1、第第 3 3 课时课时 正弦定理正弦定理( (二二) ) 1已知 a，b，c 分别是ABC 的内角 A，B，C 所对的边，且满足acos Abcos Bccos C，则ABC 的形状是( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 答案 C 解析 由正弦定理asin Absin Bcsin C， 及acos Abcos Bccos C， 得sin Acos Asin Bcos Bsin Ccos C， 即 tan Atan Btan C，所以 ABC，即ABC 为等边三角形 2在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 bcos Aacos Bc2，ab2，
2、则ABC 的周长为( ) A5 B6 C7 D7.5 答案 A 解析 由余弦定理，得 bb2c2a22bcaa2c2b22acc2c1，即ABC 的周长为 5，故选A. 3在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bc2a,3sin A5sin B，则 C等于( ) A.3 B.34 C.23 D.56 答案 C 解析 由asin Absin B和 3sin A5sin B，得 3a5b，即 b35a，又 bc2a, c75a，由余弦定理，得 cos Ca2b2c22ab12，C23，故选 C. 4ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asin Ab
3、sin B4csin C，cos A14，则bc等于( ) A6 B5 C4 D3 答案 A 解析 asin Absin B4csin C， 由正弦定理，得 a2b24c2，即 a24c2b2. 由余弦定理，得 cos Ab2c2a22bcb2c24c2b22bc3c22bc14， bc6.故选 A. 5(多选)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则下列等式恒成立的是( ) Aa2b2c22bccos A BasinBbsin A Cabcos Cccos B Dacos Bbcos Cc 答案 ABC 解析 对于 A，根据余弦定理，可得 a2b2c22bccos A，故
4、 A 正确； 对于 B，根据正弦定理边角互化，可得 asin Bbsin Aabab，故 B 正确； 对于 C，根据正弦定理，得 abcos Cccos B sin Asin B cos Csin C cos Bsin(BC)sin A，故 C 正确； 对于 D, 根据正弦定理的边角互化可得， sin Acos Bsin Bcos Csin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B， 即 sin Bcos Ccos Asin B， 又 sin B0，所以 cos Ccos A，当 AC 时，等式成立，故 D 不正确 6在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若
5、A6，a2b2c2ab，c3，则角C_，a_. 答案 3 3 解析 由 a2b2c2ab， 得 cos Ca2b2c22ab12， C(0，)，C3， 由正弦定理asin Acsin C， 得 acsin Asin C31232 3. 7在ABC 中，若 bacos C，则ABC 的形状为_ 答案 直角三角形 解析 bacos C， sin Bsin Acos C， 则 sin(AC)sin Acos C. 即 cos Asin C0， A，C(0，)，sin C0， cos A0， A2， ABC 为直角三角形 8在ABC 中，A3，BC3，则ABC 的周长为_(用 B 表示) 答案 6si
6、nB63 解析 在ABC 中，由正弦定理得ACsin B332， 即 AC2 3sin B，ABsinB3332， 化简得 AB2 3sin23B ， 所以三角形的周长为 BCACAB32 3sin B2 3sin23B 33 3sin B3cos B 6sinB63. 9已知ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acos C32cb. (1)求 A 的大小； (2)若 a1，b 3，求 c 的值 解 (1)由 acos C32cb， 得 sin Acos C32sin Csin B. 因为 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C， 所以32si
7、n Ccos Asin C. 因为 sin C0，所以 cos A32. 因为 0A，所以 A6. (2)由正弦定理，得 sin Bbsin Aa32. 所以 B3或23. 当 B3时，由 A6，得 C2， 所以 c2； 当 B23时，由 A6，得 C6， 所以 ca1. 综上可得 c1 或 2. 10在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且cos Bcos Cb2ac. (1)求 B 的大小； (2)若 b 13，ac4，求 a 的值 解 (1)由余弦定理，得 cos Ba2c2b22ac， cos Ca2b2c22ab， 原式化为a2c2b22ac2aba2b2c2b2a
8、c， 整理，得 a2c2b2ac0， cos Ba2c2b22acac2ac12， 又 0B，B23. (2)将 b 13，ac4，B23， 代入 b2a2c22accos B 得， 13a2(4a)22a(4a) cos 23， 即 a24a30.解得 a1 或 a3. 11在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 acos Bbcos A4sin C，则ABC外接圆的面积为( ) A16 B8 C2 D4 答案 D 解析 因为 acos Bbcos A4sin C，所以由正弦定理可得， sin Acos Bsin Bcos A4sin C2R， 化简得，sin(AB)4
9、sin C2R， 在ABC 中，sin(AB)sin C， 解得 R2，所以ABC 外接圆的面积为 SR24. 12在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 8b5c，C2B，则 cos C 等于( ) A.725 B725 C725 D.2425 答案 A 解析 因为在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 8b5c，C2B，所以8sin B5sin C5sin 2B10sin Bcos B，又 sin B0，所以 cos B45， 所以 cos Ccos 2B2cos2 B1725. 13在ABC 中，若 A4，sin B 2cos C，则AB
10、C 为( ) A直角非等腰三角形 B等腰非直角三角形 C非等腰且非直角三角形 D等腰直角三角形 答案 D 解析 由 A4，sin B 2cos Csin Bcos C 2sin34Ccos Csin4Ccos C2222tan C 2tan C1，又 C(0，)，则 C4， 所以 B2，ABC 为等腰直角三角形故选 D. 14 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 2sin Asin Bcos Csin2C， 则a2b2c2_，角 C 的最大值为_ 答案 2 3 解析 2sin Asin Bcos Csin2C， 2abcos Cc2a2b2c2c2a2b
11、2c22， cos Ca2b2c22aba2b24ab12， 0C，0C3，当且仅当 ab 时取等号 即角 C 的最大值为3. 15在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，B23，若 a2c24ac，则sinACsin Asin C_. 答案 10 33 解析 由余弦定理得，b2a2c22ac cos B5ac， 由正弦定理，得 sin2B5sin Asin C34， 所以 sin Asin C320， 所以sinACsin Asin Csin BsinAsin C10 33. 16在ABC 中，已知abasin Bsin Bsin A，且 cos(AB)cos C1cos 2
12、C. (1)试确定ABC 的形状； (2)求acb的取值范围 解 (1)在ABC 中，设其外接圆半径为 R， 根据正弦定理得，sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R， 代入abasin Bsin Bsin A，得ababba， 所以 b2a2ab. 因为 cos(AB)cos C1cos 2C， 所以 cos(AB)cos(AB)2sin2C， 所以 sin Asin Bsin2C. 由正弦定理，得a2Rb2Rc2R2， 所以 abc2. 把代入得，b2a2c2， 即 a2c2b2. 所以ABC 是直角三角形 (2)由(1)知 B2， 所以 AC2， 所以 C2A. 所以 sin Csin2A cos A. 根据正弦定理，得 acbsin Asin Csin Bsin Acos A 2sinA4. 因为 acabc2， 所以 ac， 所以 0A4， 所以4A42. 所以22sinA41， 所以 1 2sinA4 2， 即acb的取值范围是(1， 2 )