1、6.3.5 平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示 基础达标 一、选择题 1.已知 a(3，1)，b(1，2)，则 a 与 b 的夹角为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 解析 设 a，b 的夹角为 ，|a| 10，|b| 5，a b5. cos a b|a|b|510 522. 又a，b 的夹角范围为0，. a 与 b 的夹角为4. 答案 B 2.已知向量 a(0，2 3)，b(1， 3)，则向量 a 在 b 方向上的投影为( ) A. 3 B.3 C. 3 D.3 解析 向量 a 在 b 方向上的投影为a b|b|623. 答案 D 3.平面向量 a 与 b 的夹角为 60
2、，a(2，0)，|b|1，则|a2b|等于( ) A. 3 B.2 3 C.4 D.12 解析 a(2，0)，|b|1， |a|2，a b21cos 60 1. |a2b| a24a b4b22 3. 答案 B 4.已知 A，B，C 是锐角ABC 的三个内角，向量 p(sin A，1)，q(1，cos B)，则 p 与 q 的夹角是( ) A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 解析 因为ABC 是锐角三角形，所以 AB2，即 A2B. 又因函数 ysin x 在2，2上单调递增，所以 sin Asin2B cos B，所以 p qsin Acos B0，又因为 p 与 q 不共线，所以 p
3、 与 q 的夹角是锐角. 答案 A 5.已知平面向量 a(2，m)，b(1， 3)，且(ab)b，则实数 m 的值为( ) A.2 3 B.2 3 C.4 3 D.6 3 解析 因为(ab)b，所以(ab) ba bb20，即2 3m40，解得 m2 3. 答案 B 二、填空题 6.已知 a(1，1)，b(1，2)，则 a (a2b)_. 解析 a2b(1，5)，a (a2b)1(1)514. 答案 4 7.已知平面向量 a(2，4)，b(1，2)，若 ca(a b)b，则|c|_. 解析 由题意可得 a b214(2)6， ca(a b)ba6b(2，4)6(1，2)(8，8)， |c| 8
4、2（8）28 2. 答案 8 2 8.设向量 a(m，1)，b(1，2)，且|ab|2|a|2|b|2，则 m_. 解析 法一 ab(m1，3)， 又|ab|2|a|2|b|2. (m1)232m215，解得 m2. 法二 由|ab|2|a|2|b|2， 得 a b0，即 m20，解得 m2. 答案 2 三、解答题 9.已知平面向量 a(1，x)，b(2x3，x)(xR). (1)若 ab，求 x 的值； (2)若 ab，求|ab|. 解 (1)ab， a b0，即 1(2x3)x(x)0， 解得 x1 或 x3. (2)ab，1(x)x(2x3)0， 解得 x0 或 x2. 当 x0 时，a
5、(1，0)，b(3，0)， ab(2，0)，|ab|2. 当 x2 时，a(1，2)，b(1，2)， ab(2，4)， |ab|2 5. |ab|2 或 2 5. 10.已知 a(1，1)，b(，1)，若 a 与 b 的夹角 为钝角，求实数 的取值范围. 解 a(1，1)，b(，1)， |a| 2，|b| 12，a b1. a，b 的夹角 为钝角. 10，2 121，即1，2210. 0 时，cos 55， 当 x0 时，cos 55. 答案 C 12.已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a(1，2). (1)若|c|2 5，且 c 与 a 方向相反，求 c 的坐标； (2)若|b
6、|52，且 a2b 与 2ab 垂直，求 a 与 b 的夹角 . 解 (1)设 c(x，y)，由 ca 及|c|2 5， 可得1 y2 x0，x2y220，所以x2，y4或x2，y4， 因为 c 与 a 方向相反，所以 c(2，4). (2)因为(a2b)(2ab)， 所以(a2b) (2ab)0，即 2a23a b2b20， 所以 2|a|23a b2|b|20， 所以 253a b2540， 所以 a b52，所以 cos a b|a|b|1. 又因为 0，所以 . 创新猜想 13.(多选题)在ABC 中，AB(2，3)，AC(1，k)，若ABC 是直角三角形，则k 的值可能为( ) A.
7、23 B.113 C.3 132 D.23 解析 AB(2，3)，AC(1，k)， BCACAB(1，k3). 若A90 ，则AB AC213k0，k23； 若B90 ，则AB BC2(1)3(k3)0， k113； 若C90 ，则AC BC1(1)k(k3)0， k3 132. 故所求 k 的值为23或113或3 132. 答案 ABC 14.(新定义问题)设 m(a， b)， n(c， d)， 规定两向量 m， n 之间的一个运算“”为 mn(acbd，adbc)，若已知 p(1，2)，pq(4，3)，则 q 的坐标为_. 解析 设 q(x，y)，则 pq(x2y，y2x)(4，3). x2y4，y2x3，x2，y1.q(2，1). 答案 (2，1)