1、6 6. .2.42.4 向量的数量积向量的数量积( (二二) ) 1已知单位向量 a，b，则(2ab) (2ab)的值为( ) A. 3 B. 5 C3 D5 答案 C 解析 由题意得(2ab) (2ab)4a2b2413. 2已知平面向量 a，b 满足 a (ab)3 且|a|2，|b|1，则向量 a 与 b 的夹角为( ) A.6 B.3 C.23 D.56 答案 C 解析 设向量 a 与 b 的夹角为 . 因为 a (ab)a2a b42cos 3， 所以 cos 12，又因为 0， 所以 23. 3已知 a，b 方向相同，且|a|2，|b|4，则|2a3b|等于( ) A16 B25
2、6 C8 D64 答案 A 解析 方法一 |2a3b|24a29b212a b1614496256，|2a3b|16. 方法二 由题意知 2ab， |2a3b|4b|4|b|16. 4设向量 a，b 满足|ab| 10，|ab| 6，则 a b 等于( ) A1 B2 C3 D5 答案 A 解析 |ab|2(ab)2a22a bb210， |ab|2(ab)2a22a bb26， 由得 4a b4，a b1. 5若向量 a 与 b 的夹角为 60 ，|b|4，(a2b) (a3b)72，则|a|等于( ) A2 B4 C6 D12 答案 C 解析 因为(a2b) (a3b)a2a b6b2 |
3、a|2|a| |b|cos 60 6|b|2 |a|22|a|9672. 所以|a|22|a|240. 解得|a|6 或|a|4(舍去)故选 C. 6若向量 a 的方向是正南，向量 b 的方向是北偏东 60 ，且|a|b|1，则(3a) (ab)_. 答案 32 解析 设 a 与 b 的夹角为 ，则 120 ， 所以(3a) (ab)3|a|23a b3311cos 120 331232. 7已知 ab，|a|2，|b|3，且 3a2b 与 ab 垂直，则 _. 答案 32 解析 (3a2b) (ab)3a2(23)a b2b23a22b212180， 32. 8已知向量OAAB，|OA|3，
4、则OA OB_. 答案 9 解析 OAAB，OA ABOA (OBOA) OA OBOA2OA OB90， 即OA OB9. 9已知向量 a，b 的夹角为 60 ，且|a|2，|b|1，若 c2ab，da2b，求：(1)c d；(2)|c2d|. 解 (1)c d(2ab) (a2b)2a22b23a b 2421321129. (2)|c2d|2(4a3b)216a29b224a b 1649124211297， |c2d| 97. 10已知单位向量 e1与 e2的夹角为 ，且 cos 13，向量 a3e12e2与 b3e1e2的夹角为，求 的余弦值 解 因为 a2(3e12e2)29232
5、cos 49， 所以|a|3， 因为 b2(3e1e2)29231cos 18， 所以|b|2 2， 又 a b(3e12e2) (3e1e2)9e219e1 e22e2299111328， 所以 cos a b|a|b|832 22 23. 11(多选)已知正三角形 ABC 的边长为 2，设AB2a，BCb，则下列结论正确的是( ) A|ab|1 Bab C(4ab)b Da b1 答案 CD 解析 分析知|a|1，|b|2，a 与 b 的夹角是 120 ，故 B 结论错误； (ab)2|a|22a b|b|23， |ab| 3，故 A 结论错误； (4ab) b4a bb2412cos 1
6、20 40， (4ab)b，故 C 结论正确； a b12cos 120 1，故 D 结论正确 12已知向量 a，b 的夹角为 45 ，且|a|4，12ab ()2a3b 12，则 b 在 a 上的投影向量为( ) A.14a B2b C. 2a D2 2b 答案 A 解析 12ab (2a3b)a212a b3b2|a|212|a|b|cos 45 3|b|216 2|b|3|b|212， 解得|b| 2或|b|232(舍去)故 b 在 a 上的投影向量为|b|cos 45a|a| 222a414a. 13已知非零向量 a，b，满足 ab，且 a2b 与 a2b 的夹角为 120 ，则|a|
7、b|_. 答案 2 33 解析 ab，a b0， 又(a2b) (a2b)a24b2， |a2b| a24a b4b2 a24b2， |a2b| a24a b4b2 a24b2， a24b2 a24b2 a24b2 cos 120 ， 化简得32a22b20， |a|b|2 33. 14已知 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足 b (ab)0，则|b|的取值范围是_ 答案 0,1 解析 b (ab)a b|b|2|a|b|cos |b|20， |b|a|cos cos ( 为 a 与 b 的夹角)，0， 0|b|1. 15若 O 为ABC 所在平面内任一点，且满足(OBOC) (OBOC
8、2OA)0，则ABC 的形状为( ) A等腰三角形 B直角三角形 C正三角形 D等腰直角三角形 答案 A 解析 因为(OBOC) (OBOC2OA)0， 即CB (ABAC)0， 又因为ABACCB， 所以(ABAC) (ABAC)0， 即|AB|AC|， 所以ABC 是等腰三角形 16已知平面上三个向量 a，b，c 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120 . (1)求证：(ab)c； (2)若|kabc|1(kR)，求 k 的取值范围 (1)证明 因为|a|b|c|1， 且 a，b，c 之间的夹角均为 120 ， 所以(ab) ca cb c |a|c|cos 120 |b|c|cos 120 0， 所以(ab)c. (2)解 因为|kabc|1， 所以(kabc)21， 即 k2a2b2c22ka b2ka c2b c1， 因为 a ba cb ccos 120 12， 所以 k22k0， 解得 k2. 所以实数 k 的取值范围为(，0)(2，)