1、6 6. .2.42.4 向量的数量积向量的数量积( (一一) ) 1若|a|3，|b|4，a，b 的夹角为 135 ，则 a b 等于( ) A3 2 B6 2 C6 2 D2 答案 B 解析 a b|a|b|cos 135 34226 2. 2在四边形 ABCD 中，AB BC0，BCAD，则四边形 ABCD 是( ) A直角梯形 B菱形 C矩形 D正方形 答案 C 解析 由AB BC0，知 ABBC.由BCAD，知 BC 綊 AD，所以四边形 ABCD 是矩形 3如图所示，一力作用在小车上，其中力 F 的大小为 10 N，方向与水平面成 60 角则当小车向前运动 10 m 时，力 F 做
2、的功为( ) A100 J B50 J C50 3 J D200 J 答案 B 解析 由题意， 根据向量的数量积的定义， 可得力 F 做的功 WF s1010 cos 60 50(J)，故选 B. 4已知|b|3，a 在 b 上的投影向量为12b，则 a b 的值为( ) A3 B.92 C2 D.12 答案 B 解析 设 a 与 b 的夹角为 ， |a| cos b|b|12b， |a| cos 1| |b12， |a| cos 32， a b|a|b|cos 33292. 5(多选)已知向量 a，b 和实数 ，则下列选项中正确的是( ) A若 a 与 b 是两个单位向量，则 a2b2 B|
3、a b|a|b| C(ab)ab D|a b|a|b| 答案 ACD 解析 选项 B 中，|a b|a|b|cos |，其中 为 a 与 b 的夹角，故 B 错误 6已知在ABCD 中，DAB60 ，则AD与CD的夹角为_ 答案 120 解析 如图，AD与CD的夹角为ABC120 . 7已知|a|3，|b|5，且 a b12，则向量 a 在向量 b 上的投影向量为_ 答案 1225b 解析 设 a 与 b 的夹角为 ， a b|a|b|cos 12，又|b|5， |a|cos 125，b|b|b5， 即 a 在 b 上的投影向量为1225b. 8已知向量 a，b 均为单位向量，a b22，则
4、a 与 b 的夹角为_ 答案 4 解析 设 a 与 b 的夹角为 ， 由题意知|a|b|1， 则 cos a b|a|b|22， 又0，4. 9已知|a|5，|b|4， (1)若 a 与 b 的夹角为 120 . 求 a b； 求 a 在 b 上的投影向量 (2)若 ab，求 a b. 解 (1)a b|a|b|cos 54cos 120 10. a 在 b 上的投影向量为|a| cos b|b|512b458b. (2)ab，a 与 b 的夹角为 0 或 180 . 当 0 时，a b|a|b|cos 0 20. 当 180 时，a b|a|b|cos 180 20. 10已知向量 a，b
5、的夹角为 30 ，且|a| 3，|b|2，求向量 pab 与 qab 的夹角 的余弦值 解 由题意知，p q(ab) (ab)a2b21， |p| ab2 13，|q|ab21， cos p q|p| |q| 1313. 11(多选)下列说法正确的是( ) A向量 a 在向量 b 上的投影向量可表示为a b|b|b|b| B若 a b0，则 a 与 b 的夹角 的范围是2， C若ABC 是等边三角形，则AB，BC的夹角为 60 D若 a b0，则 ab 答案 AB 解析 对于选项 A，根据投影向量的定义，知 A 正确；对于选项 B，a b|a|b|cos 0，则cos 0，又0，2， ，故 B
6、 正确；对于选项 C，若ABC 是等边三角形，则AB，BC的夹角为 120 ，故 C 错误；对于选项 D，a b0ab 或 a0 或 b0，故 D 错误 12已知平面上三点 A，B，C 满足|AB|3，|BC|4，|CA|5，则AB BCBC CACA AB的值等于( ) A7 B7 C25 D25 答案 D 解析 由题意知ABC90 ， 所以原式045cos(180 C)53cos(180 A)20cos C15cos A 2045153516925. 13 定义： |ab|a|b|sin ， 其中 为向量 a 与 b 的夹角， 若|a|2， |b|5， a b6， 则|ab|等于( ) A
7、8 B8 C8 或8 D6 答案 A 解析 cos a b|a|b|62535， 0， sin 45. |ab|25458.故选 A. 14 已知在ABC中， ABAC4， AB AC8， 则ABC的形状是_， AB BC_. 答案 等边三角形 8 解析 AB AC|AB|AC|cosBAC， 即 844cosBAC， 于是 cosBAC12， 因为 0 BAC180 ， 所以BAC60 . 又 ABAC，故ABC 是等边三角形 此时AB BC|AB|BC|cos 120 8. 15已知非零向量 a，b，c 满足 abc0，向量 a，b 的夹角为 120 ，且|b|2|a|，则向量a 与 c
8、的夹角为_ 答案 90 解析 由题意可画出图形，如图所示，在OAB 中， 因为OAB60 ，|b|2|a|， 所以ABO30 ， OAOB， 即向量 a 与 c 的夹角为 90 . 16.如图，扇形 AOB 的弧的中点为 M，动点 C，D 分别在 OA，OB 上，且 OCBD，OA1，AOB120 . (1)若点 D 是线段 OB 靠近点 O 的四分之一分点，用OA，OB表示向量MC； (2)求MC MD的取值范围 解 (1)由已知可得OC34OA， 四边形 OAMB 是菱形，则OMOAOB， 所以MCOCOM34OA(OAOB) 14OAOB. (2)易知DMC60 ，且|MC|MD|， 那么只需求 MC 的最大值与最小值即可 当 MCOA 时，MC 最小，此时 MC32， 则MC MD3232cos 60 38. 当 MC 与 MO 重合时，MC 最大，此时 MC1， 则MC MDcos 60 12. 所以MC MD的取值范围为38，12.