1、6 6. .3.23.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 6 6. .3.33.3 平面向量加、减运算的坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示 基础达标 一、选择题 1.如果用 i，j 分别表示 x 轴和 y 轴方向上的单位向量，且 A(2，3)，B(4，2)，则AB可以表示为( ) A.2i3j B.4i2j C.2ij D.2ij 解析 记 O 为坐标原点，则OA2i3j，OB4i2j，所以ABOBOA2ij. 答案 C 2.已知向量 a(2，4)，ab(3，2)，则 b( ) A.(1，2) B.(1，2) C.(5，6) D.(2，0) 解析 baba(3，2)
2、(2，4)(1，2). 答案 A 3.在平行四边形 ABCD 中，A(1，2)，B(3，5)，AD(1，2)，则ACBD( ) A.(2，4) B.(4，6) C.(6，2) D.(1，9) 解析 在平行四边形 ABCD 中，因为 A(1，2)，B(3，5)，所以AB(2，3).又AD(1，2)，所以ACABAD(1，5)，BDADAB(3，1)，所以ACBD(2，4)，故选 A. 答案 A 4.已知两点 A(4，1)，B(7，3)，若ABAC0，则点 C 的坐标是( ) A.(1，5) B.(3，4) C.(1，5) D.(4，3) 解析 设 C(x，y)，则AC(x4，y1). 又AB(7
3、，3)(4，1)(3，4)，ABAC0， (3，4)(x4，y1)0， 3x40，4y10，x1，y5.C(1，5). 答案 A 5.如果将OA32，12绕原点 O 逆时针方向旋转 120 得到OB，则OB的坐标是( ) A.12，32 B.32，12 C.(1， 3) D.32，12 解析 设OA绕原点 O 逆时针方向旋转 120 得到的OB的坐标为(x，y)，则 x|OA|cos(120 30 )32， y|OA|sin(120 30 )12， 由此可知B点坐标为32，12，故OB的坐标是32，12，故选 D. 答案 D 二、填空题 6.若 A(2，1)，B(4，2)，C(1，5)，则AB
4、BC_. 解析 法一 由题意得AB(2，3)，BC(3，3). 所以ABBC(2，3)(3，3)(1，6). 法二 ABBCAC(1，6). 答案 (1，6) 7.已知向量 a(2m，m)，b(n，2n)，若 ab(9，8)(m，nR)，则 mn的值为_. 解析 ab(2mn，m2n)(9，8)， 2mn9，m2n8，m2，n5，mn253. 答案 3 8.已知 O 是坐标原点，点 A 在第二象限，|OA|6，xOA150 ，则向量OA的坐标为_. 解析 设点 A(x，y)， 则 x|OA|cos 150 6cos 150 3 3，y|OA|sin 150 6sin 150 3， 即 A(3
5、3，3)，所以OA(3 3，3). 答案 (3 3，3) 三、解答题 9.已知点 A(3，4)与 B(1，2)，点 P 在直线 AB 上，且|AP|PB|，求点 P 的坐标. 解 设 P 点坐标为(x，y). 当 P 在线段 AB 上时，APPB. (x3，y4)(1x，2y)， x31x，y42y，解得x1，y1. P 点坐标为(1，1). 当 P 在线段 AB 延长线上时，APPB. (x3，y4)(1x，2y)， x31x，y42y，此时无解. 综上所述，点 P 的坐标为(1，1). 10.已知 aAB，B 点坐标为(1，0)，b(9，12)，c(2，2)，且 abc，求点 A 的坐标.
6、 解 b(9，12)，c(2，2)， bc(9，12)(2，2)(7，10)， 即 a(7，10)AB. 又 B(1，0)，设 A 点坐标为(x，y)， 则AB(1x，0y)(7，10)， 1x7，0y10 x8，y10， 即 A 点坐标为(8，10). 能力提升 11.已知集合 Ma|a(1，2)(31，41)，1R，Na|a(2，2)(42，52)，2R，则 MN 等于( ) A.(1，1) B.(1，1)，(2，2) C.(2，2) D. 解析 令(1，2)(31，41)(2，2)(42，52)， 即(131，241)(242，252)， 131242，241252，解得11，20，MN
7、(2，2). 答案 C 12.已知点 O(0，0)，A(1，2). (1)若点 B(3t， 3t)， OPOAOB， 则 t 为何值时， 点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ (2)若 B(4，5)，P(13t，23t)，则四边形 OABP 能为平行四边形吗？若能，求 t值；若不能，说明理由. 解 (1)OPOAOB(1，2)(3t，3t)(13t，23t)， 若点 P 在 x 轴上，则 23t0，t23. 若点 P 在 y 轴上，则 13t0，t13. 若点 P 在第二象限，则13t0，23t13. (2)OA(1，2)，PBOBOP(33t，33t). 若四边形
8、 OABP 为平行四边形，则OAPB， 33t1，33t2，该方程组无解. 故四边形 OABP 不能成为平行四边形. 创新猜想 13.(多选题)下列运算结果错误的是( ) A.若 a(2，4)，b(3，4)，则 ab(1，0) B.若 a(5，2)，b(2，4)，则 ba(3，2) C.若 a(1，0)，b(0，1)，则 ab(0，1) D.若 a(1，1)，b(1，2)，则 ab(2，1) 解析 对于 A，ab(23，44)(5，0)，错误；对于 B，ba(25，42)(3，2)，正确；对于 C，ab(1，1)，错误；对于 D，ab(2，1)，错误.故选 ACD. 答案 ACD 14.(多空题)已知 A(2，0)，a(x3，x3y5)，若 aOA，其中 O 为原点，则 x_，y_. 解析 由题意知x32，x3y50，解得x1，y2. 答案 1 2