1、6.3.1 平面向量基本定理平面向量基本定理 A 组 素养自测 一、选择题 1 e1、 e2是表示平面内所有向量的一组基底， 下列四组向量中， 不能作为一组基底的是( ) Ae1e2和 e1e2 B3e12e2和 4e26e1 Ce12e2和 e22e1 De2和 e1e2 2如图所示，矩形 ABCD 中，BC5e1，DC3e2，则OC等于( ) A12(5e13e2) B12(5e13e2) C12(3e25e1) D12(5e23e1) 3在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 2ADDB，CD23CACB，则 等于( ) A13 B13 C23 D23 4 如图所示， |OA|B
2、C|1， |OC| 3， AOB60 ， OBOC， 设OCxOAyOB， 则( ) Ax2，y1 Bx2，y1 Cx2，y1 Dx2，y1 5在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB( ) A34AB14AC B14AB34AC C34AB14AC D14AB34AC 二、填空题 6如图，平行四边形 ABCD 中，ABa，ADb，M 是 DC 的中点，以 a、b 为基底表示向量AM_. 7设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a3b 平行，则实数 _. 8设 e1，e2是平面内一组基向量，且 ae12e2，be1e2，则向量 e1e2可以表示为以 a，b 为基
3、向量的线性组合，即 e1e2_. 三、解答题 9如图所示，已知在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、DC 边上的中点.若ABa，ADb，试以 a、b 为基底表示DE、BF. 10已知 e1，e2是平面内两个不共线的向量，a3e12e2，b2e1e2，c2e13e2，试用 a，b 表示 c. B 组 素养提升 一、选择题 1向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 cab(，R)，则( ) A2 B4 C5 D7 2(多选)如果 e1、e2是平面 内所有向量的一组基底，那么下列命题中错误的是( ) A已知实数 1、2，则向量 1e12e2不一定在平面 内 B对平面 内任一向
4、量 a，使 a1e12e2的实数 1，2可以不唯一 C若有实数 1、2使 1e12e2，则 120 D对平面 内任一向量 a，使 a1e12e2的实数 1、2不一定存在 3若OP1a，OP2b，P1PPP2，则OP( ) Aab Bab Ca(1)b Dab1 4 已知在ABC中， AN13NC， P是BN上的一点.若APmAB211AC， 则实数m的值为( ) A911 B511 C311 D211 二、填空题 5已知 O 为ABC 内一点，且OBOC2AO，且 ADAC，若 B，O，D 三点共线，则实数 的值为_. 6如图，经过OAB 的重心 G 的直线与 OA，OB 分别交于点 P，Q，
5、设OPmOA，OQnOB，m，nR，则1m1n的值为_. 三、解答题 7设 e1，e2是不共线的非零向量，且 ae12e2，be13e2 (1)证明：a，b 可以作为一组基底； (2)以 a，b 为基底，求向量 c3e1e2的分解式； (3)若 4e13e2ab，求 ， 的值. 8如图所示，在ABC 中，M 是 AB 的中点，且AN13AC，BN 与 CM 相交于点 E，设ABa，ACb，试用基底a，b表示向量AE. 参考答案 A 组 素养自测 一、选择题 1 【答案】B 【解析】3e12e2与 4e26e1是共线向量，不能作为一组基底. 2 【答案】A 【解析】OC12AC12(BCBA)1
6、2(BCDC)12(5e13e2). 3 【答案】A 【解析】 方法一 由平面向量的三角形法则可知CDCAADCA13ABCA13(CBCA)23CA13CB，所以 13. 方法二 因为 A，B，D 三点共线，CD23CACB， 所以231，所以 13. 4 【答案】B 【解析】解法 1：过点 C 作 CDOB 交 AO 的延长线于点 D，连接 BC(图略).由|OB|1，|OC| 3，AOB60 ，OBOC，知COD30 .在 RtOCD 中，可得 OD2CD2，则OCODOB2OAOB.x2，y1 解法 2：画图知 x0，所以选 B 5 【答案】A 【解析】EBEAAB12ADAB1212
7、(ABAC)AB34AB14AC. 二、填空题 6 【答案】b12a 【解析】AMADDMAD12DCAD12ABb12a. 7 【答案】13 【解析】依据平行向量基本定理列方程组求解. ab 与 a3b 平行， 可设 abt(a3b)， 即 abta3tb， t，13t解得 13，t13. 8 【答案】23a13b 【解析】设 e1e2manb(m，nR)， ae12e2，be1e2， e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2 e1与 e2不共线， mn1，2mn1， m23，n13.e1e223a13b. 三、解答题 9解：四边形 ABCD 是平行四边形， E、F
8、分别是 BC、DC 边上的中点， ADBC2BE，CDBA2CF， BE12AD12b， CF12CD12BA12AB12a. DEDAABBEADABBE ba12ba12b， BFBCCFADCFb12a. 10解：设 cxayb，则 2e13e2x(3e12e2)y(2e1e2)， 即(3x2y)e1(y2x)e22e13e2 又 e1，e2是平面内两个不共线的向量， 所以 3x2y2，y2x3，解得 x4，y5， 所以 c4a5b. B 组 素养提升 一、选择题 1 【答案】B 【解析】以如图所示的两互相垂直的单位向量 e1，e2为基底， 则 ae1e2，b6e12e2，ce13e2，
9、 因为cab(， R)， 所以e13e2(e1e2)(6e12e2)(6)e1(2)e2， 所以 61，23，解得 2，12，所以4故选 B 2 【答案】ABD 【解析】选项 A 中，由平面向量基本定理知 1e12e2与 e1、e2共面，所以 A 项不正确；选项 B 中，实数 1、2有且仅有一对，所以 B 项不正确；选项 D 中，实数 1、2一定存在，所以 D 项不正确；很明显 C 项正确. 3 【答案】D 【解析】P1PPP2， OPOP1(OP2OP)， (1)OPOP2OP1，OPba1. 4 【答案】C 【解析】设BPBN，则APABBPABBNAB(ANAB) AB(14ACAB)(
10、1)AB4ACmAB211AC， 4211，m1，解得 811，m311. 二、填空题 5 【答案】3 【解析】设点 E 为边 BC 的中点，则 12(OBOC)OE， 由题意，得AOOE， 所以AO12AE14(ABAC)14AB4AD，因此若 B， O， D 三点共线，则1441， 即 3 6 【答案】3 【解析】方法一：设OAa，OBb，由题意知OG2312(OAOB)13(ab)，PQOQOPnbma，PGOGOP(13m)a13b， 由 P，G，Q 三点共线得，存在实数 ，使得PQPG，即 nbma(13m)a13b， 从而 m13m，n13，消去 ，得1m1n3 方法二：由题意知O
11、G2312(OAOB)13(1mOP1nOQ)13mOP13nOQ， 又 P，G，Q 三点共线，由三点共线性质定理可知13m13n1，即1m1n3 方法三：(特例)当 PQAB 时，mn23，1m1n3 三、解答题 7(1)证明：若 a，b 共线，则存在 R，使 ab，则 e12e2(e13e2). 由 e1，e2不共线， 得 1，32 1，23. 不存在，故 a 与 b 不共线，可以作为一组基底. (2)解：设 cmanb(m，nR)， 则 3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2 mn3，2m3n1 m2，n1. c2ab. (3)解：由 4e13e2ab，得 4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2 4，233 3，1. 故所求 ， 的值分别为 3 和 1 8解：易得AN13AC13b，AM12AB12a， 由 N，E，B 三点共线可知，存在实数 m 使AEmAN(1m)AB13mb(1m)a. 由 C，E，M 三点共线可知，存在实数 n 使AEnAM(1n)AC12na(1n)b. 所以13mb(1m)a12na(1n)b，由于a，b为基底， 所以 1m12n，13m1n，解得 m35，n45，所以AE25a15b.