1、6.2.4 向量的数量积向量的数量积 第一课时第一课时 向量的数量积向量的数量积(一一) 基础达标 一、选择题 1.已知ABCD 中，DAB60 ，则AD与CD的夹角为( ) A.30 B.60 C.120 D.150 解析 如图，AD与CD的夹角为ABC120 . 答案 C 2.若|m|4，|n|6，m 与 n 的夹角 为 45 ，则 m n( ) A.12 B.12 2 C.12 2 D.12 解析 m n|m|n|cos 462212 2. 答案 B 3.已知|a|6，|b|3，a b12，与 b 同向的单位向量为 e，则向量 a 在向量 b方向上的投影向量是( ) A.4e B.4e
2、C.2e D.2e 解析 根据投影向量的定义，设 a，b 的夹角为 ，可得向量 a 在 b 方向上的投影向量是|a|cos ea b|b|e4e，故选 A. 答案 A 4.已知 a，b 的夹角为锐角，|b|3，a 在 b 方向上的投影向量的模为32，则 a b 的值为( ) A.3 B.92 C.2 D.12 解析 设 a 与 b 的夹角为 ，则|a|cos 32， a b|a|b|cos 33292. 答案 B 5.已知平面上三点 A，B，C，满足|AB|3，|BC|4，|CA|5，则AB BCBC CACA AB的值等于( ) A.7 B.7 C.25 D.25 解析 由条件知ABC90
3、，cos C45，cos A35， 所以原式045cos(180 C)53cos(180 A) 20cos C15cos A2045153516925. 答案 D 二、填空题 6.在等腰 RtABC 中，A90 ，则向量AB与BC的夹角为_. 答案 135 7.若|a|b|ab|r(r0)，则 a 与 b 的夹角为_. 解析 作OAa，OBb，则BAab，AOB 为 a 与 b 的夹角，由|a|b|ab|知AOB 为等边三角形，则AOB60 . 答案 60 8.已知非零向量 a， b， c 满足 abc0， 向量 a， b 的夹角为 120 ， 且|b|2|a|，则向量 a 与 c 的夹角为
4、_. 解析 由题意可画出图形，在OAB 中， 因为OAB60 ，|b|2|a|， 所以ABO30 ，OAOB， 即向量 a 与 c 的夹角为 90 . 答案 90 三、解答题 9.已知向量 a，b 的夹角为 30 ，且|a| 3，|b|2，求向量 pab 与 qab的夹角 的余弦值. 解 如图， 作OAa， OBb， AOB30 .以OA， OB为邻边作平行四边形OACB，连接 OC，AB 交于点 D，则OCpab，BAqab，ADC.在ABO中，由已知条件可得，AB1，BAO2，则 BD12.在BCD 中，由 BC|a| 3，得 CD132，所以 cos BDC1313，所以 cos cos
5、(180 BDC)1313. 10.如图，在OAB 中，P 为线段 AB 上一点，则OPxOAyOB(x，yR). (1)若APPB，求 x，y 的值； (2)若AP3PB，|OA|4，|OB|2，且OA与OB的夹角为 60 ，求OP AB的值. 解 (1)若APPB，则OP12OA12OB，故 xy12. (2)因为|OA|4，|OB|2，BOA60 ， 所以OBA90 ，所以|AB|2 3. 又因为AP3PB，所以|PB|32. 所以|OP|22322192，cos OPB5719. 所以OP与AB的夹角 的余弦值为5719. 所以OP AB|OP|AB|cos 3. 能力提升 11.已知
6、 a b9，e1，e2分别是与 a，b 方向相同的单位向量，a 在 b 上的投影向量为3e2，b 在 a 上的投影向量为32e1，则 a 与 b 的夹角 _. 解析 由题意，得|a|cos 3，|b|cos 32，a b9.解得|a|6，|b|3， cos a b|a|b|96312.0 180 ，120 . 答案 120 12.如图，已知ABC 是等边三角形. (1)求向量AB与向量BC的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量AE与EC的夹角. 解 (1)ABC 为等边三角形， ABC60 . 如图，延长 AB 至点 D，使 BDAB，则ABBD， DBC 为向量AB与BC的夹角.
7、DBC120 ， 向量AB与BC的夹角为 120 . (2)E 为 BC 的中点， AEBC，AE与EC的夹角为 90 . 创新猜想 13.(多选题)已知向量 a，b 和实数 ，下列选项中正确的是( ) A.|a|2a2 B.|a b|a|b| C.(ab)ab D.|a b|a|b| 解析 选项 B 中，|a b|a|b|cos |，其中 为 a 与 b 的夹角. 答案 ACD 14.(多空题)已知在ABC 中，ABAC4，AB AC8，则ABC 的形状是_，AB BC_. 解析 AB AC|AB|AC|cos BAC， 即 844cos BAC，于是 cos BAC12， 因为 0 BAC180 ， 所以BAC60 . 又 ABAC， 故ABC 是等边三角形. 此时AB BC|AB|BC|cos 120 8. 答案 等边三角形 8