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6.4.3(第3课时)余弦定理、正弦定理应用举例 同步练习(含答案)

1、6.4.3 第第 3 课时课时 余弦定理、正弦定理应用举例余弦定理、正弦定理应用举例 A 组 基础巩固练 一、选择题 1学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得 AC 的长度为 4 m,A30 ,则其跨度 AB 的长为( ) A12 m B8 m C3 3 m D4 3 m 2一艘船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75 距塔 68 n mile 的 M处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为( ) A17 62 n mile/h B34 6 n mile/h C17 22 n mile/h D34 2 n mile/h 3我舰在敌岛

2、 A 处南偏西 50 的 B 处,且 A,B 距离为 12 海里,发现敌舰正离开岛沿北偏西10 的方向以每小时10海里的速度航行, 若我舰要用2小时追上敌舰, 则速度大小为( ) A28 海里/时 B14 海里/时 C14 2海里/时 D20 海里/时 4在地面上点 D 处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端 A 与底部 B 的仰角分别为60 和 30 ,已知建筑物底部高出地面 D 点 20 m,则建筑物高度为( ) A20 m B30 m C40 m D60 m 5如图所示,在地面上共线的三点 A,B,C 处测得一建筑物的仰角分别为 30 ,45 ,60 ,且 ABBC60 m,则建筑物的

3、高度为( ) A15 6 m B20 6 m C25 6 m D30 6 m 二、填空题 6有一个长为 1 千米的斜坡,它的倾斜角为 75 ,现要将其倾斜角改为 30 ,则坡底要伸长_千米 7 如图, 在高速公路建设中需要确定隧道的长度, 工程技术人员已测得隧道两端的两点 A,B 到点 C 的距离 ACBC1 km,且 C120 ,则 A,B 两点间的距离为_ km. 8一次机器人足球比赛中,甲队 1 号机器人由点 A 开始做匀速直线运动,到达点 B 时,发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动, 如图所示, 已知AB4 2 dm,AD17 dm,BAC45 ,若忽略机器人原地

4、旋转所需的时间,则该机器人最快可在距 A点_ dm 的 C 处截住足球 三、解答题 9在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为3a2的军事基地 C 处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处, 且ADB30 , BDC30 , DCA60 ,ACB45 ,如图所示,求蓝方这两支精锐部队的距离 10岛 A 观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只,正以每小时 10 海里的速度向东南方向航行(如图所示), 观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查 接到通知后,海监船测得可疑船只在其北偏东 75 方向且相距 10 海里的 C 处, 随即以每小时 10 3海里的速度前往拦截

5、(1)问:海监船接到通知时,距离岛 A 多少海里? (2)假设海监船在 D 处恰好追上可疑船只,求它的航行方向及其航行的时间 B 组 素养提升练 11如图,从气球 A 上测得其正前下方的河流两岸 B,C 的俯角分别为 75 ,30 ,此时气球的高度 AD 是 60 m,则河流的宽度 BC 是( ) A240( 31) m B180( 21) m C120( 31) m D30( 31) m 12甲船在岛 A 的正南 B 处,以每小时 4 千米的速度向正北航行,AB10 千米,同时乙船自岛 A 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60 的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为(

6、) A1507 分钟 B157 分钟 C21.5 分钟 D2.15 小时 13台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动,离台风中心 30 千米内的地区为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的时间为_小时. 14 (一题两空)甲船在 A 处观察乙船, 乙船在它的北偏东 60 方向的 B 处, 两船相距 a n mile,乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船的 3倍,则甲船应沿_方向行驶才能追上乙船;追上时甲船行驶了_n mile. C 组 思维提升练 15某省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作,用上了无人机为了测量两山顶 M,N间的距离,无人机沿

7、水平方向在 A,B 两点进行测量,A,B,M,N 在同一个铅垂平面内(如图),无人机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离,请设计一个方案,包括:指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);用文字和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤 参考答案 A 组 基础巩固练 一、选择题 1 【答案】D 【解析】由题意知,AB30 , 所以C180 30 30 120 , 由正弦定理得,ABsin CACsin B, 即 ABAC sin Csin B4 sin 120sin 304 3m. 2 【答案】A 【解析】如图所示,在PMN 中,PMsin 45MNsin 120, MN68 3234 6

8、, vMN417 62 n mile/h. 3 【答案】B 【解析】如图,设我舰在 C 处追上敌舰,速度为 v,在ABC 中,AC10220 海里, AB12 海里,BAC120 , BC2AB2AC22AB ACcos 120 784, BC28 海里,v14 海里/小时 4 【答案】C 【解析】如图,设 O 为顶端在地面的射影, 在 RtBOD 中,ODB30 ,OB20,则 BD40,OD20 3. 在 RtAOD 中,OAOD tan 60 60,ABOAOB40(m) 5 【答案】D 【解析】设建筑物的高度为 h m,由题图知, PA2h,PB 2h,PC2 33h, 在PBA 和P

9、BC 中,分别由余弦定理, 得 cosPBA6022h24h2260 2h, cosPBC6022h243h2260 2h. PBAPBC180 , cosPBAcosPBC0. 由,解得 h30 6或 h30 6(舍去),即建筑物的高度为 30 6 m 二、填空题 6 【答案】 2 【解析】如图,BAO75 ,C30 ,AB1, ABCBAOBCA75 30 45 . 在ABC 中,ABsin CACsinABC, ACAB sinABCsin C12212 2(千米) 7 【答案】 3 【解析】在ABC 中,易得 A30 ,由正弦定理ABsin CBCsin A, 得 ABBCsin Cs

10、in A13212 3(km) 8 【答案】7 【解析】设机器人最快可在点 C 处截住足球, 点 C 在线段 AD 上,设 BCx dm, 由题意知 CD2x dm, ACADCD(172x) dm. 在ABC 中,由余弦定理得 BC2AB2AC 22AB AC cos A, 即 x2(4 2)2(172x)28 2(172x)cos 45 , 解得 x15,x2373. AC172x7(dm)或 AC233(dm)(舍去) 该机器人最快可在线段 AD 上距 A 点 7 dm 的点 C 处截住足球 三、解答题 9解:ADCADBCDB60 , 又ACD60 , DAC60 . ADCD32a.

11、 在BCD 中,DBC180 30 105 45 , 由正弦定理有DBsinBCDCDsinDBC, BDCDsinBCDsinDBC32a6 24223 34a, 在ADB 中, AB2AD2BD22 AD BD cosADB34a23 34a2232a3 34a3238a2. AB64a. 蓝方这两支精锐部队的距离为64a. 10解:(1)根据题意得BAC45 ,ABC75 ,BC10, 所以ACB180 75 45 60 . 在ABC 中,由ABsinACBBCsinBAC 得 ABBCsinACBsinBAC10sin 60sin 451032225 6. 所以海监船接到通知时,距离岛

12、 A 5 6海里 (2)设海监船航行时间为 t 小时,则 BD10 3t,CD10t, 又因为BCD180 ACB180 60 120 , 所以 BD2BC2CD22BC CDcos 120 , 所以 300t2100100t221010t12, 所以 2t2t10, 解得 t1 或 t12(舍去) 所以 CD10,所以 BCCD, 所以CBD12(180 120 )30 , 所以ABD75 30 105 . 所以海监船沿方位角 105 航行,航行时间为 1 个小时 (或海监船沿南偏东 75 方向航行,航行时间为 1 个小时) B 组 素养提升练 11 【答案】C 【解析】由题意知,在 RtA

13、DC 中,C30 ,AD60 m, AC120 m在ABC 中,BAC75 30 45 ,ABC180 45 30 105 , 由正弦定理,得 BCACsinBACsinABC120226 24120( 31)(m) 12 【答案】A 【解析】如图,设 t 小时后甲行驶到 D 处,则 AD104t,乙行驶到 C 处,则 AC6t. BAC120 , DC2AD2AC22AD AC cos 120 (104t)2(6t)22(104t)6tcos 120 28t220t10028t51426757. 当 t514小时,DC2最小,即 DC 最小,此时它们所航行的时间为514601507 分钟 1

14、3 【答案】1 【解析】设 A 地东北方向上存在点 P 到 B 的距离为 30 千米,APx,在ABP 中,PB2AP2AB22AP AB cos A, 即 302x24022x 40cos 45 , 化简得 x240 2x7000, |x1x2|2(x1x2)24x1x2400, |x1x2|20, 即图中的 CD20(千米), 故 tCDv20201(小时) 14 【答案】北偏东 30 3a 【解析】如图所示,设在 C 处甲船追上乙船,乙船到 C 处用的时间为 t,乙船的速度为 v,则 BCtv, AC 3tv, 又 B120 , 则由正弦定理BCsinCABACsin B, 得1sinC

15、AB3sin 120, sinCAB12, CAB30 , 甲船应沿北偏东 30 方向行驶 又ACB180 120 30 30 , BCABa n mile, AC AB2BC22AB BCcos 120 a2a22a212 3a(n mile) C 组 思维提升练 15解:方案一:需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角 1,1;B 点到 M,N 的俯角 2,2;A,B 间的距离 d. 第一步:计算 AM.由正弦定理 AMdsin 2sin12; 第二步:计算 AN.由正弦定理 ANdsin 2sin21; 第三步:计算 MN.由余弦定理 MN AM2AN22AM ANcos11. 方案二:需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角 1,1;B 点到 M,N 点的俯角 2,2;A,B 间的距离 d. 第一步:计算 BM.由正弦定理 BMdsin 1sin12; 第二步:计算 BN.由正弦定理 BNdsin 1sin21; 第三步:计算 MN.由余弦定理 MN BM2BN22BM BNcos22.