1、6.2.36.2.3 向量的数乘运算向量的数乘运算 基础达标 一、选择题 1.3(2a4b)等于( ) A.5a7b B.5a7b C.6a12b D.6a12b 解析 利用向量数乘的运算律，可得 3(2a4b)6a12b，故选 D. 答案 D 2.下列说法中正确的是( ) A.a 与 a 的方向不是相同就是相反( 为实数) B.若 a，b 共线，则 ba( 为实数) C.若|b|2|a|，则 b 2a D.若 b 2a，则|b|2|a| 解析 显然当 b 2a 时，必有|b|2|a|. 答案 D 3.在ABC 中，已知 D 是 AB 边上的一点，若AD2DB，CD13CACB，则实数 等于(
2、 ) A.13 B.23 C.12 D.34 解析 A，B，D 三点共线，131，23. 答案 B 4.设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EBFC等于( ) A.BC B.12AD C.AD D.12BC 解析 如图，EBFCECCBFBBCECFB12(ACAB)122ADAD. 答案 C 5.已知 P，A，B，C 是平面内四点，且PAPBPCAC，则下列向量一定共线的是( ) A.PC与PB B.PA与PB C.PA与PC D.PC与AB 解析 因为PAPBPCAC， 所以PAPBPCCA0， 即2PAPB，所以PA与PB共线. 答案 B 二、填空题 6.如
3、果实数 p 和非零向量 a 与 b 满足 pa(p1)b0，则向量 a 和 b_(填“共线”或“不共线”). 解析 由题知实数 p0，则 pa(p1)b0 可化为 ap1pb，由向量共线定理可知 a，b 共线. 答案 共线 7.已知在ABC 中，点 M 满足MAMBMC0，若存在实数 m 使得ABACmAM成立，则 m_. 解析 MAMBMC0， 点 M 是ABC 的重心. ABAC3AM，m3. 答案 3 8.已知 O，A，B 是平面内任意三点，点 P 在直线 AB 上，若OP3OAxOB，则x_. 解析 因为点 P 在直线 AB 上， 所以APAB，R，OPOA(OBOA)， 即OPOB(
4、1)OA，所以13，x，所以 x2. 答案 2 三、解答题 9.计算： (1)6(3a2b)9(2ab)； (2)12（3a2b）23ab 7612a37b76a ； (3)6(abc)4(a2bc)2(2ac). 解 (1)原式18a12b18a9b3b. (2)原式1273ab 76a37b 76a12b76a12b0. (3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c (6a4a4a)(8b6b)(6c4c2c)6a2b. 10.在ABCD 中，ABa，ADb，AN3NC，M 为 BC 的中点，求MN(用 a，b表示). 解 法一 如图所示，在ABCD 中，设 AC 交 BD 于 O 点， 则
5、 O 平分 AC 和 BD. AN3NC，NC14AC， N 为 OC 的中点， 又 M 为 BC 的中点，MN 綉12BO， MN12BO14BD14(ba). 法二 MNMBBAAN12ba34AC 12ba34(ab)14(ba). 能力提升 11.在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F，若ACa，BDb，则AF等于( ) A.14a12b B.13a23b C.12a14b D.23a13b 解析 DEFBEA，DFABDEEB13， DF13AB13DC， AFADDFAD13AB. ACABADa，BDA
6、DABb， 联立得：AB12(ab)，AD12(ab)， AF12(ab)16(ab)23a13b. 答案 D 12.如图所示，在平行四边形 ABCD 中，点 M 是 AB 的中点，点 N 在 BD 上，且BN13BD. 求证：M，N，C 三点共线. 证明 设BAa，BCb，则由向量减法的三角形法则可知： CMBMBC12BABC12ab. 又N 在 BD 上且 BN13BD， BN13BD13(BCCD)13(ab)， CNBNBC13(ab)b13a23b2312ab ， CN23CM，CN与CM共线， 又CN与CM有公共点 C，C，M，N 三点共线. 创新猜想 13.(多选题)已知 m，n 是实数，a，b 是向量，则下列说法中正确的是( ) A.m(ab)mamb B.(mn)amana C.若 mamb，则 ab D.若 mana，则 mn 解析 A 和 B 属于数乘对向量与实数的分配律，正确；C 中，若 m0，则不能推出 ab，错误；D 中，若 a0，则 m，n 没有关系，错误. 答案 AB 14.(多空题)已知平面上不共线的四点 O，A，B，C，若OA3OB2OC0，则AB_BC，|AB|BC|_. 解析 OA3OB2OC0， OAOB2(OBOC)，BA2CB， AB2BC，|AB|BC|2. 答案 2 2