1、6.2.3 向量的数乘运算向量的数乘运算 A 组 素养自测 一、选择题 1点 C 在直线 AB 上，且AC3AB，则BC等于( ) A2AB B13AB C13AB D2AB 2(多选)下列说法中错误的是( ) Aa 与 a 的方向不是相同就是相反 B若 a，b 共线，则 ba C若|b|2|a|，则 b 2a D若 b 2a，则|b|2|a| 3已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A、C)，则AP( ) A(ABBC) (0,1) B(ABBC) (0，22) C(ABBC) (0,1) D(ABBC) (0，22) 4如图，在正方形 ABCD 中，点 E
2、是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三等分点，那么EF( ) A12AB13AD B14AB12AD C13AB12AD D12AB23AD 5在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD2DB，CD13CACB，则 等于( ) A23 B13 C13 D23 二、填空题 6已知向量 a，b 不共线，实数 x，y 满足 5xa(8y)b4xb3(y9)a，则 x_；y_. 7 已知 e1， e2是两个不共线的向量， 而 ak2e1152k e2与 b2e13e2是两个共线向量，则实数 k_. 8 设 D、 E 分别是ABC 的边 AB、 BC 上的点， AD12AB， BE23BC
3、.若DE1AB2AC(1，2为实数)，则 12的值为_. 三、解答题 9 已知两个非零向量 e1、 e2不共线， 若AB2e13e2， BC6e123e2， CD4e18e2求证：A、B、D 三点共线. 10计算：(1)12(3a2b)(a12b)2(12a38b)； (2)2(5a4bc)3(a3bc)7a. B 组 素养提升 一、选择题 1设 a 是非零向量， 是非零实数，下列结论正确的是( ) Aa 与a 的方向相反 B|a|a| Ca 与 2a 的方向相同 D|a|a 2在ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线交 CD 于点 F，若ACa，B
4、Db，则AF( ) A14a12b B13a23b C12a14b D23a13b 3如图所示，向量OA、OB、OC的终点 A、B、C 在一条直线上，且AC3CB.设OAp，OBq，OCr，则以下等式中成立的是( ) Ar12p32q Brp2q Cr32p12q Drq2p 4 O 为平面上的一定点， A、 B、 C 是平面上不共线的三个动点， 动点 P 满足OPOA(AB|AB|AC|AC|)，0，)，则 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 二、填空题 5已知在ABC 所在的平面内有一点 P，满足PAPBPCAB，则PBC 与ABC 的面积之比是_. 6设点
5、 O 在ABC 的内部，点 D，E 分别为边 AC，BC 的中点，且|OD2OE|1，则|OA2OB3OC|_. 三、解答题 7如图，已知 E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点，用向量法证明：四边形 EFGH 是平行四边形. 8在ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且CP23CA13CB，Q 是 BC 的中点，AQ 与 CP 的交点为 M，且CMtCP，求 t 的值. 参考答案 A 组 素养自测 一、选择题 1 【答案】D 【解析】BCACAB3ABAB2AB. 2 【答案】ABC 【解析】对于 A，0 时，结论不成立； 对于 B，a0 时，结论成立；
6、 对于 C，|b|2|a|时，b 与 a 不一定共线； 对于 D，利用平面向量共线定理可知正确. 3 【答案】A 【解析】 设 P 是对角线 AC 上的一点(不含 A、 C)， 过 P 分别作 BC、 AB 的平行线， 设APAC，则 (0,1)，于是AP(ABBC)，(0,1). 4 【答案】D 【解析】EFECCF12AB23CB12AB23AD. 5 【答案】A 【解析】(方法一)：由AD2DB， 可得CDCA2(CBCD)CD13CA23CB， 所以 23.故选 A (方法二)：CDCAADCA23ABCA23(CBCA)13CA23CB，所以 23，故选 A 二、填空题 6 【答案】
7、3 4 【解析】因为 a 与 b 不共线，根据向量相等得 5x3y27，8y4x，解得 x3，y4. 7 【答案】2 或13 【解析】由题设知k22152k3， 所以 3k25k20，解得 k2 或13. 8 【答案】12 【解析】由已知DEBEBD23BC12BA 23(ACAB)12AB16AB23AC， 116，223，从而 1212. 三、解答题 9证明：ADABBCCD 2e13e26e123e24e18e2 12e118e26(2e13e2)6AB， ADAB. 又AD 和 AB 有公共点 A，A、B、D 三点共线. 10解：(1)原式12(2a32b)a34b a34ba34b0
8、 (2)原式10a8b2c3a9b3c7a(1037)a(89)b(23)cbc. B 组 素养提升 一、选择题 1 【答案】C 【解析】A 错误，因为 取负数时，a 与a 的方向是相同的；B 错误，因为当|1 时，该式不成立；D 错误，等号左边的结果是一个数，而右边的结果是一个向量，不可能相等；C正确，因为 2(0)一定是正数，故 a 与 2a 的方向相同.故选 C 2 【答案】D 【解析】解法 1：AFACCFa23CDa23(ODOC)a23(12BD12AC) a13(ba)23a13b. 解法 2：AE12a14b3423a13b ，又AE34AF，选 D 3 【答案】A 【解析】O
9、COBBC，AC3CB3BC， BC13AC. OCOB13ACOB13(OCOA). rq13(rp). r12p32q. 4 【答案】B 【解析】由OPOA(AB|AB|AC|AC|)，则OPOA(AB|AB|AC|AC|)，则AP(AB|AB|AC|AC|). 而AB|AB|是与AB同向的单位向量，AC|AC|是与AC同向的单位向量，以这两个单位向量为邻边作平行四边形AB1P1C1， 易得平行四边形AB1P1C1是菱形， 对角线AP1平分B1AC1， 且AB1AB|AB|，AC1AC|AC|，所以AB|AB|AC|AC|AB1AC1AP1，则APAP1. 由 0，)，可知点 P 在BAC
10、 的平分线上，即动点 P 的轨迹经过ABC 的内心. 二、填空题 5 【答案】23 【解析】因为PAPBPCAB，所以PCABPBPAABBPAP2AP，所以点 P在边 CA 上，且是靠近点 A 一侧的三等分点，所以PBC 和ABC 的面积之比为 23 6 【答案】2 【解析】如题图所示，易知|OA2OB3OC|OAOC2(OBOC)|2OD4OE|2|OD2OE|2 三、解答题 7证明：在BCD 中， G，F 分别是 CD，CB 的中点， CG12CD，CF12CB. GFCFCG12CB12CD12DB. 同理HE12DB. GFHE，即GF与HE共线. 又G、F、H、E 四点不在同一条直线上， GFHE，且 GFHE. 四边形 EFGH 是平行四边形. 8解：CP23CA13CB， 3CP2CACB， 即 2CP2CACBCP. 2APPB， 即 P 为 AB 的一个三等分点(靠近点 A)，如图所示. A，M，Q 三点共线， 设CMxCQ(1x)CAx2CB(x1)AC， 又CBABAC， CMx2AB(x21)AC. 又CPAPAC13ABAC，且CMtCP， x2AB(x21)ACt(13ABAC). x2t3，x21t，解得 t34.