1、6.2.4 向量的数量积向量的数量积 A 组 素养自测 一、选择题 1已知ABC 中，ABa，ACb，若 a b0，则ABC 是( ) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D任意三角形 2对于向量 a、b、c 和实数 ，下列命题中真命题是( ) A若 a b0，则 a0 或 b0 B若 a0，则 0 或 a0 C若 a2b2，则 ab 或 ab D若 a ba c，则 bc 3若向量 a 与 b 的夹角为 60 ，|b|4，(a2b) (a3b)72，则|a|( ) A2 B4 C6 D12 4已知非零向量 a，b 满足|b|4|a|，且 a(2ab)，则 a 与 b 的夹角为( ) A
2、3 B2 C23 D56 5P 是ABC 所在平面上一点，若PA PBPB PCPC PA，则 P 是ABC 的( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 二、填空题 6已知 e1、e2是夹角为23的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若 a b0，则实数 k的值为_. 7设 a，b 为单位向量，且|ab|1，则|ab|_. 8已知向量 a，b，其中|a| 2，|b|2，且(ab)a，则|2ab|_. 三、解答题 9已知|a|10，|b|12，a 与 b 的夹角为 120 ，求： (1)a b； (2)(3a)15b ； (3)(3b2a) (4ab). 10已知向量 a 与 b 的夹角为
3、120 ，|a|2，|b|3，m3a2b，n2akb.若 mn，求实数 k 的值. B 组 素养提升 一、选择题 1(多选)下列命题中正确的是( ) A对于任意向量 a、b，有|ab|a|b| B若 a b0，则 a0 或 b0 C对于任意向量 a b，有|a b|a|b| D若 a、b 共线，则 a b |a|b| 2定义：|ab|a| |b| sin，其中 为向量 a 与 b 的夹角，若|a|2，|b|5，a b6，则|ab|等于( ) A8 B8 C8 或 8 D6 3已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则AP AB的取值范围是( ) A(2,6) B(6,2)
4、C(2,4) D(4,6) 4已知ABC 中，若AB 2AB ACBA BCCA CB，则ABC 是( ) A等边三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形 二、填空题 5若非零向量 a，b 满足|a|3|b|a2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为_. 6如图所示，已知圆 O 为ABC 的外接圆，AB6，BC7，CA8，则OA ABOB BCOC CA_. 三、解答题 7已知|a|4，|b|3，(2a3b) (2ab)61 (1)求|ab|； (2)求向量 a 在向量 ab 方向上的投影向量的长度. 8在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，以点 A 为圆心，r 为
5、半径作圆，如图所示，其中 PQ 为圆 A 的直径，试判断 P，Q 在什么位置时，BP CQ有最大值. 参考答案 A 组 素养自测 一、选择题 1 【答案】A 【解析】由 a b0 易知a，b为钝角. 2 【答案】B 【解析】A 中，若 a b0，则 a0 或 b0 或 ab，故 A 错；C 中，若 a2b2，则|a|b|，C 错；D 中，若 a ba c，则可能有 ab，ac，但 bc，故只有选项 B 正确，故选 B 3 【答案】C 【解析】(a2b) (a3b)72， a2a b6b272 |a|2|a|b|cos60 6|b|272 |a|22|a|240又|a|0，|a|6 4 【答案】
6、C 【解析】由题意，得 a (2ab)2a2a b0，即 a b2a2， 所以a，ba b|a| |b|2a24a212，所以a，b23，故选 C 5 【答案】D 【解析】由PA PBPB PC得PB (PAPC)0，即PB CA0，PBCA. 同理 PABC，PCAB，P 为ABC 的垂心. 二、填空题 6 【答案】54 【解析】由 a b0 得(e12e2) (ke1e2)0整理，得 k2(12k)cos230，解得 k54. 7 【答案】 3 【解析】因为 a，b 为单位向量，所以|a|b|1， 所以|ab|ab2 |a|22a b|b|2 22a b1，解得 2a b1， 所以|ab|
7、ab2 |a|22a b|b|2 3. 8 【答案】2 【解析】设向量 b 和 a 的夹角是 ， 因为|a| 2，|b|2，且(ab)a， 所以(ab) aa2a b2a b22 2cos 0，所以 cos 22， 所以|2ab|24a2b24a b 844 22224，故|2ab|2 三、解答题 9解：(1)a b|a|b|cos1012cos120 60 (2)(3a)15b 35(a b)35(60)36 (3)(3b2a) (4ab)12b a3b28a22a b10a b3|b|28|a|210(60)31228102968 10已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ，|a|2，|
8、b|3，m3a2b，n2akb.若 mn，求实数 k 的值. 解：因为向量 a 与 b 的夹角为 120 ，|a|2，|b|3， 所以 a b|a| |b|cos 120 23123 又 mn 且 m3a2b，n2akb， 所以 m n(3a2b)(2akb)6a2(3k4)a b2kb20 所以 622(3k4) (3)2k320，所以 k43. B 组 素养提升 一、选择题 1 【答案】ACD 【解析】当 ab 时，a b0 也成立，故 B 错误，A、C、D 均正确. 2 【答案】B 【解析】由|a|2，|b|5，a b6，得 cos35，sin45， |ab|a| |b| sin2545
9、8 3 【答案】A 【解析】如图， AB的模为 2，根据正六边形的特征， 可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)，结合向量数量积的定义式， 可知AP AB等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积， 所以AP AB的取值范围是(2,6)， 故选 A 4 【答案】C 【解析】解法 1：由AB 2AB ACBA BCCA CB， 得AB (ABAC)BC (BACA)， 即AB CBBC BC，AB BCBC BC0， BC (ABBC)0，则BC AC0，即BCAC， 所以ABC 是直角三角形，故选 C 解法 2：由条件得AB2AB (ACCB)CA CB AB2CA CB， CA
10、 CB0，CACB. 二、填空题 5 【答案】13 【解析】|a|3|b|a2b|， |a|29|b|2(a2b)2|a|24|b|24a b， a b|b|2， cosa，ba b|a|b|b|23|b| |b|13. 6 【答案】1492 【解析】 OA AB|OA|AB|cos(180 BAO)， |OA|cos(180 BAO)|OA|cosBAO12|AB|， OA AB12|AB|2， 同理，OB BC12|BC|2，OC CA12|CA|2， OA ABOB BCOC CA12(627282)1492. 三、解答题 7解：(1)(2a3b) (2ab)61， 4|a|24a b3
11、|b|261 |a|4，|b|3，a b6， |ab| |a|2|b|22a b 423226 13. (2)a (ab)|a|2a b42610， 向量 a 在向量 ab 上的投影向量的长度为a ab|ab|101310 1313. 8解：BPAPAB，CQCAQAACAP， BP CQ(APAB) (ACAP) (AP AC)AB ACAP2AB AP AB ACr2AP(ABAC) AB ACr2AP CB |AB|AC|cosBACr2AP CB bccosBACr2AP CB. 当AP与CB同向时，AP CB的最大值为|AP|CB|ra， 即当QP与CB共线且同向时，BP CQ有最大值 bccosBACarr2