1、6.4.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 A 级 基础巩固 1.在ABC 中，设 =c， =a， =b，若 c (c+a-b)0，则ABC 是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定其形状 2.在四边形 ABCD 中， =(12，2)， =(x，y)， =(-4，-6).若 ，且 ，则四边形 ABCD 的面积为 ( ) A.16 B.64 C.32 D.128 3.已知ABC 的重心是点 G，CA 的中点为点 M，且 A，M，G 三点的坐标分别是(6，6)，(7，4)， （163，83） ，则| |为 ( ) A.410 B.10 C.102 D.210
2、 4.在ABC 中，若13( + + )= ，则点 G 是ABC 的( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 5.如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AD=1，AB=2，对角线 BD=2，求对角线 AC 的长. B 级 能力提升 6.在ABC 所在的平面内有一点 P，满足 + + = ，则PBC 与ABC 的面积之比是( ) A.13 B.12 C.23 D.34 7.在 RtABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则|2+|2|2= ( ) A.2 B.4 C.5 D.10 8.ABC 是等腰直角三角形， B=90 ， D 是 BC 边的中点， BEA
3、D， 延长 BE 交 AC 于点 F，连接 DF，求证：ADB=FDC. C 级 挑战创新 9.多空题已知 A，B 是圆心为 C、半径为5的圆上的两点，且|AB|=5，则ACB= ， =_. 10.多空题在四边形 ABCD 中， =(1，2)， =(-4，2)，则 与 的夹角 为_;四边形ABCD 的面积为 . 参考答案 A 级 基础巩固 1.【答案】C 【解析】由已知，得 ( + - )= 2 0，所以 A 为钝角. 所以ABC 为钝角三角形. 2.【答案】B 【解析】 = + + =(x+8，y-4)， = + =(x+12，y+2)， = + =(x-4，y-6). 因为 ，且 ， =-
4、 ， 所以( + 8)-(-4) = 0，( + 12)(-4) + ( + 2)(-6) = 0， 解得 = 4， = -2或 = -12， = 6. 所以| |=16，| |=8 或| |=8，| |=16， 所以 S四边形ABCD=12| | | |=64. 故选 B. 3.【答案】D 【解析】设 B(x1，y1)，C(x2，y2)， 由条件可知6+22= 7，6+22= 4，即2= 8，2= 2，所以 C(8，2). 因为6+8+13=163，6+2+13=83，所以1= 2，1= 0，所以 B(2，0)， 所以| |=|BC|=(8-2)2+ (2-0)2=36 + 4=210. 4
5、.【答案】D 【解析】 因为13( + + )= ， 所以 - + - + - =3 ， 化简得 + + =0，故点 G 为ABC 的重心. 5.解：设 =a， =b，则 =a-b， =a+b. 因为| |=|a-b|=2-2 + 2=1 + 4-2=5-2=2， 所以 5-2a b=4， 所以 a b=12. 因为| |2=|a+b|2=a2+2a b+b2=1+4+2a b=6， 所以| |=6，即 AC=6. B 级 能力提升 6.【答案】C 【解析】由 + + = ，得 + + + =0，即 =2 ，所以点 P 是 CA 边上的三等分点(靠近点 A)，如图所示. 故=23. 7.【答案
6、】D 【解析】将ABC 各边及 PA，PB，PC 均用向量表示， 则|2+|2|2 = 2+ 2 2 =( + )2+( + )2 2 =2| |2+2 ( + )+ 2| |2 = 2 2-6=42-6=10. 8.证明：如图所示，建立直角坐标系， 设 A(2，0)，C(0，2)，则 D(0，1)， 所以 =(-2，1)， =(-2，2). 设 F(x，y)，由 ， 得 =0，即-2x+y=0， 因为点 F 在 AC 上，则 . 因为 =(-x，2-y)， 所以 2 (-x)-(-2) (2-y)=0， 即 x+y=2. 由联立得 x=23，y=43， 所以 F（23，43） ， =（23，
7、13）. 因为 =(0，1)， 所以 =13. 因为 =| | |cosFDC=53cos ， 所以 cosFDC=55. 因为 cosADB=| | |=15=55， 所以 cosADB=cosFDC，故ADB=FDC. C 级 挑战创新 9.【答案】60 -52 【解析】由弦长|AB|=5可知ACB=60 ， 所以 =- =-| | |cosACB=-52. 10.【答案】2 5 【解析】由题意知 AC，BD 为四边形的对角线， 且 =1 (-4)+2 2=0， 所以 ACBD，即 与 的夹角 为2. 所以 S四边形ABCD=12 | | | =12 12+ 22(-4)2+ 22 =12 5 20=5.