1、6 6. .2.32.3 向量的数乘运算向量的数乘运算 1下列说法中正确的是( ) Aa 与 a 的方向不是相同就是相反 B若 a，b 共线，则 ba C若|b|2|a|，则 b 2a D若 b 2a，则|b|2|a| 答案 D 2(多选)下列各式计算正确的有( ) A(7)6a42a B7(ab)8b7a15b Ca2ba2b2a D4(2ab)8a4b 答案 ACD 解析 ACD 正确，B 错，7(ab)8b7a7b8b7ab. 3 设e1， e2是两个不共线的向量， 若向量me1ke2 (kR)与向量ne22e1共线， 则( ) Ak0 Bk1 Ck2 Dk12 答案 D 解析 向量 m
2、 与向量 n 共线， 设 mn(R)， e1ke2e22e1， e1与 e2不共线， k，12， 12，k12. 4下列各组向量中，一定能推出 ab 的是( ) a3e，b2e； ae1e2，be1e22e1； ae1e2，be1e2e1e22. A B C D 答案 B 解析 中，a32b，所以 ab； 中，be1e22e1e2e1212a，所以 ab； 中，b3e13e2232(e1e2)，若 e1与 e2共线，则 a 与 b 共线，若 e1与 e2不共线，则 a 与 b不共线 5已知 m，n 是实数，a，b 是向量，则下列说法中正确的是( ) m(ab)mamb； (mn)amana；
3、若 mamb，则 ab； 若 mana，则 mn. A B C D 答案 B 解析 由向量数乘的运算律知正确；中当 m0 时，mamb，但 a 不一定等于 b，故错误；中当 a0 时等式成立，但 m 不一定等于 n，故错误 6已知向量 a，b 满足|a|3，|b|5，且 ab，则实数 的值是_ 答案 35 解析 由 ab，得|a|b|b|. |a|3，|b|5，|35，即 35. 7化简：14(a2b)16(5a2b)14a_. 答案 13a56b 解析 原式14a12b56a13b14a145614a1213b13a56b. 8设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD12AB
4、，BE23BC.若ABa，ACb，则DE_.(用 a，b 表示) 答案 16a23b 解析 DEDBBE12AB23BC12AB23(BAAC)16AB23AC16a23b. 9计算： (1)6(3a2b)9(2ab)； (2)6(abc)4(a2bc)2(2ac) 解 (1)原式18a12b18a9b3b. (2)原式6a6b6c4a8b4c4a2c (6a4a4a)(8b6b)(6c4c2c) 6a2b. 10设 a，b 是两个不共线的非零向量，若向量 2kab 与 8akb 的方向相反，求 k 的值 解 由题意可知存在实数 使 2kab(8akb)， 即 2kab8akb， 2k8，1k
5、，解得 12，k2或 12，k2， 2kab 与 8akb 的方向相反， k2 不符合题意，舍去， k2. 11设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EBFC等于( ) A.BC B.12AD C.AD D.12BC 答案 C 解析 如图，EBFCECCBFBBCECFB12(ACAB) 122ADAD. 12在ABC 中，已知 D 是 AB 边上的一点，若CD13CACB，则 等于( ) A.13 B.23 C.12 D.34 答案 B 解析 A，B，D 三点共线， 131，解得 23. 13如果实数 p 和非零向量 a 与 b 满足 pa(p1)b0，则向量 a
6、 和 b_.(填“共线”或“不共线”) 答案 共线 解析 由题意知实数 p0，则 pa(p1)b0 可化为 ap1pb，由向量共线定理可知 a，b 共线 14 已知在ABC 中， 点 M 满足MAMBMC0， 若存在实数 m 使得ABACmAM成立，则 m_. 答案 3 解析 方法一 MAMBMC0，点 M 是ABC 的重心 ABAC3AM，m3. 方法二 在ABC 中，ABMBMA， ACMCMA， 若ABACmAM成立，则 (MBMA)(MCMA)mAM成立， 整理得，MBMC(m2)MA0， 由已知可得，m21，即 m3. 15已知在四边形 ABCD 中，ABa2b，BC4ab，CD5a
7、3b，则四边形 ABCD为( ) A梯形 B正方形 C平行四边形 D矩形 答案 A 解析 如图所示 ADABBCCD (a2b)(4ab)(5a3b) 8a2b2(4ab)， AD2BC. AD与BC共线，且|AD|2|BC|. 又这两个向量所在的直线不重合， ADBC，且 AD2BC. 四边形 ABCD 是以 AD，BC 为两条底边的梯形 16设 a，b，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知 ab 与 c 共线，且 bc 与 a 共线，则 b 与 ac 是否共线？请证明你的结论 解 b 与 ac 共线证明如下： ab 与 c 共线， 存在唯一实数 ，使得 abc. bc 与 a 共线， 存在唯一实数 ，使得 bca. 由得，acca. (1)a(1)c. 又a 与 c 不共线，10,10， 1，1，abc， 即 abc0. acb. 故 b 与 ac 共线