1、6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示 A 组 素养自测 一、选择题 1已知向量 a(1，m)，b(m,2)，若 ab，则实数 m 等于( ) A 2 B 2 C 2或 2 D0 2已知点 A(1,1)，点 B(2，y)，向量 a(1,2)，若ABa，则实数 y 的值为( ) A5 B6 C7 D8 3已知向量 a(32，sin)，b(sin，16)，若 ab，则锐角 为( ) A30 B60 C45 D75 4已知向量 a(1,3)，b(2,1)，若 a2b 与 3ab 平行，则 的值等于( ) A6 B6 C2 D2 5若 a(1,2)，b(3,0)，(2ab)(
2、amb)，则 m( ) A12 B12 C2 D2 二、填空题 6已知向量 a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，若 为实数，(ab)c，则 的值为_. 7已知向量 a(1,2)，b(2,3).若 aub 与 ab 共线，则 与 u 的关系为_. 8已知 a(1,1)，b(x2，x)且 ab，则实数 的最小值是_. 三、解答题 9已知两点 A(3，4)，B(9,2)，在直线 AB 上求一点 P 使|AP|13|AB|. 10平面内给定三个向量：a(3,2)，b(1,2)，c(4,1). (1)求 3ab2c； (2)求满足 ambnc 的实数 m 和 n； (3)若(akc)(2ba)，求
3、实数 k. B 组 素养提升 一、选择题 1(多选)已知向量 a(1,0)，b(0,1)，ckab(kR)，dab，如果 cd，那么( ) Ak1 Bk1 Cc 与 d 同向 Dc 与 d 反向 2已知向量 a(1,1)，b(2，x)，若 ab 与 4b2a 平行，则实数 x 的值是( ) A2 B0 C1 D2 3已知向量集合 Ma|a(1,2)(3,4)，R，Na|a(2，2)(4,5)，R，则 MN( ) A(1,1) B(1,2)，(2，2) C(2，2) D 4已知向量OA(1，3)，OB(2，1)，OC(k1，k2)，若 A，B，C 三点不能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是(
4、 ) Ak2 Bk12 Ck1 Dk1 二、填空题 5已知向量 a( 3，1)，b(0，1)，c(k， 3).若 a2b 与 c 共线，则 k_. 6已知点 P1(2，1)，点 P2(1,3)，点 P 在线段 P1P2上，且|P1P|23|PP2|，则求点 P 的坐标为_. 三、解答题 7已知 A、B、C 三点的坐标分别为(1,0)、(3，1)、(1,2)，并且AE13AC，BF13BC. (1)求 E、F 的坐标； (2)判断EF与AB是否共线. 8如图，已知直角梯形 ABCD，ADAB，AB2AD2CD，过点 C 作 CEAB 于 E，M 为CE 的中点，用向量的方法证明： (1)DEBC
5、； (2)D、M、B 三点共线. 参考答案 A 组 素养自测 一、选择题 1 【答案】C 【解析】本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等.由 ab 知 1 2m2，即 m2或 m 2. 2 【答案】C 【解析】AB(3，y1)，又ABa， 所以(y1)2 30，解得 y7 3 【答案】A 【解析】ab，sin2321614， sin12. 为锐角，30 . 4 【答案】B 【解析】a2b(5,5)，3ab(32，9)， 由条件知，5 (9)5 (32)0， 6 5 【答案】A 【解析】2ab2(1,2)(3,0)(1,4)， amb(1,2)m(3,0)(13m,2) (2ab)(am
6、b) 1(13m) 26m3，解得 m12. 二、填空题 6 【答案】12 【解析】ab(1,2)(1,0)(1，2) (ab)c， 4(1)3 20，12. 7 【答案】u 【解析】a(1,2)，b(2,3)， ab(1,2)(2,3)(1,5)， aub(1,2)u(2,3)(2u,23u). 又(aub)(ab)， (1) (23u)5(2u)0u. 8 【答案】14 【解析】因为 ab，所以 x2x0，即 x2xx1221414. 三、解答题 9解：设点 P 的坐标为(x，y)， 若点 P 在线段 AB 上，则AP12PB， (x3，y4)12(9x,2y). 解得 x1，y2，P(1
7、，2). 若点 P 在线段 BA 的延长线上， 则AP14PB， (x3，y4)14(9x,2y). 解得 x7，y6，P(7，6). 综上可得，点 P 的坐标为(1，2)或(7，6). 10解：(1)3ab2c3(3,2)(1,2)2(4,1)(9,6)(1,2)(8,2)(918,622)(0,6). (2)ambnc，m，nR， (3,2)m(1,2)n(4,1)(m4n,2mn). m4n3，2mn2.解得 m59，n89. m59，n89. (3)akc(34k,2k)，2ba(5,2). 又(akc)(2ba)， (34k) 2(5) (2k)0 k1613. B 组 素养提升 一
8、、选择题 1 【答案】AD 【解析】 cd， cd， 即 kab(ab)， 又 a， b 不共线， k，1， 1，k1.cd，c 与 d 反向. 2 【答案】D 【解析】因为 a(1,1)，b(2，x)，所以 ab(3，x1)，4b2a(6,4x2)，由于 ab与 4b2a 平行，得 6(x1)3(4x2)0，解得 x2 3 【答案】C 【解析】设 aMN，则存在实数 和 ， 使得(1,2)(3,4)(2，2)(4,5)，即(3,4)(43，54). 433544，解得 1，0， a(2，2). 4 【答案】C 【解析】因为 A，B，C 三点不能构成三角形，则 A，B，C 三点共线，则ABAC
9、， 又ABOBOA(1,2)，ACOCOA(k，k1)，所以 2k(k1)0，即 k1 二、填空题 5 【答案】1 【解析】a2b( 3，3).因为 a2b 与 c 共线， 所以k333，解得 k1 6 【答案】(45，35) 【解析】设点 P 的坐标为(x，y)， 由于点 P 在线段 P1P2上，则有P1P23PP2， 又P1P(x2，y1)，PP2(1x,3y)， 由题意得 x223(1x)，y123(3y)，解得 x45，y35， 点 P 的坐标为45，35. 三、解答题 7解：(1)设 E(x1，y1)、F(x2，y2)， 依题意得AC(2,2)，BC(2,3). 由AE13AC可知(
10、x11，y1)13(2,2)， 即 x1123y123，解得 x113y123，E(13，23). 由BF13BC可知(x23，y21)13(2,3). x2323y211，解得 x273，y20.F(73，0)， 即 E 点的坐标为(13，23)，F 点的坐标为(73，0). (2)由(1)可知EFOFOE(73，0)(13，23)(83，23)，(O 为坐标原点)， 又AB(4，1)，EF23(4，1)23AB， 即EF与AB共线. 8解：如图，以 E 为原点，AB 所在直线为 x 轴，EC 所在直线为 y 轴建立直角坐标系， 令|AD|1，则|DC|1，|AB|2 CEAB，而 ADDC， 四边形 AECD 为正方形. 可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(1,1)，A(1,0). (1)ED(1,1)(0,0)(1,1)，BC(0,1)(1,0)(1,1)， EDBC，EDBC，又 E1D1C1B 四点不共线， DEBC. (2)M 为 EC 的中点，M(0，12)， MD(1,1)(0，12)(1，12)， MB(1,0)(0，12)(1，12). MDMB，MDMB. 又 MD 与 MB 共点于 M， D，M，B 三点共线.