1、6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示 基础达标 一、选择题 1.已知向量 a(3，5)，b(cos ，sin )，且 ab，则 tan 等于( ) A.35 B.53 C.35 D.53 解析 由 ab，得 5cos 3sin 0，即 tan 53. 答案 B 2.下列向量中，与向量 c(2，3)不共线的一个向量 p 等于( ) A.(5，4) B.1，32 C.23，1 D.13，12 解析 因为向量 c(2，3)，对于 A，243570，所以 A 中向量与 c不共线. 答案 A 3.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A.e1(2，
2、2)，e2(1，1) B.e1(1，2)，e2(4，8) C.e1(1，0)，e2(0，1) D.e1(1，2)，e212，1 解析 选项 C 中，e1，e2不共线，可作为一组基底. 答案 C 4.向量 a(1，2)，|b|4|a|，ab，则 b 可能是( ) A.(4，8) B.(8，4) C.(4，8) D.(4，8) 解析 由 ab 可排除 A，B，C，故选 D. 答案 D 5.向量PA(k，12)，PB(4，5)，PC(10，k)，若 A，B，C 三点共线，则 k 的值为( ) A.2 B.11 C.2 或 11 D.2 或 11 解析 ABPBPA(4k，7)，BCPCPB(6，k5
3、)，由题知ABBC，故(4k)(k5)(7)60，解得 k11 或 k2. 答案 C 二、填空题 6.设向量 a(1，0)，b(1，1)，若向量 ab 与向量 c(6，2)共线，则实数 _. 解析 ab(，0)(1，1)(1，1)，因为(ab)c，所以 2(1)60，解得 2. 答案 2 7.已知 A(2，0)，B(0，2)，若AC13AB，则点 C 的坐标是_. 解析 设 C(x，y)，则AC(x2，y)，AB(2，2)， 所以(x2，y)23，23，得 x43，y23， 即 C43，23. 答案 43，23 8.设OA(2，1)，OB(3，0)，OC(m，3)，若 A，B，C 三点能构成三
4、角形，则实数 m 的取值范围是_. 解析 A，B，C 三点能构成三角形， AB，AC不共线. 又AB(1，1)，AC(m2，4)， 141(m2)0. 解得 m6. m 的取值范围是m|mR 且 m6. 答案 m|mR 且 m6 三、解答题 9.如图所示，在平行四边形 ABCD 中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N 分别为 DC，AB 的中点，求AM，CN的坐标，并判断AM，CN是否共线. 解 由已知可得 M52，52，N32，12， 所以AM52，52，CN52，52， 由525252520，所以AM和CN共线. 10.已知 A(2，4)，B(3，1)，C(3，
5、4)且CM3CA，CN2CB，求点 M，N 的坐标. 证明 法一 A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)， CA(2，4)(3，4)(1，8)， CB(3，1)(3，4)(6，3). CM3CA，CN2CB， CM3(1，8)(3，24)，CN2(6，3)(12，6). 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， CM(x13，y14)(3，24)， CN(x23，y24)(12，6)， x133，y1424，x2312，y246. 解得x10，y120，x29，y22. M(0，20)，N(9，2). 法二 设 O 点为坐标原点， 则由CM3CA，CN2CB， 可得OMOC3(OAOC)，
6、ONOC2(OBOC)， OM3OA2OC，ON2OBOC. OM3(2，4)2(3，4)(0，20)， ON2(3，1)(3，4)(9，2). M(0，20)，N(9，2). 能力提升 11.平面上有 A(2，1)，B(1，4)，D(4，3)三点，点 C 在直线 AB 上，且AC12BC，连接 DC 延长至 E，使|CE|14|ED|，则点 E 的坐标为_. 解析 AC12BC， A 为 BC 的中点，ACBA， 设 C(xC，yC)，则(xC2，yC1)(1，5)， C 点的坐标为(3，6)， 又|CE|14|ED|，且 E 在 DC 的延长线上， CE14ED， 设 E(x，y)， 则(
7、x3，y6)14(4x，3y)， 得x314（4x），y614（3y），解得x83，y7. 故点 E 的坐标是83，7 . 答案 83，7 12.已知向量OA(3，4)，OB(6，3)，OC(5x，3y). (1)若点 A，B，C 不能构成三角形，求 x，y 应满足的条件； (2)若AC2BC，求 x，y 的值. 解 (1)因为点 A，B，C 不能构成三角形，则 A，B，C 三点共线. 由题意得AB(3，1)，AC(2x，1y)， 所以 3(1y)2x. 所以 x，y 满足的条件为 x3y10. (2)BC(x1，y)， 由AC2BC得(2x，1y)2(x1，y)， 所以2x2x2，1y2y，
8、解得x4，y1. 即 x，y 的值分别为4，1. 创新猜想 13.(多选题)已知点 A(2，1)，B(0，2)，C(2，1)，O(0，0)，给出下面四个结论，其中正确的有( ) A.OC与BA平行 B.ABBCCA C.OAOCOB D.ACOB2OA 解析 BA(2，1)，OC(2，1)，又 21(1)(2)0，所以OC与BA平行，A 正确. ABBCACCA，所以 B 不正确. OAOC(0，2)OB，所以 C 正确. AC(4，0)，OB2OA(0，2)(4，2)(4，0)，所以 D 正确. 答案 ACD 14.(多选题)已知向量 a(x，3)，b(3，x)，则下列叙述中不正确的是( ) A.存在实数 x，使 ab B.存在实数 x，使(ab)a C.存在实数 x，m，使(mab)a D.存在实数 x，m，使(mab)b 解析 只有 D 正确，可令 m0，则 mabb，无论 x 为何值，都有 bb. 答案 ABC