1、第第 4 4 课时课时 余弦定理、正弦定理应用举例余弦定理、正弦定理应用举例 1已知海上 A，B 两个小岛相距 10 海里，C 岛临近陆地，若从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60 的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75 的视角，则 B 岛与 C 岛之间的距离是( ) A10 3 海里 B.10 63海里 C5 2 海里 D5 6 海里 答案 D 解析 如图所示，C180 60 75 45 ，AB10 (海里) 由正弦定理，得10sin 45BCsin 60， 所以 BC5 6(海里) 2(多选)某人向正东方向走了 x km 后向右转了 150 ，然后沿新方向走了 3 km，结果离出发
2、点恰好 3 km，则 x 的值为( ) A. 3 B2 3 C2 D3 答案 AB 解析 如图所示，在ABC 中，ABx，BC3，AC 3，ABC30 ， 由余弦定理得，AC2AB2BC22AB BC cosABC. 即( 3)2x2322x 3 cos 30 . x23 3x60. 解得 x2 3或 x 3. 3 一艘船向正北方向航行， 看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后， 看见一灯塔在船的南偏西 60 方向上， 另一灯塔在船的南偏西 75 方向上，则这艘船的速度是( ) A5 2 海里/时 B5 海里/时 C10 2 海里/时 D10 海里/时
3、答案 D 解析 如图，依题意有BAC60 ，BAD75 ，所以CADCDA15 ，从而 CDCA10(海里)，在 RtABC 中，由正弦定理，可得 AB5(海里)，所以这艘船的速度是 10海里/时故选 D. 4 从高出海平面h米的小岛上看正东方向有一只船俯角为30 ， 看正南方向一只船俯角为45 ，则此时两船间的距离为( ) A2h 米 B. 2h 米 C. 3h 米 D2 2h 米 答案 A 解析 如图所示，BC 3h，ACh， AB 3h2h22h. 即此时两船间的距离为 2h 米 5如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取 A，B 两点，从 A，B 两点测得建筑物顶端的仰角分别为 30
4、 ，45 ，且 A，B 两点间的距离为 60 m，则该建筑物的高度为( ) A(3030 3)m B(3015 3)m C(1530 3)m D(1515 3)m 答案 A 解析 在PAB 中， PAB30 ， APB15 ， AB60 m， sin 15 sin(45 30 )sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 6 24，由正弦定理，得 PBABsin 30sin 1530( 6 2)m，所以建筑物的高度为 PBsin 45 30( 6 2)22(3030 3)m. 6.一角槽的横断面如图所示，四边形 ABED 是矩形，已知DAC50 ，CBE70 ，AC90，BC150
5、，则 DE_. 答案 210 解析 由题意知ACB120 ，在ACB 中，由余弦定理，得 AB2AC2BC22AC BC cosACB90215022901501244 100. AB210，DE210. 7如图，为了测量 A，C 两点间的距离，选取同一平面上 B，D 两点，测出四边形 ABCD 各边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，A，B，C，D 四点共圆，则 AC 的长为_ km. 答案 7 解析 因为 A，B，C，D 四点共圆，所以 DB. 在ABC 和ADC 中， 由余弦定理，可得 8252285cos(D) 3252235cos D，整理，得 cos D12， 代
6、入，得 AC232522351249， 故 AC7(km)，即 AC 的长为 7 km. 8一艘船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60 方向上，行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15 方向上，这时船与灯塔间的距离为_ km. 答案 30 2 解析 如图所示，在ABC 中，BAC30 ，ACB105 ， 则ABC45 ， AC60 km，根据正弦定理，得 BCACsinBACsinABC60sin 30sin 4530 2(km) 9.如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 6 n mile
7、，渔船乙以 5 n mile/h 的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 h 追上 (1)求渔船甲的速度； (2)求 sin . 解 (1)依题意，知BAC120 ，AB6，AC5210. 在ABC 中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC621022610cos 120 196， 解得 BC14，v甲BC27， 所以渔船甲的速度为 7 n mile/h. (2)在ABC 中，AB6，BAC120 ，BC14，BCA. 由正弦定理，得ABsin BCsin 120， 即 sin ABsin 120BC63214
8、3 314. 10.如图， 游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径： 一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.山路 AC 长为 1 260 m，经测量，cos A1213，cos C35.求索道 AB 的长 解 在ABC 中，因为 cos A1213，cos C35， 所以 sin A513，sin C45. 从而 sin Bsin(AC)sin(AC) sin Acos Ccos Asin C513351213456365. 由ABsin CACsin B， 得 ABACsin B sin C1 2606365451 040(m)
9、 所以索道 AB 的长为 1 040 m. 11.(多选)如图所示，为了测量某湖泊两侧 A，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B 不共线的一点 C，然后给出了三种测量方案(ABC 的角 A，B，C 所对的边分别记为 a，b，c)，则一定能确定 A，B 间距离的所有方案为( ) A测量 A，B，b B测量 a，b，C C测量 A，B，a D测量 A，B，C 答案 ABC 解析 对于 A，利用内角和定理先求出 CAB，再利用正弦定理bsin Bcsin C解出 c；对于 B，直接利用余弦定理 c2a2b22abcos C 即可解出 c；对于 C，先利用内角和定理求出CAB，再利用正弦定理as
10、in Acsin C解出 c；对于 D，不知道长度，显然不能求 c. 12.如图所示，D，C，B 在地平面同一直线上，DC10 m，从 D，C 两地测得 A 点的仰角分别为 30 和 45 ，则 A 点离地面的高 AB 等于( ) A10 m B5 3 m C5( 31) m D5( 31) m 答案 D 解析 方法一 设 ABx，则 BCx. BD10 x.tanADBABDBx10 x33. 解得 x5( 31) A 点离地面的高 AB 等于 5( 31) m. 方法二 ACB45 ，ADC30 ， CAD45 30 15 . 由正弦定理，得 ACCDsinCAD sinADC 10sin
11、 15 sin 30 5( 6 2) ABACsin 45 5( 31) 即 A 点离地面的高 AB 等于 5( 31)m. 13.如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m，50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为( ) A30 B45 C60 D75 答案 B 解析 依题意，可得 AD20 10，AC30 5， 又 CD50，所以在ACD 中， 由余弦定理，得 cosCADAC2AD2CD22AC AD 30 5220 102502230 520 106 0006 000 222， 又 0 CAD180 ， 所以CAD45
12、 ， 所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45 . 14一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45 ，沿点 A 向北偏东 30 前进 100 m 到达点B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30 ，则水柱的高度是( ) A50 m B100 m C120 m D150 m 答案 A 解析 如图，设水柱的高度是 h m，水柱底端为 C，则在ABC 中，BAC60 ，ACh，AB100，BC 3 h，根据余弦定理得，( 3h)2h210022h100cos 60 ，即 h250h5 0000，即(h50)(h1
13、00)0，解得 h50 或 h100(舍去)，故水柱的高度是 50 m. 15在某次地震时，震中 A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市 B，C，D.已知 B，C 两市相距 20 km，C，D 两市相距 34 km，C 市在 B，D 两市之间，如图所示，某时刻 C 市感到地表震动，8 s 后 B 市感到地表震动，20 s 后 D 市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒 1.5 km.， 则震中 A 到 B， C， D 三市的距离分别为_ 答案 1327 km，487 km，2587 km 解析 由题意得，在ABC 中， ABAC1.5812(km) 在ACD 中，ADAC1
14、.52030(km) 设 ACx (km)， 则 AB(12x)(km)，AD(30 x)(km) 在ABC 中，cosACBx240012x2220 x 25624x40 x323x5x， 在ACD 中，cosACDx21 15630 x268x 25660 x68x6415x17x. B，C，D 在一条直线上， 6415x17x323x5x， 即6415x173x325， 解得 x487.即 AC487(km) AB1327 km，AD2587 km. 16.如图，在海岸 A 处发现北偏东 45 方向，距 A 处( 31)海里的 B 处有一艘走私船在 A处北偏西 75 方向，距 A 处 2
15、 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/时的速度，从 B 处向北偏东 30 方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间 解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船， 则 CD10 3t，BD10t， 在ABC 中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22AB ACcos BAC ( 31)2222( 31) 2 cos 120 6. BC 6.又BCsin BACACsinABC， sinABCAC sin BACBC2 sin 120622， 又 0 ABC60 ，ABC45 ， B 点在 C 点的正东方向上， CBD90 30 120 ， 在BCD 中，由正弦定理，得BDsinBCDCDsinCBD， sinBCDBD sinCBDCD10t sin 12010 3t12. 又0 BCD60 ，BCD30 ， 缉私船沿北偏东 60 的方向行驶 又在BCD 中，CBD120 ，BCD30 ， CDB30 ，BDBC， 即 10t 6. t610(小时)15(分钟) 缉私船应沿北偏东 60 的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟