1、专题专题 8 四边形四边形 一选择题（共一选择题（共 7 小题）小题） 1如图，小明从 A 点出发，沿直线前进 6 米后向左转 45，再沿直线前进 6 米，又向左转 45照这样走下去，他第一次回到出发点 A 时，共走路程为（ ）米 A60 B72 C48 D36 2 （2021荔湾区三模）菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 DEAC，CEDB，则四边形 OCED是（ ） A梯形 B矩形 C菱形 D正方形 3 （2021广州模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB5，AD12，对角线 BD 的垂直平分线分别与 AD，BC边交于点 E、F，则四边形 BFDE 的面积为（ ） A8
2、4524 B84512 C16912 D82513 4 （2021广州模拟）如图，矩形 ABCD，两条对角线相交于 O 点，过点 O 作 AC 的垂线 EF，分别交 AD、BC 于 E、F 点，连接 CE，若 OC= 25cm，CD4cm，则 DE 的长为（ ） A5cm B5cm C3cm D2cm 5 （2020花都区一模）如图，菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 AC6，BD8，点 P 是 BC 边上的一动点，则 AP 的最小值为（ ） A4 B4.8 C5 D5.5 6 （2020白云区模拟）如图，过ABCD 对角线 AC 的中点 O 作两条互相垂直的直线，分别交 AB，BC，CD，
3、DA 于 E，F，G，H 四点，则下列说法错误的是（ ） AEHHG BAC 与 EG 互相平分 CEHFG DAC 平分DAB 7 （2020荔湾区一模）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是菱形，其中点 B 坐标是（4，1） ，点 D 坐标是（0，1） ，点 A 在 x 轴上，则菱形 ABCD 的周长是（ ） A8 B25 C45 D12 二填空题（共二填空题（共 14 小题）小题） 8 （2021花都区二模）如图，在平行四边形 ABCD 中，B60，AD8，AB4，点 H、G 分别是边DC、BC 上的动点，其中点 H 不与点 C 重合连接 AH、HG，点 E 为 AH 的中点
4、，点 F 为 GH 的中点，连接 EF，则 EF 的最大值与最小值的差为 9 （2021越秀区校级模拟）如图，已知正方形 ABCD，点 M 是边 BA 延长线上的动点（不与点 A 重合） ，且 AMAB，CBE 由DAM 平移得到若过点 E 作 EHAC，H 为垂足，则有以下结论：点 M 位置变化，使得DHC60时，2BEDM；无论点 M 运动到何处，都有 DM= 2HM；无论点 M 运动到何处，CHM 一定等于 150；无论点 M 运动到何处，都有 SACE2SADH其中正确结论的序号为 10 （2021白云区二模）将 5 个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 A1，A2，A5分别是正
5、方形的中心，则这 5 个正方形两两重叠（阴影）部分的面积之和是 ；若按此规律摆放 n 个这样的正方形，则这 n 个正方形两两重叠（阴影）部分的面积之和是 11 （2021越秀区校级二模）如图，正方形 ABCD 中，AB6，点 E 在边 CD 上，且 CD3DE，将ADE沿 AE 对折至AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG、CF则下列结论：ABGAFG；BGCG；AGCF；SEGCSAFE；AGB+AED145，其中正确的是 （填序号） 12 （2021天河区二模）如图，点 E 是矩形 ABCD 边上一点，EFAC 于点 F，若 tanBAC2，EF3，则 AF 的长为 13 （
6、2021海珠区一模）如图，已知坐标原点 O 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点，顶点 A 的横坐标为 4，AD 平行 x 轴，且 AD 长为 5若平行四边形面积为 10，则顶点 B 的坐标为 14 （2021天河区一模）如图，在矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，EF 过 O 点且 EFAC 分别交 DC 于 F，交 AB 于 E，点 G 是 AE 中点且AOG30，则下列结论正确的是 （1）DC3OG； （2）OG=12BC； （3）OGE 是等边三角形； （4）SAOE=16矩形 15 （2021越秀区校级三模） 如图， 矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O
7、， 点 E 在 AD 上， 且 DECD，连接 OE，BE，AC 与 BE 相交于点 F，ABE=12ACB，则下列结论：BEDE；OEBD；AEF是等腰三角形； 当 AE2， 则 OE 的长为13， 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号） 16 （2021广州模拟）如图，矩形 ABCD 中，AB6，BC8，M 是 AD 边上的一点，且 AM2，点 P 在矩形 ABCD 所在的平面上，且BPD90，则 PM 的最大值为 17 （2021从化区一模）如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在坐标轴上，B（8，7） ，D（5，0） ，点 P 是边 AB 上的一点，连接 OP，DP，当ODP
8、 为等腰三角形时，点 BP 的长度为 18 （2020南沙区一模）如图，在边长为 a 的正方形 ABCD 中，点 M 为 CB 的延长线上的动点，线段 MNAM 于点 M， 且与BCD 的外角平分线交于点 N， 直线 AN 与边 BC 交于点 E， 与 DC 延长线交于点 F 下列结论： BAMCAE； AEEF； AC+CN= 2CM； AF 平分MFD； MCF 的周长为定值其中正确的是 （请填写序号） 19 （2020越秀区一模）如图，ABCD 为正方形，CAB 的角平分线交 BC 于点 E，过点 C 作 CFAE 交AE 的延长线于点 G，CF 与 AB 的延长线交于点 F，连接 BG
9、、DG、与 AC 相交于点 H，则下列结论：ABECBF；GFCG；BGDG；DH（2 1）AE，其中正确的是 20 （2020白云区一模）如图，ABC 中，BAC90，AB=12BCa，点 D 在边 AC 上运动（不与点 A，C 重合） ，以 BD 为边作正方形 BDEF，使点 A 在正方形 BDEF 内，连接 EC，则下列结论： BCDECD；当 CD2AD 时，ADE30；点 F 到直线 AB 的距离为 a；CDE 面积的最大值是38a2其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号） 21 （2020广州一模）如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F
10、分别在 BC 和CD 上， 下列结论： BE+DFEF；CECF；AEB75；S正方形ABCD2+3， 其中正确的序号是 三解答题（共三解答题（共 16 小题）小题） 22 （2021花都区二模）如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在线段 BC、CD 上，连接 AE、AF，且BEDF求证：AEAF 23 （2021越秀区校级二模）如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 42，点 E 在 BC 边上，BE= 2，连接BD，点 F、G 分别为 BD、CD 边上的点，且 FGEF （1）求点 E 到 BD 的距离； （2）如图 2，连接 AF，当 A、F、G 三点共线时，求FDG 的面积
11、； （3）如图 3，过点 E 作 EMBD 于点 M，过点 G 作 GNBD 于点 N，求 MN 的最小值 24 （2021越秀区模拟）如图，四边形 ABCD 为矩形，AD2，CD= 2，点 E 为边 AD 上一动点，过点 E作 EFAC 交直线 BC 于点 F，连接 CE，AF （1）若四边形 AECF 为菱形，求 AE 的长； （2）若ABF 的面积为24，求CDE 的面积； （3）当 AE 长为多少时，四边形 AECF 周长有最小值？并求该最小值 25 （2021越秀区校级模拟）如图，在正方形 ABCD 中，CD= 2若点 P 满足 PD1，且BPD90，请直接写出APD 的度数，并求出
12、点 A 到 BP 的距离 26 （2021白云区二模）四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 交于点 O （1）如图是ABCD 的一部分，请用尺规补全图形（不写作法，保留作图痕迹） ； （2）如图，在射线 BD 上作一点 E，使得ACE60若ACE 是等边三角形，求证：ABCD 是菱形； （3）在（2）的条件下，若AED2EAD，求证：菱形 ABCD 是正方形 27 （2021天河区校级二模）已知：在平行四边形 ABCD 中，AEBC，垂足为 E，CECD，点 F 为 CE的中点，点 G 为 CD 的一点，连接 DF，BG，AG，12 （1）若 CF2，AE3，求 BE 的长； （
13、2）探究CEG 与AGE 的数量关系，并证明 28 （2021天河区二模）已知，如图，AC 是菱形 ABCD 的一条对角线，E，F 分别是 BC，CD 的中点，求证：AEAF 29 （2021黄埔区二模）如图 1，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，延长 OD 到点 G，延长 OC 到点 E，使 OG2OD，OE2OC，以 OG，OE 为邻边作正方形 OEFG，连接 AG，DE （1）探究 AG 与 DE 的位置关系与数量关系，并证明； （2）固定正方形 ABCD，以点 O 为旋转中心，将图 1 中的方形 OEFG 逆时针转 n（0n180）得到正方形 OE1F1G1，如图 2 在旋转过程
14、中，当OAG190时，求 n 的值； 在旋转过程中，设点 E1到直线 AG1的距离为 d，着正方形 ABCD 的边长为 1，请直接写出 d 的最大值与最小值，不必说明理由 30 （2021从化区一模） 如图， 四边形 ABCD 是矩形， 点 P 是对角线 AC 上一动点 （不与点 C 和点 A 重合） ，连接 PB，过点 P 作 PFPB 交射线 DA 于点 F，连接 BF，已知 AD33，CD3，设 CP 的长为 x （1）线段 PB 的最小值为 （2）如图，当动点 P 运动到 AC 的中点时，AP 与 BF 的交点为 G，FP 的中点为 H，求线段 GH 的长度； （3）当点 P 在运动的
15、过程中：试探究FBP 是否会发生变化？若不改变，请求出FBP 大小； 若改变，请说明理由；当 x 为何值时，AFP 是等腰三角形？ 31 （2021花都区一模）如图，菱形 ABCD 中，DMAB 于点 M，DNBC 于点 N求证：AMCN 32 （2021白云区一模）不在射线 DA 上的点 P 是边长为 2 的正方形 ABCD 外一点（P 在 AB 左侧） ，且满足APB45，以 AP，AD 为邻边作APQD （1）如图，若点 P 在射线 CB 上，请用尺规补全图形； （2）若点 P 不在射线 CB 上，求PAQ 的度数； （3）设 AQ 与 PD 交点为 O，当APO 的面积最大时，求 ta
16、nADO 的值 33 （2021越秀区一模）如图，在四边形 ABCD 中，AADC90，ABAD10，CD15，点 E，F 分别为线段 AB，CD 上的动点，连接 EF，过点 D 作 DG直线 EF，垂足为 G点 E 从点 B 向点 A 以每秒 2 个单位的速度运动， 同时点 F 从点 D 向点 C 以每秒 3 个单位的速度运动， 当点 E 运动到点 A 时，E，F 同时停止运动，设点 E 的运动时间为 t 秒 （1）求 BC 的长； （2）当 GEGD 时，求 AE 的长； （3）当 t 为何值时，CG 取最小值？请说明理由 34 （2021广州一模）如图 1，已知 RtABC 中，C90，
17、AC8cm，BC6cm，点 P 由 B 出发沿 BA方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为 2cm/s以 AQ、PQ 为边作AQPD，连接 DQ，交 AB 于点 E设运动的时间为 t（单位：s） （0t4） 解答下列问题： （1）用含有 t 的代数式表示 AE （2）如图 2，当 t 为何值时，AQPD 为菱形 （3）求运动过程中，AQPD 的面积的最大值 35 （2020越秀区校级一模）如图，在ABCD 中，AEBC，AFCD，垂足分别为 E，F，且 BEDF （1）求证：ABCD 是菱形； （2）若 AB10，AC12，求ABCD
18、的面积 36 （2020越秀区校级一模）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为 BC 边上一点，以 AE 为直角边作等腰直角AEF，EF 交 DC 于点 G，AF 交 DC 于点 H，连接 EH （1）求证：AHEAHD； （2）若 tanHEG=13，求的值； （3）若正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在运动过程中，AEH 的面积是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请求出AEH 面积的最小值 37（2020越秀区一模） 如图所示， 四边形 ABCD 为平行四边形， AD13， AB25， DAB， 且 cos=513， 点E 为直线 CD 上一动点，将线段 EA 绕点 E 逆时
19、针旋转 得到线段 EF，连接 CF （1）求平行四边形 ABCD 的面积； （2）当点 C、B、F 三点共线时，设 EF 与 AB 相交于点 G，求线段 BG 的长； （3）求线段 CF 的长度的最小值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 7 小题）小题） 1 【解答】解：根据题意可知，他需要转 360458 次才会回到原点， 所以一共走了 8648（米） 故选：C 2 【解答】解：DEAC，CEDB， 四边形 OCED 是平行四边形， 四边形 ABCD 为菱形， ACBD， COD90， 四边形 OCED 是矩形， 故选：B 3 【解答】解：四边形 ABCD 是矩
20、形， ADBC， DEOBFO，EDOFBO， 对角线 BD 的垂直平分线分别与 AD，BC 边交于点 E、F， BODO，EFBD， DEOBFO（AAS） ， EOFO， BODO， 四边形 BEDF 是平行四边形， EFBD， 平行四边形 BEDF 是菱形， BEDE， 设 DEx，则 AE12x， 在 RtAEB 中，AB2+AE2BE2， 即 52+（12x）2x2， x=16924， DE=16924， S菱形EBDFDEAB=16924 5 =84524 故选：A 4 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ADC90，OAOC，AC2OC45， AD= 2 2=(45)2 42
21、=8， EFAC， AECE， 设 AECEx，则 DE8x， 在 RtCDE 中，由勾股定理得：42+（8x）2x2， 解得：x5， DE853（cm） ； 故选：C 5 【解答】解：设 AC 与 BD 的交点为 O， 点 P 是 BC 边上的一动点， APBC 时，AP 有最小值， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AOCO=12AC3，BODO=12BD4， BC= 2+ 2= 9 + 16 =5， S菱形ABCD=12ACBDBCAP， AP=245=4.8， 故选：B 6 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， OAEOCG， O 是 AC 的中点， OAOC，
22、 在AOE 和COG 中， = = = ， AOECOG（ASA） ， OEOG， AC 与 EG 互相平分， 同理可得 OFOH， 四边形 EFGH 是平行四边形， EGFH， 四边形 EFGH 是菱形， EHGH，EHFG选项 A、B、C 不符合题意； 当四边形 ABD 是菱形时，AC 平分DAB， 没有条件证出四边形 ABCD 是菱形，选项 D 符合题意； 故选：D 7 【解答】解：设点 A（a，0） 四边形 ABCD 是菱形， ADAB，且点 B 坐标是（4，1） ，点 D 坐标是（0，1） ， （a4）2+（10）2（a0）2+（01）2， a2， 点 A（2，0） ， AO2， A
23、D= 2+ 2= 4 + 1 = 5， 菱形 ABCD 的周长4 5 =45， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 14 小题）小题） 8 【解答】解：如图，取 AD 的中点 M，连接 CM、AG、AC，作 ANBC 于 N， 四边形 ABCD 是平行四边形，B60，AB4， DB60，ABCD4， AD8， CMAMDMDC4， CDM 是等边三角形， DMCMCD60，CMDMAM， MACMCA30， ACD90， AC43， 在 RtACN 中，AC43，ACNDAC30， AN=12AC23， AEEH，GFFH， EF=12AG， AG 的最大值为 AC 的长，最小值为 AN 的长
24、， AG 的最大值为 43，最小值为 23， EF 的最大值为 23，最小值为3， EF 的最大值与最小值的差为3 9 【解答】解：如图，在正方形 ABCD 中，ABCBADCD，BADC90， DAHBAC45， EHAC， AHE90， MEHEAH45DAH， AHEH； 由平移得 AMBE， EMABAD， ADHEMH（SAS） ， DHAMHE， DHMDHAAHMMHEAHMAHE90； 以 DM 的中点 O 为圆心，以 DM 为直径作O，连结 OA、OH，则 OAOH=12DMOD， 点 A、H 在O 上 当DHC60时，则BECAMD180DHADHC60， BCE30， 2
25、BECEDM 故正确； 由得 HDHM，DHM90， DM2HD2+HM22HM2， DM= 2HM 故正确； CHMDHC+DHMDHC+90， CHM 的大小随DHC 即AMD 的变化而变化， 如当AMD75时， 则CHM165150 故错误； 作 HPAB 于点 P，HQAD 于点 Q，则 HPHQ=12AEAPEP 设正方形 ABCD 的边长为 x，HPHQa，则 AE2a SACE=122axax，SADH=12ax， SACE2SADH 故正确 故答案为： 10 【解答】解：A1，A2，A5分别是正方形的中心， 一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即1441 故 5 个正方形两两
26、重叠（阴影）部分的面积之和是 4 n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1（n1）n1 故答案为：4；n1 11 【解答】解：正确 理由：ABADAF，AGAG，BAFG90， RtABGRtAFG（HL） ； 正确 理由：EFDE=13CD2，设 BGFGx，则 CG6x 在直角ECG 中，根据勾股定理，得（6x）2+42（x+2）2， 解得 x3 BG363CG； 正确 理由：CGBG，BGGF， CGGF， FGC 是等腰三角形，GFCGCF 又RtABGRtAFG； AGBAGF，AGB+AGF2AGB180FGCGFC+GCF2GFC2GCF， AGBAGFGFCGCF，
27、 AGCF； 正确 理由：SGCE=12GCCE=12346， SAFE=12AFEF=12626， SEGCSAFE； 错误 BAGFAG，DAEFAE， 又BAD90， GAE45， AGB+AED180GAE135， 故答案为： 12 【解答】解：在矩形 ABCD 中，B90，tanBAC2， =2， ADBC，CDAB， =12， tanEAF=12， EF3， AF6， 故答案为 6 13 【解答】解：如图，连接 BD，设 AD 与 y 轴交于点 M， 点 A 的横坐标为 4，AD 平行 x 轴，且 AD 长为 5 点 D 的横坐标为1， 平行四边形 ABCD 的面积为 10， 12
28、ADOM=1410， OM1， 点 D（1，1） ， 四边形 ABCD 是平行四边形， BODO， 点 B（1，1） ， 故答案为： （1，1） 14 【解答】解：EFAC，点 G 是 AE 中点， OGAGGE=12AE， AOG30， OAGAOG30， GOE90AOG903060， OGE 是等边三角形，故（3）正确； 设 AE2a，则 OEOGa， 由勾股定理得，AO= 2 2= (2)2 2= 3a， O 为 AC 中点， AC2AO23a， BC=12AC=1223a= 3a， 在 RtABC 中，由勾股定理得，AB=(23)2 (3)2=3a， 四边形 ABCD 是矩形， CD
29、AB3a， DC3OG，故（1）正确； OGa，12BC=32a， OG12BC，故（2）错误； SAOE=12a3a=32a2，SABCD3a3a33a2， SAOE=16S矩形ABCD，故（4）正确； 综上所述，结论正确的是（1） （3） （4） 故答案为： （1） （3） （4） 15 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ABCD，BAE90， DECD， ABDE， ABBE， BEDE，故错误； BODO，BEDE， OE 与 BD 不垂直，故错误； 如图，作 CHBE 于 H，EGBD 于 G设 BE 与 AC 的交点为 F 则HBC+BCHBHC90， 四边形 ABCD 为矩
30、形， ADBC，ABCD，ABCBAD90，ADBC，ACBD ABE+CBH90， ABEBCH， ABE=12ACB， BCHGCH， BHFH，BCCG，CBHCGH， 设 ABx，则 EDCDABx， AE2，所以 ADAE+ED2+x， CBCF2+x， ADBC， AEGCBHCGHAGE， AFAE2，故正确； ACAG+CG4+x， 在 RtABC 中：AB2+BC2AC2， x2+（x+2）2（x+4）2，解得 x16，x22（舍） ， ABCD6，ADAC8，ACBD10， AC 与 BD 交于点 O， AOBOCODO5， sinBDA=35，cosBDA=45， EG=
31、35ED=185，DG=45ED=245， OGODDG5245=15， 在 RtOGE 中： OE2EG2+OG2（15）2+（185）2=32525=13， OE= 13，故正确 故其中正确的结论是 故答案为： 16 【解答】解：如图，连接 BD，以 BD 为直径作O，则点 P 在O 上，作 OEAD 于 E，连接 OM，PM，OP OEAD， AEDE4， OBOD，AEDE， OE=12AB3， AM2， EMAEAM2， OM= 2+ 2= 32+ 22= 13， 四边形 ABCD 是矩形， BAD90，BCAD8， BD= 2+ 2= 62+ 82=10， OPOBOD5， PMO
32、M+OP， PM 13 +5， PM 的最大值为13 +5， 故答案为13 +5 17 【解答】解：四边形 OABC 是矩形，B（8，7） ， OABC8，OCAB7， D（5，0） ， OD5， 点 P 是边 AB 的一点， ODDP5， AD3， PA= 52 32=4， PB3 故答案为：3 18 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ACBACDBAC45，ABBCCDAD， CN 平分BCF， BCN45NCF， ACN90， AMMN， AMNACN90， 点 A，点 C，点 N，点 M 四点共圆， CANCMN，MANMCN45，MNAMCA45， MANMNA， AMMN，
33、 BAM+AMB90NMC+AMB， BAMNMC， BAMCAE，故正确； ABCD， =， 当 BECE 时，AEEF， 点 N 在BCF 的平分线上移动， 点 E 的位置随点 N 的变化而变化， BE 不一定等于 EC，即 AE 不一定等于 EF，故错误； 如图 1，过点 M 作 MHMC，交 CA 的延长线于 H， ACB45， ACMH45， MHMC， CH= 2CM， AMNHMC90， HMACMN， AHMNCM（ASA） ， CNAH， CN+ACAH+ACHC= 2CM，故正确； 如图 2，在 CD 上截取 DGMB，连接 AG， ADAB，DABM90，DGBM， AD
34、GABM（SAS） ， AGAM，BAMDAG， MAGBAD90， MAN45， MANGAN45， 在AFM 和AFG 中， = = = ， AFMAFG（SAS） ， AFGAFM，MFGF， AF 平分MFD； MCF 的周长MC+CF+MFBM+BC+CF+FGDH+BC+CF+CG+CF2BC+2CF， MCF 的周长2a+2CF， 点 F 随点 N 的变化而变化，即 CF 的长度不确定， MCF 的周长不确定，故错误， 故答案为 19 【解答】解：四边形 ABCD 为正方形， ABCB，ABCCBF90， AGCF， AGF90， GAF+F90， BCF+F90， GAFBCF
35、， ABECBF（ASA） ， 故此小题结论正确； AG 是CAB 的角平分线， BAGCAG， AGFAGC90，AGAG， AFGACG（ASA） ， FGCG， 故此小题结论正确； CBF90，FGCG， BGCG， CBGBCG， ABCDCB90， ABGDCG， ABDC， ABGDCG（SAS） ， AGBDGC， DGC+AGDAGC90， AGB+AGD90， BGDG， 故此小题结论正确； ABGDCG， CDGBAGCAG， DCHACE， DCHACE， =22， DH=22， 故此小题结论错误 由上可知，正确的结论是， 故答案为： 20 【解答】解：四边形 BDEF
36、是正方形， BDED，BDE90， CDCD， 当ADB45时，ADBADE， 此时BDCEDC， 则BCD 不全等于ECD， 故错误； ABC 中，BAC90，AB=12BCa， AC= 3a， CD2AD， AD=33a， = 3， ADB60， ADEBDEADB30， 故正确； 过 F 作 FGAB 于点 G， 四边形 BDEF 是正方形， BDFB，DBFBADFGB90， ABD+ABFABF+GFB90， ABDGFB， ABDGFB（AAS） ， ABGFa， 点 F 到直线 AB 的距离为 a， 故正确； 过点 E 作 EHAC 于点 H， 四边形 BDEF 是正方形， BD
37、DE，BDEBADDHE90， ABD+BDABDA+HDE90， ABDHDE， ABDHDE（AAS） ， ADHE， ADABtanABDatanABD， AC= 3a， = = (3 )， =12 =12(2 + 3tanABD）a238 ( 32)2a2382， CDE 面积的最大值是38a2， 故正确； 故答案为： 21 【解答】解：四边形 ABCD 为正方形， ABAD，BD90， AEF 为等边三角形， AEAF， 在 RtABE 和ADF 中， = = ， RtABEADF， BEDF，BAEDAF， 而EAF60， BAEDAF15， AEB75，所以正确， CBCD， C
38、BBECDDF， 即 CECF，所以正确； CEF 为等腰直角三角形， CECF=22EF= 2， 设正方形的边长为 x，则 ABx，BEx2， 在 RtABE 中，AB2+BE2AE2， x2+（x2）222， 整理得 x22x10，解得 x1=2+62，x2=262（舍去） ， BE+DF2（x2）2（2:622）= 6 2 2，所以错误； S正方形ABCDx2（2:62）22+3，所以正确 对于的判断可用下面的方法： 连接 AC 交 EF 于 G，如图， AEAF，CECF， AC 垂直平分 EF， EGFG， BAE15，GAE30， BEAEsin15，EGAEsin30， BEEG
39、， BE+DFEF，所以错误 故答案为 三解答题（共三解答题（共 16 小题）小题） 22 【解答】证明：四边形 ABCD 是正方形， ABAD，BD90， BEDF， 在 RtABE 与 RtADF 中， = = = ， RtABERtADF（SAS） ， AEAF 23 【解答】解： （1）如图 1 中，过点 E 作 EHBF 于 H 四边形 ABCD 是正方形， DBC45， EHBD， EHBEsin45= 2 22=1 点 E 到 BD 的距离为 1 （2）如图 2 中，过点 F 作 AD 的垂线分别交 AD，BC 于点 M，N A，F，G 共线，EFG90， AFE90， ADF4
40、5 设 MFMDa， 且 ADMN， AMFN， NFE+AFMAFM+MAF， NFEMAF， AMFFNE（AAS） ， MFEN， 即 a32 a， a=322， FMDG， =， 322=52242， DG=1225 SDFG=121225322=185 （3）如图 3 中，设 CG= 2y，MFx 四边形 ABCD 是正方形， CBDCDB45，CBCD42， BD= 2BC8，DG42 2y， EMBD，GNBD， EMFEFGGNF90， DNNG4y， BE= 2， BMEM1， FN7x（4y）3x+y， MFE+GFN90GFN+FGN90， MFEFGN， EMFFNG，
41、 =， 13;:=4;， 整理得 x2（3+y）x+4y0， 0， （3+y）24（4y）0， 解得 y42 5 或 y542（舍弃） ， y 的最小值为 42 5， CG 的最小值852， 观察图象可知，当 CG 的值最小时，MN 的值最小，MN 的最小值81（942）42 2 24 【解答】解： （1）四边形 AECF 为菱形， AEEC， 设 AEECx, 四边形 ABCD 是矩形， D90, EC2DE2+CD2, x2(2x)2+(2)2, x=32, AE=32； （2）四边形 ABCD 为矩形， ABCD= 2，BCAD2，BD90， ABF 的面积为24， 12ABBF=24，
42、即：122 BF=24， BF=12， CFBCBF212=32， 在 RtABF 中，AF= 2+ 2=(2)2+ (12)2=32， AFCF， EFAC， EF 是 AC 的垂直平分线， AECE， 由（1）可知：AECE=32， AFCE， RtCDERtABF(HL)， SCDESABF=24； （3）如图，过点 C 作 CMEF 交 AD 的延长线于点 M， 四边形 ABCD 为矩形， ADBC，ADCABCBAC90， 四边形 CFEM 是平行四边形， EMCF，CMEF， EFAC， CMAC， ACM90， 在 RtACD 中，AC= 2+ 2=22+ (2)2= 6， ta
43、nCAD=, 22=6， CM= 3， EFCM= 3， cosCAD=, AM=2=(6)22=3， 即 AE+EM3， AE+CF3， 延长 CD 至 C，使 DCCD= 2，连接 CE， 过点 F 作 FGAD 于点 G，连接 BG，过点 E 作 EHBG 交 BC 于点 H， 在 RtEFG 中，EG= 2 2=(3)2 (2)2=1， 四边形 ABFG 是矩形， AFBG，FBGFAG， BGEH，EGBH， 四边形 BGEH 是平行四边形， EHBGAF，CHEFBG， 四边形 AECF 周长AE+AF+CF+CEAE+EM+BG+CEAM+EH+CE3+CE+EH， 当 C、E、
44、H 三点共线时，CE+EH 最小，即四边形 AECF 周长最小， 此时CEDCHEFBGFAG， CDEFGA90，CDFG， CDEFGA(AAS)， DEAG=12（ADEG）=12(21)=12， AEADDE212=32， 此时，CE= 2+ 2=(12)2+ (2)2=32， 四边形 AECF 周长最小值为 3+3226， 故当 AE=32时，四边形 AECF 周长最小值为 6 25 【解答】解：由题意得点 P 是以 BD 为直径，BD 中点为圆心的圆与点 D 为圆心，半径为 1 的圆的交点， 如图，当点 P 在 AD 上方时，连接 PD，PB，PA，作 AHBP 于点 H， 正方形
45、边长 BCCD= 2， BD= 2CD2， 即O 直径 BD 为 2，半径为 1， BPD90，PD=12BD1， DBP30，BP= 3DP= 3， ADBAPB45， AHP 为等腰直角三角形， 设 AHPHx，则 BH= 3 x， 在 RtAHB 中，由勾股定理得： AH2+BH2AB2， 即 x2+（3 x）22， 解得 x=3+12（舍）或3;12， AH=312 如图，当点 P 在 AD 下方时，连接 PD，PB，PA，作 AHBP 于点 H， 同理可得 AH=3+12 综上所述，点 A 到 BP 的距离为3;12或3:12 26 【解答】解： （1）如图所示，ABCD 即为所补全
46、图形； 作法：以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧，以 C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧相交于点 D，连接 AD、CD， 则ABCD 即为所补全图形； （2）ABCD， AOCO， ACE 是等边三角形， OE 是ACE 的中线， OE 垂直平分 AC， ADCD， ABCD 是菱形； （3）由（2）得，如图，在等边三角形 ACE 中，AEC60， AEB=12AEC30， AED2EAD， EAD=12AEB15， ADBAEB+EAD45， 在菱形 ABCD 中，ADC2ADB90， 菱形 ABCD 是正方形 27 【解答】解： （1）CECD，点 F 为 CE 的中点，CF2， DC
47、CE2CF4， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD4， AEBC， AEB90， 在 RtABE 中，由勾股定理得：BE= 2 2= 16 9 = 7； （2）AGE2CEG，理由如下： 延长 AG，交 BC 延长线于 M， 在ECG 和DCF 中， 2 =1 = = ， ECGDCF（AAS） ， CFCG， CECD，F 为 CE 的中点， DGCG， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， ADGMCG， 在ADG 和MCG 中， = = = ， ADGMCG（ASA） ， AGMG， AEC90， EG=12AMGM， GECM， AGEGEC+M， CEG=12AGE，
48、 AGE2CEG 28 【解答】解：证明： 菱形 ABCD， BCCD， E、F 分别是 BC、CD 的中点， ECFC， AC 是菱形 ABCD 的一条对角线， ACEACF， 在AEC 和AFC 中， = = = ， AECAFC（SAS） ， AEAF 29 【解答】解： （1）AGDE，AGDE. 证明：如图 1，延长 ED 交 AG 于点 H， 点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点， OAOCOD，OAOD， AOGDOE90， OG2OD，OE2OC， OGOE， 在AOG 和DOE 中， = = = ， AOGDOE（SAS） ， AGDE，AGODEO， AGO+GAO9
49、0， GAO+DEO90， AHE90， AGDE， 故 AGDE，AGDE； （2）在旋转过程中，OAG190有两种情况： （）n 由 0 增大到 90 过程中，当OAG190时， OAOD=12OG=12OG1， 在 RtOAG1中，sinAG1O=12， AG1O30， OAOD，OAAG1， ODAG1， DOG1AG1O30， 即 n30； （）n 由 90 增大到 180 过程中，当OAG190时， 同理可求BOG130， DOG118030150， n150； 综上所述，当OAG190时，n30 或 150 如图 3，d 的最大值为 E1HDE1+DH=62+22=6+22， 如
50、图 4，d 的最小值为 E1HDE1DH=6222=622 理由如下： 如图 3、 图 4 所示， 连接 E1G1， 设直线 E1D 交直线 AG1于 H， 作正方形 ABCD 的外接圆O， 仿照（1）的证明，可证得 DEAG，即在旋转过程中，E1HG190保持不变，所以 dE1H 在旋转过程中，E1H 的位置有以下两种情况： 第一种情况，当 E1H 在OE1G 内时，E1G1H45+OG1A，如图 3 所示， 第二种情况：当 E1H 在OE1G1外时，E1G1H45OG1A，如图 3 所示， OG12ODBD= 2AB= 2， E1G12 在 RtE1HG1中，sinE1G1H=111=2，