1、第二课时第二课时 正弦定理正弦定理 基础达标 一、选择题 1.在ABC 中，a3，A30 ，B15 ，则 c 等于( ) A.1 B. 2 C.3 2 D. 3 解析 C180 30 15 135 ，casin Csin A322123 2.应选 C. 答案 C 2.在ABC 中，若sin Aacos Cc，则 C 的值为( ) A.30 B.45 C.60 D.90 解析 由正弦定理知sin Aasin Cc，sin Cccos Cc， cos Csin C，tan C1，又0 Cb，所以 AB，即 B30 .故选 A. 答案 A 5.在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c
2、，若 c 3，A75 ，B45 ，则ABC 的外接圆的面积为( ) A.4 B. C.2 D.4 解析 在ABC 中，A75 ，B45 ，所以 C180 AB60 .设ABC 的外接圆的半径为 R，则由正弦定理，可得 2Rcsin C3322，解得 R1，故ABC的外接圆的面积 SR2，故选 B. 答案 B 二、填空题 6.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A45，cos C513，a1，则 b_. 解析 在ABC 中，由 cos A45，cos C513，可得 sin A35，sin C1213， sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin
3、C6365， 又 a1，故由正弦定理得 basin Bsin A2113. 答案 2113 7.在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ax，b2，B45 .若ABC 有两解，则 x 的取值范围是_. 解析 因为ABC 有两解，所以 asin Bba， 即 xsin 45 2x，所以 2xc，所以 BC30 ，所以 B60 或 120 . 当 B60 时，A90 ，acsin Asin C6sin 90sin 3012. 当 B120 时，A30 ，acsin Asin C6sin 30sin 306. 所以 a6 或 12. 10.在ABC 中，已知 a10，B75 ，C6
4、0 ，试求 c 及ABC 的外接圆半径R. 解 ABC180 ，A180 75 60 45 . 由正弦定理，得asin Acsin C2R， ca sin Csin A1032225 6， 2Rasin A102210 2，R5 2. 能力提升 11.在ABC 中，若 sin C2sin Bcos B，且 B6，4，则cb的范围为( ) A.( 2， 3) B.( 3，2) C.(0，2) D.( 2，2) 解析 由正弦定理及已知得cbsin Csin B2sin Bcos Bsin B2cos B.又6B4， 余弦函数在此范围内是减函数，故22cos B32，cb( 2， 3). 答案 A
5、12.在ABC 中，已知 a2tan Bb2tan A，试判断ABC 的形状. 解 设三角形外接圆半径为 R， 则 a2tan Bb2tan Aa2sin Bcos Bb2sin Acos A，4R2sin2Asin Bcos B4R2sin2Bsin Acos A， sin Acos Asin Bcos Bsin 2Asin 2B 2A2B 或 2A2BAB 或 AB2. 所以ABC 为等腰三角形或直角三角形. 创新猜想 13.(多选题)锐角ABC 中，三个内角分别是 A，B，C，且 AB，则下列说法正确的是( ) A.sin Asin B B.cos Acos B D.sin Bcos A
6、 解析 ABabsin Asin B，故 A 成立. 函数 ycos x 在区间0，上是减函数， AB，cos A2，A2B， 函数 ysin x 在区间0，2上是增函数， 则有 sin Asin2B ，即 sin Acos B，C 成立， 同理 sin Bcos A，故 D 成立. 答案 ABCD 14.(多空题)在ABC 中，B4，BC 边上的高 AD 等于13BC，且 AD1，则 AC_，sin A_. 解析 如图，由 AD1，B4，知 BD1，又 AD13BCBD， BC3，DC2，AC 1222 5. 由正弦定理知，sin BACsin B BCAC22353 1010. 答案 5 3 1010