1、6.4.3 第第 3 课时课时 余弦定理、正弦定理应用举例余弦定理、正弦定理应用举例 A 组 基础巩固练 一、选择题 1学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得 AC 的长度为 4 m，A30 ，则其跨度 AB 的长为( ) A12 m B8 m C3 3 m D4 3 m 2一艘船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75 距塔 68 n mile 的 M处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为( ) A17 62 n mile/h B34 6 n mile/h C17 22 n mile/h D34 2 n mile/h 3我舰在敌岛
2、 A 处南偏西 50 的 B 处，且 A，B 距离为 12 海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10 的方向以每小时10海里的速度航行， 若我舰要用2小时追上敌舰， 则速度大小为( ) A28 海里/时 B14 海里/时 C14 2海里/时 D20 海里/时 4在地面上点 D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端 A 与底部 B 的仰角分别为60 和 30 ，已知建筑物底部高出地面 D 点 20 m，则建筑物高度为( ) A20 m B30 m C40 m D60 m 5如图所示，在地面上共线的三点 A，B，C 处测得一建筑物的仰角分别为 30 ，45 ，60 ，且 ABBC60 m，则建筑物的
3、高度为( ) A15 6 m B20 6 m C25 6 m D30 6 m 二、填空题 6有一个长为 1 千米的斜坡，它的倾斜角为 75 ，现要将其倾斜角改为 30 ，则坡底要伸长_千米 7 如图， 在高速公路建设中需要确定隧道的长度， 工程技术人员已测得隧道两端的两点 A，B 到点 C 的距离 ACBC1 km，且 C120 ，则 A，B 两点间的距离为_ km. 8一次机器人足球比赛中，甲队 1 号机器人由点 A 开始做匀速直线运动，到达点 B 时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动， 如图所示， 已知AB4 2 dm，AD17 dm，BAC45 ，若忽略机器人原地
4、旋转所需的时间，则该机器人最快可在距 A点_ dm 的 C 处截住足球 三、解答题 9在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地 C 处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处， 且ADB30 ， BDC30 ， DCA60 ，ACB45 ，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离 10岛 A 观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时 10 海里的速度向东南方向航行(如图所示)， 观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查 接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东 75 方向且相距 10 海里的 C 处， 随即以每小时 10 3海里的速度前往拦截
5、(1)问：海监船接到通知时，距离岛 A 多少海里？ (2)假设海监船在 D 处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间 B 组 素养提升练 11如图，从气球 A 上测得其正前下方的河流两岸 B，C 的俯角分别为 75 ，30 ，此时气球的高度 AD 是 60 m，则河流的宽度 BC 是( ) A240( 31) m B180( 21) m C120( 31) m D30( 31) m 12甲船在岛 A 的正南 B 处，以每小时 4 千米的速度向正北航行，AB10 千米，同时乙船自岛 A 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60 的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为(
6、) A1507 分钟 B157 分钟 C21.5 分钟 D2.15 小时 13台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，B 城市处于危险区内的时间为_小时. 14 (一题两空)甲船在 A 处观察乙船， 乙船在它的北偏东 60 方向的 B 处， 两船相距 a n mile，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的 3倍，则甲船应沿_方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了_n mile. C 组 思维提升练 15某省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机为了测量两山顶 M，N间的距离，无人机沿
7、水平方向在 A，B 两点进行测量，A，B，M，N 在同一个铅垂平面内(如图)，无人机能够测量的数据有俯角和 A，B 间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算 M，N 间的距离的步骤 参考答案 A 组 基础巩固练 一、选择题 1 【答案】D 【解析】由题意知，AB30 ， 所以C180 30 30 120 ， 由正弦定理得，ABsin CACsin B， 即 ABAC sin Csin B4 sin 120sin 304 3m. 2 【答案】A 【解析】如图所示，在PMN 中，PMsin 45MNsin 120， MN68 3234 6
8、， vMN417 62 n mile/h. 3 【答案】B 【解析】如图，设我舰在 C 处追上敌舰，速度为 v，在ABC 中，AC10220 海里， AB12 海里，BAC120 ， BC2AB2AC22AB ACcos 120 784， BC28 海里，v14 海里/小时 4 【答案】C 【解析】如图，设 O 为顶端在地面的射影， 在 RtBOD 中，ODB30 ，OB20，则 BD40，OD20 3. 在 RtAOD 中，OAOD tan 60 60，ABOAOB40(m) 5 【答案】D 【解析】设建筑物的高度为 h m，由题图知， PA2h，PB 2h，PC2 33h， 在PBA 和P
9、BC 中，分别由余弦定理， 得 cosPBA6022h24h2260 2h， cosPBC6022h243h2260 2h. PBAPBC180 ， cosPBAcosPBC0. 由，解得 h30 6或 h30 6(舍去)，即建筑物的高度为 30 6 m 二、填空题 6 【答案】 2 【解析】如图，BAO75 ，C30 ，AB1， ABCBAOBCA75 30 45 . 在ABC 中，ABsin CACsinABC， ACAB sinABCsin C12212 2(千米) 7 【答案】 3 【解析】在ABC 中，易得 A30 ，由正弦定理ABsin CBCsin A， 得 ABBCsin Cs
10、in A13212 3(km) 8 【答案】7 【解析】设机器人最快可在点 C 处截住足球， 点 C 在线段 AD 上，设 BCx dm， 由题意知 CD2x dm， ACADCD(172x) dm. 在ABC 中，由余弦定理得 BC2AB2AC 22AB AC cos A， 即 x2(4 2)2(172x)28 2(172x)cos 45 ， 解得 x15，x2373. AC172x7(dm)或 AC233(dm)(舍去) 该机器人最快可在线段 AD 上距 A 点 7 dm 的点 C 处截住足球 三、解答题 9解：ADCADBCDB60 ， 又ACD60 ， DAC60 . ADCD32a.
11、 在BCD 中，DBC180 30 105 45 ， 由正弦定理有DBsinBCDCDsinDBC， BDCDsinBCDsinDBC32a6 24223 34a， 在ADB 中， AB2AD2BD22 AD BD cosADB34a23 34a2232a3 34a3238a2. AB64a. 蓝方这两支精锐部队的距离为64a. 10解：(1)根据题意得BAC45 ，ABC75 ，BC10， 所以ACB180 75 45 60 . 在ABC 中，由ABsinACBBCsinBAC 得 ABBCsinACBsinBAC10sin 60sin 451032225 6. 所以海监船接到通知时，距离岛
12、 A 5 6海里 (2)设海监船航行时间为 t 小时，则 BD10 3t，CD10t， 又因为BCD180 ACB180 60 120 ， 所以 BD2BC2CD22BC CDcos 120 ， 所以 300t2100100t221010t12， 所以 2t2t10， 解得 t1 或 t12(舍去) 所以 CD10，所以 BCCD， 所以CBD12(180 120 )30 ， 所以ABD75 30 105 . 所以海监船沿方位角 105 航行，航行时间为 1 个小时 (或海监船沿南偏东 75 方向航行，航行时间为 1 个小时) B 组 素养提升练 11 【答案】C 【解析】由题意知，在 RtA
13、DC 中，C30 ，AD60 m， AC120 m在ABC 中，BAC75 30 45 ，ABC180 45 30 105 ， 由正弦定理，得 BCACsinBACsinABC120226 24120( 31)(m) 12 【答案】A 【解析】如图，设 t 小时后甲行驶到 D 处，则 AD104t，乙行驶到 C 处，则 AC6t. BAC120 ， DC2AD2AC22AD AC cos 120 (104t)2(6t)22(104t)6tcos 120 28t220t10028t51426757. 当 t514小时，DC2最小，即 DC 最小，此时它们所航行的时间为514601507 分钟 1
14、3 【答案】1 【解析】设 A 地东北方向上存在点 P 到 B 的距离为 30 千米，APx，在ABP 中，PB2AP2AB22AP AB cos A， 即 302x24022x 40cos 45 ， 化简得 x240 2x7000， |x1x2|2(x1x2)24x1x2400， |x1x2|20， 即图中的 CD20(千米)， 故 tCDv20201(小时) 14 【答案】北偏东 30 3a 【解析】如图所示，设在 C 处甲船追上乙船，乙船到 C 处用的时间为 t，乙船的速度为 v，则 BCtv， AC 3tv， 又 B120 ， 则由正弦定理BCsinCABACsin B， 得1sinC
15、AB3sin 120， sinCAB12， CAB30 ， 甲船应沿北偏东 30 方向行驶 又ACB180 120 30 30 ， BCABa n mile， AC AB2BC22AB BCcos 120 a2a22a212 3a(n mile) C 组 思维提升练 15解：方案一：需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角 1，1；B 点到 M，N 的俯角 2，2；A，B 间的距离 d. 第一步：计算 AM.由正弦定理 AMdsin 2sin12； 第二步：计算 AN.由正弦定理 ANdsin 2sin21； 第三步：计算 MN.由余弦定理 MN AM2AN22AM ANcos11. 方案二：需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角 1，1；B 点到 M，N 点的俯角 2，2；A，B 间的距离 d. 第一步：计算 BM.由正弦定理 BMdsin 1sin12； 第二步：计算 BN.由正弦定理 BNdsin 1sin21； 第三步：计算 MN.由余弦定理 MN BM2BN22BM BNcos22.