1、6 6. .3 3 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 6 6. .3.13.1 平面向量基本定理平面向量基本定理 基础达标 一、选择题 1.设 e1，e2是同一个平面内的两个向量，则有( ) A.e1，e2平行 B.e1，e2的模相等 C.同一个平面内的任一向量 a，有 ae1e2(，R) D.若 e1，e2不共线，则对于同一个平面内的任一向量 a，有 ae1e2(，R) 解析 由平面向量基本定理知，选 D. 答案 D 2.设 D 为ABC 所在平面内一点，AD13AB43AC，若BCDC(R)，则 ( ) A.2 B.3 C.2 D.3 解析 由AD13AB43AC，可得
2、 3ADAB4AC， 即 4AD4ACADAB，则 4CDBD， 即BD4DC，可得BDDC3DC，故BC3DC， 则 3. 答案 D 3.如图，在ABC 中，BD12DC，AE3ED，若ABa，ACb，则BE等于( ) A.13a13b B.12a14b C.12a14b D.13a13b 解析 因为AE3ED，所以BEBA3(BDBE). 所以 4BEBA3BD. 因为BD12DC，所以BD13BC， 所以 4BEBABC，所以 4BEAB(ACAB)， 所以 4BE2ABAC，所以BE12AB14AC， 所以BE12a14b. 答案 B 4.已知OAa，OBb，AOB 的平分线 OM 交
3、 AB 于点 M，则向量OM可表示为( ) A.a|a|b|b| B.a|a|b|b|(R) C.ab|ab| D.|b|a|a|b|a|b| 解析 由三角形角平分线的性质及向量加法的平行四边形法则知，向量OM和与OA，OB同向的单位向量之和共线，与OA同向的单位向量即a|a|，与OB同向的单位向量即b|b|，所以OM可表示为 a|a|b|b|. 答案 B 5.ABC 中，AD14AB，DEBC，且与边 AC 相交于点 E，ABC 的中线 AM与 DE 相交于点 N，设ABa，ACb，用 a，b 表示DN等于( ) A.14(ab) B.14(ba) C.18(ab) D.18(ba) 解析
4、由题意得DN12DE12(AEAD)18(ACAB)18(ba)，故选 D. 答案 D 二、填空题 6.设向量 m2a3b， n4a2b， p3a2b， 若用 m， n 表示 p， 则 p_. 解析 设 pxmyn(x，yR)， 则 3a2bx(2a3b)y(4a2b)(2x4y)a(3x2y)b， 得2x4y3，3x2y2x74，y138. 所以 p74m138n. 答案 74m138n 7.如图，在四边形 ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，设ADa，ABb，若AB2DC，则AO_(用 a 和 b 表示). 解析 设AOAC(R)， 则AO(ADDC)AD12ABAD12AB. 因
5、为 D，O，B 三点共线，所以 121，所以 23， 所以AO23AD13AB23a13b. 答案 23a13b 8.已知 e1，e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使a，b能作为平面内的一个基底，则实数 的取值范围为_. 解析 若a，b能作为平面内的一个基底，则 a 与 b 不共线.又 ae12e2，b2e1e2，故由 akb(kR)，即得 4. 答案 (，4)(4，) 三、解答题 9.如图， 在OAB 中， 延长 BA 到 C， 使 ACBA， 在 OB 上取点 D， 使 DB13OB，设OAa，OBb，用 a，b 表示向量OC，DC. 解 OCOAACOABAOAOAOB2ab.D
6、COCODOC23OB2ab23b2a53b. 10.如图所示，设 M，N，P 是ABC 三边上的点，且BM13BC，CN13CA，AP13AB，若ABa，ACb，试用 a，b 将MN，NP，PM表示出来. 解 NPAPAN13AB23AC13a23b， MNCNCM13AC23CB13b23(ab)23a13b， PMMP(MNNP)13(ab). 能力提升 11.如图，AB 是O 的直径，点 C，D 是半圆弧AB的两个三等分点，ABa，ACb，则AD( ) A.a12b B.12ab C.a12b D.12ab 解析 连接 CD，OD，图略， 点 C，D 是半圆弧AB的两个三等分点， AC
7、BD，CDAB，CADDAB30 ， OAOD，ADODAO30 ， CADADO30 ，ACDO， 四边形 ACDO 为平行四边形，ADAOAC. AO12AB12a，ACb， AD12ab.故选 D. 答案 D 12.设 e1，e2是不共线的非零向量，且 ae12e2，be13e2. (1)证明：a，b可以作为一个基底； (2)以a，b为基底，求向量 c3e1e2的分解式； (3)若 4e13e2ab，求实数 ， 的值. (1)证明 若 a，b 共线，则存在 R，使 ab，则 e12e2(e13e2). 由 e1，e2不共线得，1，321，23. 所以 不存在，故 a 与 b 不共线，可以
8、作为一个基底. (2)解 设 cmanb(m，nR)，得 3e1e2m(e12e2)n(e13e2) (mn)e1(2m3n)e2. 由于 e1与 e2是不共线的非零向量， 所以mn3，2m3n1m2，n1. 所以 c2ab. (3)解 由 4e13e2ab，得 4e13e2(e12e2)(e13e2) ()e1(23)e2. 又 e1与 e2是不共线的非零向量， 所以4，2333，1. 故所求 ， 的值分别为 3 和 1. 创新猜想 13.(多空题)已知点 M 是ABC 的边 BC 的中点，点 E 在边 AC 上，且EC2AE，则BE_，EM_(用AB，AC表示). 解析 如图，EC2AE， BEAEAB13ACAB， EMECCM23AC12CB23AC12(ABAC)12AB16AC. 答案 13ACAB 12AB16AC 14.(多空题)已知向量 e1，e2不共线，实数 x，y 满足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，则 x_，y_. 解析 向量 e1，e2不共线， 2x3y6，3x4y3，解得x15，y12. 答案 15 12