1、6.36.3 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 6 6. .3.13.1 平面向量基本定理平面向量基本定理 1(多选)若e1，e2是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是( ) Ae1e2，e2e1 B2e1e2，e112e2 C2e23e1，6e14e2 De1e2，e13e2 答案 ABC 解析 选项 A 中，两个向量为相反向量，即 e1e2(e2e1)，则 e1e2，e2e1为共线向量；选项 B 中，2e1e22e112e2，也为共线向量；选项 C 中，6e14e22(2e23e1)，为共线向量根据不共线的向量可以作为基底，知只有选项 D 中的两
2、向量可作为基底 2.如图所示，在矩形 ABCD 中，BC5e1，DC3e2，则OC等于( ) A.12(5e13e2) B.12(5e13e2) C.12(3e25e1) D.12(5e23e1) 答案 A 解析 OC12AC12(BCBA)12(BCDC) 12(5e13e2) 3如果e1，e2是平面 内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是( ) A若存在实数 1，2使 1e12e20，则 120 B对空间任意向量 a 都可以表示为 a1e12e2，其中 1，2R C1e12e2(1，2R)不一定在平面 内 D对于平面 内任意向量 a，使 a1e12e2的实数 1，2有无数对 答案 A
3、解析 B 错，这样的 a 只能与 e1，e2在同一平面内，不能是空间任意向量；C 错，在平面 内任意向量都可表示为 1e12e2的形式，故 1e12e2一定在平面 内；D 错，这样的 1，2是唯一的，而不是无数对 4在ABC 中，AD14AB，DEBC，且与边 AC 相交于点 E，ABC 的中线 AM 与 DE 相交于点 N，设ABa，ACb，则用 a，b 表示DN等于( ) A.14(ab) B.14(ba) C.18(ab) D.18(ba) 答案 D 解析 由题意得DN12DE12(AEAD)18(ACAB)18(ba)，故选 D. 5如图，在ABC 中，AD13AC，BP23BD，若A
4、PABAC，则等于( ) A.32 B.23 C3 D.13 答案 A 解析 由题意可得，BDADAB13ACAB， APABBPAB23BDAB2313ACAB 13AB29AC， 据此可知 13，29， 32. 6已知 e1，e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使a，b能作为平面内的一个基底，则实数 的取值范围为_ 答案 (，4)(4，) 解析 若能作为平面内的一个基底，则 a 与 b 不共线ae12e2，b2e1e2，所以212，得 4. 7.如图，在MAB 中，C 是边 AB 上的一点，且 AC5CB，设MAa，MBb，则MC_.(用 a，b 表示) 答案 16a56b 解析 M
5、CMAACMA56AB MA56(MBMA)16MA56MB16a56b. 8已知向量 a 在基底e1，e2下可以表示为 a2e13e2，若 a 在基底e1e2，e1e2下可表示为 a(e1e2)(e1e2)，则 _，_. 答案 52 12 解析 由条件可知 2，3，解得 52，12. 9.如图，在平行四边形 ABCD 中，设ACa，BDb，试用基底a，b表示AB，BC. 解 方法一 设 AC，BD 交于点 O，则有AOOC12AC12a，BOOD12BD12b. 所以ABAOOBAOBO12a12b， BCBOOC12a12b. 方法二 设ABx，BCy， 则ADBCy， 又 ABBCAC，
6、ADABBD， 所以 xya，yxb，解得 x12a12b，y12a12b， 即AB12a12b，BC12a12b. 10设 e1，e2是不共线的非零向量，且 ae12e2，be13e2. (1)证明：a，b可以作为一个基底； (2)以a，b为基底表示向量 c3e1e2. (1)证明 假设 ab(R)， 则 e12e2(e13e2) 由 e1，e2不共线，得 1，32， 所以 不存在 故 a 与 b 不共线，可以作为一个基底 (2)解 设 cmanb(m，nR)， 则 3e1e2m(e12e2)n(e13e2) (mn)e1(2m3n)e2. 所以 mn3，2m3n1，解得 m2，n1. 所以
7、 c2ab. 11若OP1a，OP2b，P1PPP2(1)，则OP等于( ) Aab Ba(1)b Cab D.11a1b 答案 D 解析 P1PPP2， OPOP1(OP2OP)，(1)OPOP1OP2， OP11 OP11 OP211 a1 b. 12.如图，AB 是O 的直径，点 C，D 是半圆弧AB的两个三等分点，ABa，ACb，则AD等于( ) Aa12b B.12ab Ca12b D.12ab 答案 D 解析 连接 CD，OD，图略， 点 C，D 是半圆弧AB的两个三等分点， ACBD，CDAB，CADDAB30 ， OAOD，ADODAO30 ， CADADO30 ， ACDO，
8、 四边形 ACDO 为平行四边形，ADAOAC. AO12AB12a，ACb， AD12ab.故选 D. 13已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 是ABC 的重心，动点 P 满足OP1312OA12OB2OC，则点 P 一定为( ) AAB 边中线的中点 BAB 边中线的三等分点(非重心) CABC 的重心 DAB 边的中点 答案 B 解析 O 是ABC 的重心，OAOBOC0， OP1312OC2OC12OC， 点 P是线段OC的中点， 即AB边中线的三等分点(非重心) 14已知在平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，APyAD，AQxAB，其中 x，yR，且均不为 0.若
9、PQBE，则xy_. 答案 12 解析 PQAQAPxAByAD， 由PQBE，可设PQBE， 即 xAByAD(CECB)12ABAD2ABAD，所以 x12，y，则xy12. 15.如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为 120 ，OA与OC的夹角为30 ，且|OA|OB|1，|OC|2 3.若OCOAOB(，R)，则 _. 答案 6 解析 如图，以 OA，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作OMCN，使得 M 在直线 OA 上，N 在直线 OB 上， 则存在 ，使OMOA，ONOB， 即OCOMONOAOB. 在 RtOCM 中，|OC|2 3， COM30 ，
10、OCM90 ， |OM|4，OM4OA， 又|ON|MC|2，ON2OB， OC4OA2OB， 即 4，2， 6. 16.如图所示，在ABCD 中，ABa，ADb，BM23BC，AN14AB. (1)试用向量 a，b 来表示DN，AM； (2)AM 交 DN 于 O 点，求 AOOM 的值 解 (1)因为 AN14AB， 所以AN14AB14a， 所以DNANAD14ab. 因为 BM23BC，所以BM23BC23AD23b， 所以AMABBMa23b. (2)因为 A，O，M 三点共线，所以AOAM， 设AOAM， 则DOAOAD AMADa23b b a231 b. 因为 D，O，N 三点共线， 所以DODN，存在实数 使DODN， 则 a231 b14ab . 由于向量 a，b 不共线，则 14，231，解得 314，67. 所以AO314AM，OM1114AM， 所以 AOOM311.