = = , AOGDOE(SAS) , AGDE,AGODEO, AGO+GAO9

49、0, GAO+DEO90, AHE90, AGDE, 故 AGDE,AGDE; (2)在旋转过程中,OAG190有两种情况: ()n 由 0 增大到 90 过程中,当OAG190时, OAOD=12OG=12OG1, 在 RtOAG1中,sinAG1O=12, AG1O30, OAOD,OAAG1, ODAG1, DOG1AG1O30, 即 n30; ()n 由 90 增大到 180 过程中,当OAG190时, 同理可求BOG130, DOG118030150, n150; 综上所述,当OAG190时,n30 或 150 如图 3,d 的最大值为 E1HDE1+DH=62+22=6+22, 如

50、图 4,d 的最小值为 E1HDE1DH=6222=622 理由如下: 如图 3、 图 4 所示, 连接 E1G1, 设直线 E1D 交直线 AG1于 H, 作正方形 ABCD 的外接圆O, 仿照(1)的证明,可证得 DEAG,即在旋转过程中,E1HG190保持不变,所以 dE1H 在旋转过程中,E1H 的位置有以下两种情况: 第一种情况,当 E1H 在OE1G 内时,E1G1H45+OG1A,如图 3 所示, 第二种情况:当 E1H 在OE1G1外时,E1G1H45OG1A,如图 3 所示, OG12ODBD= 2AB= 2, E1G12 在 RtE1HG1中,sinE1G1H=111=2,