1、第第 5 5 课时课时 余弦定理余弦定理、正弦定理的应用正弦定理的应用 1在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 A30 ，ab2，则ABC 的面积为( ) A1 B. 3 C2 D2 3 答案 B 解析 在ABC 中，A30 ，ab2， 由等腰三角形的性质可得，AB30 ， 则 C18030 30 120 ， SABC12absin C122232 3. 2在ABC 中，AB 3，AC1，B30 ，SABC32，则 C 等于( ) A60 或 120 B30 C60 D45 答案 C 解析 在ABC 中，AB 3，AC1，B30 ， SABC12AB ACsin A32
2、，可得 sin A1， 所以 A90 ， 所以 C180 AB60 . 3(多选)在ABC 中，AB 3，AC1，B6，则ABC 的面积可以是( ) A.32 B1 C.33 D.34 答案 AD 解析 AB 3，AC1，B6， 又由余弦定理，得 AC2AB2BC22AB BC cos B， BC23BC20， BC1 或 BC2， SABC12 AB BC sin B， SABC32或 SABC34. 4如图，在ABC 中，B45 ，AC8，D 是 BC 边上一点，DC5，DA7，则 AB 的长为( ) A4 2 B4 3 C8 D4 6 答案 D 解析 因为 DC5，DA7，AC8， 所以
3、 cosADC72528227517， 因此 cosADB17，所以 sinADB4 37， 又 B45 ，DA7， 由正弦定理，可得DAsin BABsinADB， 所以 ABDA sinADBsin B74 37224 6. 5若ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2，c 5，ABC 的面积 S52cos A，则 a 等于( ) A1 B. 5 C. 13 D. 17 答案 A 解析 因为 b2，c 5，S52cos A12bcsin A 5sin A，所以 sin A12cos A所以 sin2Acos2A14cos2Acos2A54cos2A1.所以 cos A
4、2 55.所以 a2b2c22bccos A4522 52 55981，故选 A. 6在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a 3，b 2，A60 ，则角 B ，ABC 的面积是 答案 45 3 34 解析 在ABC 中，由正弦定理asin Absin B， 得 sin Bbsin Aa2sin 60322， 又因为 ba，所以 BA，所以 B45 ，则 C75 ，则 SABC12absin C12 3 2sin 753 34. 7已知在ABC 中，AB 3，BC1，sin B 3cos B0，则ABC 的面积为 答案 34 解析 由 sin B 3cos B0，可得
5、tan B 3，所以 B120 ，于是 SABC12 AB BC sin B12 31sin 120 34. 8在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a1，A60 ，c33，则ABC的面积为 答案 36 解析 由正弦定理得csin Casin A， 即33sin C132，解得 sin C12. 又 ca，所以 CA，且 0 C180 ，所以 C30 ， 故 B90 ，所以 S12ac1213336. 9ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C. (1)求 A 的大小； (2)若 bc6，ABC
6、的面积为 2 3，求 a 的值 解 (1)(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C. 由正弦定理，得(bc)2a2bc， 即 b2c2a2bc， cos A12，A(0，)，A23. (2)S12bcsin A34bc2 3，bc8， 又 bc6， a2b2c22bccos A(bc)2bc36828， a2 7. 10.如图所示，在四边形 ABCD 中，D2B，且 AD1, CD3，cos B33. (1)求ACD 的面积； (2)若 BC2 3，求 AB 的长 解 (1)因为 D2B，cos B33， 所以 cos Dcos 2B2cos2B113. 因为 D(0，)， 所
7、以 sin D 1cos2D2 23. 因为 AD1，CD3， 所以ACD 的面积为 S12AD CD sin D12132 23 2. (2)在ACD 中，AC2AD2DC22AD DC cos D12， 所以 AC2 3. 因为 BC2 3，ACsin BABsinACB， 所以2 3sin BABsin 2BABsin 2BAB2sin Bcos B， 所以 AB4. 11在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b5，C60 ，且ABC 的面积为 5 3，则ABC 的周长为( ) A8 21 B9 21 C10 21 D14 答案 B 解析 由题意及三角形的面积公式
8、，得12absin C5 3，即12a5325 3，解得 a4，根据余弦定理， 得 c2a2b22abcos C， 即 c216252451221， c 21， 所以ABC的周长为 9 21.故选 B. 12已知向量 a(2，1)，b(2,2)，则以 a，b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A6 B3 C4 D8 答案 A 解析 设向量 a 与 b 的夹角为 ，则由题意得，cos a b|a|b|22122212 22221010，则 sin 3 1010，所以平行四边形的面积为 S212|a|b|sin 52 23 10106，故选A. 13 已知在ABC中， AC2， AB3， BAC6
9、0 ， AD是ABC的角平分线， 则AD . 答案 6 35 解析 如图，SABCSABDSACD， 1232sin 60 123ADsin 30 122ADsin 30 ， AD6 35. 14在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，S 为ABC 的面积，若 c2acos B，S12a214c2，则ABC 的形状为 ，C 的大小为 答案 等腰三角形 4 解析 c2acos B， 根据正弦定理可得，sin C2sin Acos B， 即 sin(AB)2sin Acos B， sin(AB)0， AB， ABC 的形状为等腰三角形 S12a214c2， 12absin C14
10、a214a214c214a214b214c2， sin Ca2b2c22ab， 又由余弦定理可得，cos Ca2b2c22ab， sin Ccos C，即 tan C1， C(0，)， C4. 15在圆 O 的内接四边形 ABCD 中，AB2，BC6，CDAD4，则四边形 ABCD 的面积S 为( ) A4 3 B6 3 C8 3 D10 3 答案 C 解析 如图， 由余弦定理，得 在ABD 中，BD2416224cos A2016cos A， 在CBD 中，BD21636246cos C5248cos C， AC180 ， 2016cos A5248cos A， 解得 cos A12， A1
11、20 ，C60 . SSABDSCBD1224sin 120 1246sin 60 8 3. 16设 f(x)sin xcos xcos2x4，xR. (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)在锐角三角形 ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f A20，a1，求ABC 面积的最大值 解 (1)f(x)sin xcos xcos2x4，xR. 化简可得，f(x)12sin 2x1212cos2x2 12sin 2x12sin 2x12sin 2x12， 由22k2x22k，kZ. 可得4kx4k，kZ， 函数 f(x)的单调递增区间是4k，4k ，kZ. (2)由 f A20，即 sin A120， 可得 sin A12， 0A2， cos A32. 由余弦定理 a2b2c22bccos A， 可得 1 3bcb2c2. b2c22bc，当且仅当 bc 时等号成立 1 3bc2bc， bc2 3. ABC 的面积为 S12bcsin A2 34. 故ABC 面积的最大值为2 34.