1、6 6. .2 2 平面向量的运算平面向量的运算 6 6. .2.12.1 向量的加法运算向量的加法运算 基础达标 一、选择题 1.下列等式错误的是( ) A.a00aa B.ABBCAC0 C.ABBA0 D.CAACMNNPPM 解析 ABBCACACAC2AC0，故 B 错. 答案 B 2.如图所示，在四边形 ABCD 中，ACABAD，则四边形 ABCD 为( ) A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形 解析 ACABAD， DCDAACDAABADDAADABAB，即DCAB. DCAB 且 DCAB， 四边形 ABCD 为平行四边形. 答案 C 3.如图所示，在平行四边形
2、ABCD 中，BCDCBA等于( ) A.BD B.DB C.BC D.CB 解析 BCDCBABC(DCBA)BC0BC. 答案 C 4.如图，四边形 ABCD 是梯形，ADBC，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，则OABCABDO等于( ) A.CD B.DC C.DA D.DO 解析 OABCABDO(DOOA)(ABBC)DAACDC. 答案 B 5.在矩形 ABCD 中，|AB|4，|BC|2，则向量ABADAC的长度为( ) A.2 5 B.4 5 C.12 D.6 解析 因为ABADAC， 所以ABADAC的长度为AC的模的 2 倍. 又|AC|42222 5， 所以向量AB
3、ADAC的长度为 4 5. 答案 B 二、填空题 6.如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是 AC 和 BD 的交点. (1)ABADCD_； (2)ACBADA_. 答案 (1)AD (2)0 7.已知点 G 是ABC 的重心，则GAGBGC_. 解析 如图所示，连接 AG 并延长交 BC 于点 E，点 E 为 BC 的中点，延长 AE到点 D，使 EDGE，则GBGCGD，GDGA0， GAGBGC0. 答案 0 8.小船以 10 3 km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为_ km/h. 解析 如图，设船在静水中的速度的大小
4、为|1|10 3 km/h，河水的流速的大小为|2|10 km/h，小船实际航行速度为 0，则由|1|2|2|2|0|2，得(10 3)2102|0|2，所以|0|20 km/h，即小船实际航行速度的大小为 20 km/h. 答案 20 三、解答题 9.已知|OA|a|3，|OB|b|3，AOB60 ，求|ab|. 解 如图，作平行四边形 OACB， |OA|OB|3， 四边形 OACB 为菱形. 连接 OC，AB，则 OCAB，设垂足为 D. AOB60 ， AB|OA|3. 在 RtBDC 中，CD3 32， |OC|ab|3 3223 3. 10.如图，平行四边形 ABCD 中，对角线
5、AC 与 BD 交于 O 点，P 为平面内任意一点. 求证：PAPBPCPD4PO. 证明 PAPBPCPD POOAPOOBPOOCPOOD 4PO(OAOBOCOD) 4PO(OAOC)(OBOD) 4PO004PO， PAPBPCPD4PO. 能力提升 11.设非零向量 a，b，c，若 pa|a|b|b|c|c|，则|p|的取值范围为_. 解析 因为a|a|，b|b|，c|c|是三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p|取最大值 3.当三个向量两两成 120 角时，它们的和为 0，故|p|的最小值为 0. 答案 0，3 12.如图所示， P， Q 是ABC 的边 BC 上两点， 且 BP
6、QC.求证： ABACAPAQ. 证明 ABAPPB，ACAQQC， ABACAPPBAQQC. PB与QC大小相等，方向相反， PBQC0， 故ABACAPAQ0APAQ. 创新猜想 13.(多选题)设 a(ABCD)(BCDA)，b 是一个非零向量，则下列结论正确的有( ) A.ab B.aba C.abb D.|ab|a|b| 解析 由条件得：a(ABCD)(BCDA)0，故选 AC. 答案 AC 14.(多空题)在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，|ABBC|_，|ABAC|_. 解析 易知|ABBC|AC|1， 以 AB， AC 为邻边作平行四边形 ABDC， 则|ABAC|AD|2|AB|sin 60 2132 3. 答案 1 3