1、第四课时第四课时 正、余弦定理在几何中的应用正、余弦定理在几何中的应用 基础达标 一、选择题 1.在ABC 中，若 c2acos B，则ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析 c2acos B，由正弦定理得， 2cos Bsin Asin Csin(AB)， sin Acos Bcos Asin B0， 即 sin(AB)0， 又AB， AB0， AB. ABC 是等腰三角形. 答案 C 2.在ABC 中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，则 A 的取值范围是( ) A.0，6 B.6， C.0，3 D.3， 解析
2、 设内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 则由已知及正弦定理得 a2b2c2bc. 由余弦定理得 a2b2c22bccos A， 则 cos A12.0A， 0A3.故选 C. 答案 C 3.在ABC 中，若满足 sin2Asin2B 3sin B sin Csin2C，则 A 等于( ) A.30 B.60 C.120 D.150 解析 设内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， sin2Asin2B 3sin B sin Csin2C， 由正弦定理得 a2b2c2 3bc， cos Ab2c2a22bc32， 又0 A180 ，A150 . 答案 D 4.已知三角形的面积为1
3、4，外接圆面积为，则这个三角形的三边之积为( ) A.1 B.2 C.12 D.4 解析 设三角形外接圆半径为 R， 则由 R2，得 R1. 由三角形面积 S12absin Cabc4Rabc414，abc1. 答案 A 5.已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，23cos2Acos 2A0，a7，c6，则 b( ) A.10 B.9 C.8 D.5 解析 化简 23cos2Acos 2A0，得 23cos2A2cos2A10，解得 cos A15.由余弦定理，知 a2b2c22bccos A，代入数据，得 b5. 答案 D 二、填空题 6.在ABC 中，已知 a3 2
4、，cos C13，SABC4 3，则 b_. 解析 cos C13，C(0，)，sin C2 23， 12absin C4 3，b2 3. 答案 2 3 7.在ABC 中，已知 a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，若 b2a，BA60 ，则 A_. 解析 b2a，sin B2sin A， 又BA60 ， sin(A60 )2sin A， 即 sin Acos 60 cos Asin 60 2sin A， 化简得 sin A33cos A， tan A33， 又0 A180 ，A30 . 答案 30 8.在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为3
5、15，bc2，cos A14，则 a 的值为_. 解析 因为 cos A14，0A， 所以 sin A 1cos2A154. 由 3 1512bcsin A 得 bc24. 又因为 bc2， 所以 b6，c4. 由余弦定理得 a2b2c22bccos A36161264.故 a8. 答案 8 三、解答题 9.在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，角 C 是钝角，且 sin Bb2c. (1)求角 C 的值； (2)若 b2，ABC 的面积为 3，求 c 的值. 解 (1)由 sin Bb2c得 2csin Bb， 由正弦定理得 2sin Csin Bsin B， 所以 si
6、n B(2sin C1)0. 因为 sin B0， 所以 sin C12. 因为 C 是钝角， 所以 C56. (2)由 S12absin C12a 3，得 a2 3， 由余弦定理得 c2a2b22abcos C 12422 323228， 即 c 的值为 2 7. 10.在ABC 中， 三个角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且 acos B(2cb)cos A. (1)求角 A： (2)若 b3，点 M 在线段 BC 上，ABAC2AM，|AM|3 72，求ABC 的面积. 解 (1)因为 acos B(2cb)cos A， 故由正弦定理，得 sin Acos B(2si
7、n Csin B)cos A， 即 sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos A， 整理得 sin C2sin Ccos A， 因为在ABC 中，sin C0， 所以 cos A12. 由于 A(0，)，可得 A3. (2)ABAC2AM， 两边平方，得AB2AC22AB AC4AM2. 由 b3，|AM|3 72，cos A12， 得 c292c31263， 解得 c6 或 c9(舍去)， 所以ABC 的面积 S1263329 32. 能力提升 11.已知锐角ABC 中，A2B，AC2，则 BC 的范围为( ) A.(2 2，2 3) B.( 2， 3) C.22，32 D
8、.2 2，2 3 解析 由正弦定理得BCsin A2sin B， 所以BC2sin Bcos B2sin B， 即 BC4cos B， 又ABC 是锐角三角形， 所以 90 AB180 且 A90 ， 所以 30 B45 ， 所以22cos B32， 所以 2 2BC2 3，故选 A. 答案 A 12.某市欲建一个圆形公园，现规划设立 A，B，C，D 四个出入口(在圆周上)，并以直路顺次连通， 其中 A， B， C 的位置已确定.已知 AB2， BC6， ABC，如图所示.请你为规划部门解决以下问题： (1)如果 DCDA4，求四边形 ABCD 的面积； (2)如果圆形公园的面积为283，求
9、cos 的值. 解 (1)ADCABC， cosADCcos . 连接 AC.在ABC 和ADC 中分别使用余弦定理，可得 AC22262226cos 4242244(cos )，解得 cos 17， sinADCsin 4 37， 四边形 ABCD 的面积 SSABCSADC12(BA BCDA DC)sin 12(2644)4 378 3. (2)圆形公园的面积为283， 圆形公园的半径 R2 213. 在ABC 中，由正弦定理，可知 AC2Rsin 4 213sin . 由余弦定理，可知 AC22262226cos 4024cos ， 4 213sin 24024cos ， 化简得 14cos29cos 10， 解得 cos 12或 cos 17. 创新猜想 13.(多选题)在ABC 中，B30 ，AB2 3，AC2，则ABC 的面积是( ) A.2 3 B. 3 C.3 3 D.4 3 解析 在ABC 中，因为 B30 ，AB2 3，AC2， 所以由ACsin BABsin C，得 sin CAB sin BAC32， 又因为 AB sin 30 AC0，c0，ac3. 答案 (1)4 77 (2)3