1、2021-2022 学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期中数学试卷学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列公司标记图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度三条线段能组成三角形的是( ) A. 2，3，5 B. 3，6，11 C. 6，8，10 D. 3，2，1 3. 在ABCV中作AB边上高，下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，工人师傅安装门时，常用木条 EF固定
2、长方形门框 ABCD，使其不变形，这种做法的依据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 5. 如图，ABBD， DEBD， 垂足分别为 B， D， 如果A25 ，BCCD， 那么下列结论中， 错误的是（ ） A. ACB25 B. ABC90 C. ACCE D. DCE65 6. 如图，直线 a、b 分别经过等边三角形 ABC 的顶点 A、C，且 ab，142 ，则2 的度数为（ ） A. 18 B. 42 C. 60 D. 102 7. 如图，用直尺和圆规作一个三角形 O1A1B1，使得VO1A1B1VOAB的示意图，依据（ ）定理
3、可以判定两个三角形全等 A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 8. 如图，小亮从 P点出发，沿直线前进 10m后向左转 30 ，再沿直线前进 10m，又向左转 30 ，照这样走下去，他第一次回到出发点 p时，一共走了（ ） A. 100m B. 120m C. 140m D. 300m 9. 如图， D、 E 分别是 BC、 AD 的中点，CEF与CEDV关于直线 CE 对称， 若VABC的面积是 8， 则C E F面积为（ ） A 8 B. 6 C. 4 D. 2 10. 如图，在VABC 中，ABAC，BC4，VABC 的面积是 14，AC的垂直平分线 EF分别交 AC，
4、AB 于 E，F 点若点 D为 BC边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则 CM+DM的最小值为（ ） A. 21 B. 7 C. 4 D. 2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题）小题） 11. 如图，在 RtVABC 中，B90 ，D 是 BC 延长线上一点，ACD130 ，则A 等于_度 12. 若等腰三角形的一个内角为 50，则它的顶角的度数为_ 13. 如图，已知BCADCA，那么添加下列一个条件_，使得ABCADCVV 14. 一等腰三角形，一边长为 9cm，另一边长为 4cm，则等腰三角形的周长是_ cm 15. 如图，在VABC 中，ACBC，B30 ，C
5、DAB，垂足为 D，若 AD1，则 AB的长为_ 16. 如图，在VABC中，BAC120 ，点 E、F分别是VABC 的边 AB、AC的中点，边 BC 分别与 DE、DF相交于点 H、G，且 DEAB，DFAC，连接 AD、AG、AH，现在下列四个结论：EDF60 ，AD平分GAH，GAH60 ，GDGH则其中正确的结论有_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）小题，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 一个多边形的内角和是它的外角和的 3倍，求这个多边形的边数 18. 如图，点 E、F在 BC上，BECF，AB
6、DC，BC求证：AD 19. ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点(小正方形的顶点)上. (1)作出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，写出点 A1、B1、C1的坐标； (2)求ABC的面积. 20. 如图，在VABC中，AD是 BC边上的高，AE、BF分别是BAC、ABC的平分线，BAC56 ，C70 （1）求DAE度数； （2）求BOA 的度数 21. 如图，已知：ABAC，点D是BC的中点，DABEAB ，AEBE垂足为E （1）求证：ADAE； （2）若/BEAC，试判断ABCV的形状，并说明理由 22. 如图，已知VABC （1）用直尺和圆规作BAC 的
7、平分线交 BC 于点 E，交 CD 于点 F（保留作图痕迹） ； （2）在（1）的条件下，若 AECD于 F，证明：ACAD； （3）在（1） （2）的条件下，连接 DE，若CAB30 ，B55 ，求BED的度数 23. 如图，已知AD是ABCV的边BC上的高，点E为AD上一点，且BEAC，DEDC （1）证明：BEAC； （2）若4AE ，2CD ，求ABCV的面积 24. 如图 1，已知线段 ACy轴，点 B 在第一象限，且 AO 平分BAC，AB 交 y 轴于点 D，连接 OB，OC （1）可以判断VAOD形状为 三角形（直接写答案） ； （2）若 OE 平分AOB且B2BAO，证明：A
8、OBE+OB； （3）如图 2，若点 B，C关于 y 轴对称，AOBO，点 M为 OA 上一点，且ACM45 ，点 B的坐标为(3，1)，求点 M的坐标 2021-2022 学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期中数学试卷学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列公司标记图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的定义结合选项所给的特点即可得出答案 【详解】解：A、不
9、是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误， 故选 B 【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A. 2，3，5 B. 3，6，11 C. 6，8，10 D. 3，2，1 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断. 【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A 中，2+35，不能组成三角形； B中，3+6911，不能组成三角形； C中，6+81410，能够
10、组成三角形； D 中，1+23，不能组成三角形 故选 C 【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形 3. 在ABCV中作AB边上的高，下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作哪一条边上的高,即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段 【详解】过点 C作边 AB的垂线段，即画 AB边上的高 CD，所以画法正确的是 C 选项 故选 C 【点睛】本题考查了本题考查了三角形的高的概念，正确作三角形一边上的高是解题的关键 4. 如图，工
11、人师傅安装门时，常用木条 EF固定长方形门框 ABCD，使其不变形，这种做法的依据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【详解】添加木条 EF后，原图形中出现了 AEF，所以这种做法根据的是三角形的稳定性故选 D. 5. 如图，ABBD， DEBD， 垂足分别为 B， D， 如果A25 ，BCCD， 那么下列结论中， 错误的是（ ） A. ACB25 B. ABC90 C. ACCE D. DCE65 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件得出CDECBA，然后根据全等三角形性质以及三角形内角和可得结论 【详
12、解】解：ABBD，DEBD， 90CDECBA， 故B选项正确； BCCD，DCEBCA， ()CDECBA ASAVV， ACEC， 故 C 选项正确， A25 ， 902565ACBECD ， 故A选项错误，D选项正确； 故选：A 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟知全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键 6. 如图，直线 a、b 分别经过等边三角形 ABC 的顶点 A、C，且 ab，142 ，则2 的度数为（ ） A. 18 B. 42 C. 60 D. 102 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得60BAC，再根据平行线的性质，求解
13、即可 【详解】解：在等边三角形 ABC 中60BAC 又ab 21102BAC 故选 D 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质 7. 如图，用直尺和圆规作一个三角形 O1A1B1，使得VO1A1B1VOAB的示意图，依据（ ）定理可以判定两个三角形全等 A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】 【分析】根据尺规作图作已知三角形以及全等三角形的判定定理可得结论 【详解】解：用直尺和圆规作一个三角形 O1A1B1， 在一条直线上取一点1O，以点1O为圆心，OA为半径作弧， 与直线交于点1A， 11OAO A， 以1O
14、为圆心，OB为半径作弧， 以1A为圆心，AB为半径作弧， 两弧交于点1B， 11OBO B，11ABAB， VO1A1B1VOAB 依据的是“边边边”， 故选：A 【点睛】本题考查了尺规作图作已知三角形以及全等三角形的判定定理，熟练掌握作图方式以及全等三角形的判定定理是解本题的关键 8. 如图，小亮从 P点出发，沿直线前进 10m后向左转 30 ，再沿直线前进 10m，又向左转 30 ，照这样走下去，他第一次回到出发点 p时，一共走了（ ） A 100m B. 120m C. 140m D. 300m 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的外角和360 求解即可 【详解】解：多边形的外角和
15、为 360 ， 3601230， 即 12 10 米120 米， 故选：B 【点睛】题考查了多边形的内角和外角，能熟记多边形的外角和定理是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于 360 9. 如图， D、 E 分别是 BC、 AD 的中点，CEF与CEDV关于直线 CE 对称， 若VABC的面积是 8， 则C E F面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据 D、E 分别是 BC、AD的中点，可得142ADCABCSS，122EDCADCSSVV，再由对称即可求得2CEFEDCSSVV 【详解】解：D别是 BC的中点， 12DCBC， ADCV的底
16、是 DC，ABCV的底是 BC， 又ADCV和ABCV的高相同， 142ADCABCSS， E别是 AD的中点， 12DEAD， EDC的底是 DE，ADCV的底是 AD， 又EDC和ADCV的高相同， 122EDCADCSSVV， 又CEF与CEDV关于直线 CE对称， 2CEFEDCSSVV， 故选 D 【点睛】本题考查了三角形面积的等积变换，解题的关键是掌握两个三角形的高（或底）相等，面积比等于底（或高）之比 10. 如图，在VABC 中，ABAC，BC4，VABC 的面积是 14，AC的垂直平分线 EF分别交 AC，AB 于 E，F 点若点 D为 BC边的中点，点 M 为线段 EF 上
17、一动点，则 CM+DM的最小值为（ ） A. 21 B. 7 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】连接 AD，由于ABC是等腰三角形，点 D是 BC边的中点，故 ADBC，再根据三角形的面积公式求出 AD的长，再根据 EF 是线段 AC的垂直平分线可知，点 C关于直线 EF的对称点为点 A，故 AD的长为 CM+MD的最小值，由此即可得出结论 【详解】解：连接 AD， ABC是等腰三角形，点 D 是 BC边的中点， ADBC， SABC=12BCAD=12 4 AD=14， 解得 AD=7， EF 是线段 AC的垂直平分线， 点 C关于直线 EF 的对称点为点 A， AD的长为
18、CM+MD 的最小值， CM+MD的最小值为 7 故答案为 B 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的三线合一是解答此题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题）小题） 11. 如图，在 RtVABC 中，B90 ，D 是 BC 延长线上一点，ACD130 ，则A 等于_度 【答案】40 【解析】 【分析】直接根据三角形外角的性质可得结果 【详解】解：B90 ，ACD130 ，ABACD ， 1309040AACDB ， 故答案为：40 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
19、的和是解本题的关键 12. 若等腰三角形的一个内角为 50，则它的顶角的度数为_ 【答案】50 或 80 【解析】 【分析】有两种情况（顶角是 50 和底角是 50 时） ，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数 【详解】解：如图所示，ABC 中，AB=AC 有两种情况： 顶角A=50 ； 当底角是 50 时， AB=AC， B=C=50 ， A+B+C=180 ， A=180 -50 -50 =80 ， 这个等腰三角形的顶角为 50 或 80 故答案为：50 或 80 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键 13.
20、如图，已知BCADCA，那么添加下列一个条件_，使得ABCADCVV 【答案】BCDC或BACDAC或BD （添加一个即可） 【解析】 【分析】添加的条件是：BCDC或BACDAC或BD ，根据三角形全等的判定定理SAS或ASA或AAS即可推导出ABCADCVV 【详解】解：添加的条件是：BCDC 理由是：在ABCV和ADCV中， BCDCBCADCAACAC ABCADC SASVV； 添加的条件是：BACDAC 理由是：在ABCV和ADCV中， BCADCAACACBACDAC ABCADC ASAVV； 添加的条件是：BD 理由是：在ABCV和ADCV中， BDBCADCAACAC AB
21、CADC AASVV 故答案是：BCDC或BACDAC或BD （添加一个即可） 【点睛】本题考查了对全等三角形的判定的应用，是一个开放性题目，比较典型，难度也不是很大 14. 一等腰三角形，一边长为 9cm，另一边长为 4cm，则等腰三角形的周长是_ cm 【答案】22 【解析】 【分析】分为两种情况：当腰为 4cm 时，三边为 4cm，4cm，9cm，当腰为 9cm时，三边为 4cm，9cm，9cm，看看是否符合三角形三边关系定理，再求周长即可 【详解】当腰为 4cm时，三边为 4cm，4cm，9cm 4+49，不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去； 当腰为 9cm 时，三边为 4cm，
22、9cm，9cm，此时符合三角形的三边关系定理，此时等腰三角形的周长是4cm+9cm+9cm=22cm 故答案为 22 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，注意要进行分类讨论 15. 如图，在VABC 中，ACBC，B30 ，CDAB，垂足为 D，若 AD1，则 AB的长为_ 【答案】4 【解析】 【分析】根据 30 角所对的直角边等于斜边的一半可求得斜边长 【详解】解：ACBC， ACB90 ， B30 ， A60 ， CDAB， ADC90 ， ACD30 ， AC2AD2， 24ABAC 故答案为：4 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形 30 度角的性质等
23、知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 16. 如图，在VABC中，BAC120 ，点 E、F分别是VABC 的边 AB、AC的中点，边 BC 分别与 DE、DF相交于点 H、G，且 DEAB，DFAC，连接 AD、AG、AH，现在下列四个结论：EDF60 ，AD平分GAH，GAH60 ，GDGH则其中正确的结论有_ 【答案】 【解析】 【分析】根据四边形 AEDF 的内角和为 360 ，计算EDF 便可判断的结论的正确与否； 连接 BD、CD，根据垂直平分线的性质得 HBHA，GAGC，DBDADC，进而由等腰三角形的性质得结论DAHDAG，从而得出的结论正确与否； 证明BAH
24、DAF90 ，ADFDAF90 ，BAHADF，即可判断的结论是否正确； 由DHGBHE90B， DGHCGF90C， 当 ABAC 时， BC， DHGDGH60，此时 GDGH，由此判断的结论正确与否 【详解】解：DEAB，DFAC， AEDAFD90 ， BAC120 ， EDF360AEDAFDBAC60 ， 的结论正确； 连接 BD、CD，如图， 点 E，F分别是ABC的边 AB、AC的中点，且 DEAB，DFAC， HBHA，GAGC，DBDADC， ABHBAH，ACGCAG，DBADAB，DCADAC，DCBDBC， DAHDBHDCGDAG AD平分HAG， 的结论正确； 点
25、 E，F 分别是ABC的边 AB、AC的中点，DEAB，DFAC， HBHA，GAGC， HBAHAB，GACC， BAC120 ， BCHABGAC60 ， HAG60 ， 的结论正确； DEAB，DFAC， DHGBHE90B， DGHCGF90C， 当 ABAC时，用BC， DHGDGH， DHDG， HDG60 ， DHG 不是等边三角形， GDGH， 的结论不正确 故答案为： 【点睛】本题是三角形的一个综合题，主要考查了三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，四边形的内角和定理，考查的知识点多，难度增大，正确地作辅助线是解决本题的关键 三、解答题（本大题共三、解
26、答题（本大题共 8 小题，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）小题，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 一个多边形的内角和是它的外角和的 3倍，求这个多边形的边数 【答案】8 【解析】 【分析】 根据多边形的外角和为 360 ， 内角和公式为：（n2） 180， 由题意可得到方程 （n2） 180 360 3，解方程即可得解 【详解】解：设这个多边形是 n 边形，由题意得： （n2） 180 360 3， 解得：n8 答：这个多边形的边数是 8 【点睛】 此题主要考查了多边形的外角和与内角和公式， 做题的关键是正确把握内角和公式为：（n2） 180，外角和为 36
27、0 18. 如图，点 E、F在 BC上，BECF，ABDC，BC求证：AD 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】由 BECF可得 BFCE，再结合 ABDC，BC 可证得 ABFDCE，问题得证. 【详解】解BECF， BE+EFCF+EF，即 BFCE 在 ABF和 DCE 中， ABDCBCBFCE ABFDCE， AD 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质. 19. ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点(小正方形的顶点)上. (1)作出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，写出点
28、A1、B1、C1的坐标； (2)求ABC的面积. 【答案】(1)作图见解析，A1(2，4)，B1(1，1)，C1(3，2)；(2)52. 【解析】 【分析】(1)分别作出点 A、B、C 关于 x 轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； (2)利用割补法求解可得. 【详解】解：(1)如图所示， A1B1C1即为所求. 由图可知 A1(2，4)，B1(1，1)，C1(3，2)； (2)S ABC2 312 1 212 1 212 1 352. 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图以及图形与坐标的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键 20. 如图，在VABC中，AD是 BC边上的高，
29、AE、BF分别是BAC、ABC的平分线，BAC56 ，C70 （1）求DAE 的度数； （2）求BOA 的度数 【答案】 （1）8； （2）125 【解析】 【分析】 （1）根据角平分线的定义求出CAE，根据直角三角形两锐角互补可得CAD，根据DAECAECAD计算即可； （2）根据三角形内角和求出ABC，根据角平分线的定义求出,BAOABO的度数，然后根据三角形内角和可得结果 【详解】解： （1）BAC56 ，C70 ，AE是BAC 的平分线， CAE1282BAC AD是 BC边上的高， 90ADC， CAD907020， 28208DAECAECAD ； （2）C70 ，BAC56 ，
30、ABC180705654 ， BF 平分ABC， 1272ABOABC， AE 平分BAC， 1282OABBAC, BOA180125ABOOAB 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于 180 是解题的关键 21. 如图，已知：ABAC，点D是BC的中点，DABEAB ，AEBE垂足为E （1）求证：ADAE； （2）若/BEAC，试判断ABCV的形状，并说明理由 【答案】 （1）证明见解析； （2）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）由ABAC点D是BC中点，推出ADBC，再根据DABEAB ，利用AAS求证ADBAEB即可； （2）由题中条件/BEAC
31、可得90EAC，再根据等腰三角形三线合一，可得30EABDABCAD ，从而60BAC，进而可得ABCV为等边三角形 【详解】 （1）证明：ABACQ，点D是BC的中点， ADBC， 90ADB， AEBEQ， 90EADB， 已知DABEAB ， 在ADB和AEB中， ADBEDABEABABAB， (AAS)ADBAEB， ADAE； （2）ABCV是等边三角形 理由如下： /BEACQ， 90EACE ， ABACQ，点D是BC的中点， 30EABDABCAD ， 60BACDABCAD ， ABC V是等边三角形 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能
32、够熟练运用全等所得条件去推导等边三角形是解题关键 22. 如图，已知VABC （1）用直尺和圆规作BAC平分线交 BC 于点 E，交 CD 于点 F（保留作图痕迹） ； （2）在（1）的条件下，若 AECD于 F，证明：ACAD； （3）在（1） （2）条件下，连接 DE，若CAB30 ，B55 ，求BED的度数 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）40 【解析】 【分析】 （1）根据尺规作图-左角平分线的一般步骤：以点A为圆心，任意长度为半径作弧，与,AC AD交于,N M两点，然后分别以,N M两点为圆心，大于12MN的长度为半径作弧，两弧交于点Q，连接AQ并延长，交 BC 于
33、点 E，交 CD于点 F； （2）证明ACFADFVV即可； （3）根据30CAB以及ACFADFVV可得18030752ACFADF ，然后根据三角形内角和求出180305595ACB ，然后证明EFCEFDVV，可得ECED， 然后根据BEDECDEDC 即可得出答案 【详解】解： （1）如图为所作： （2）AECD， 90AFCAFD, 在ACFV和ADFV中， CAFDAFAFAFAFCAFD , ()ACFADF ASAVV， ACAD； （3）如图： ACFADFVV，CAB30 ， 18030752ACFADF ，CFDF， 在EFC和EFD中， 90CFDFCFEDFEEFEF
34、 ， ()EFCEFD SASVV， ECED， CAB30 ，B55 ， 180305595ACB ， 957520ECDEDC ， 40BEDECDEDC 【点睛】本题考查了尺规作图角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键 23. 如图，已知AD是ABCV的边BC上的高，点E为AD上一点，且BEAC，DEDC （1）证明：BEAC； （2）若4AE ，2CD ，求ABCV面积 【答案】 （1）证明见解析； （2）24 【解析】 【分析】 （1）根据HL推出RtRtBEDACD，根据全等三角形的性质得出CADDBE，根据等角的余角相
35、等90DBEBEDCADAEF ，则90AFE，即可得出答案 （2）由全等三角形的性质得出BDAD，2EDCD，从而求得AD，BC的长度，即可得出结果 【详解】 （1）证明：延长BE与AC交于点F， AD是ABCV的边BC上的高， 90BDEADC， 在RtBED和RtACD中， BEACDEDC， RtRt(HL)BEDACD， DBECAD ， BED=AEF 90DBEBEDCADAEF ， 90AFE， BFAC， 即BEAC （2）解：由（1）可得RtRtBEDACD， BDAD，2EDCD， 而4AE ， 426ADAEED， 6BDAD 628BCBDCD， 862422ABCB
36、C ADS， 即ABCV的面积为24 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、等角的余角相等；熟练掌握互余的性质，证明RtRtBEDACD是解此题的关键 24. 如图 1，已知线段 ACy轴，点 B 在第一象限，且 AO 平分BAC，AB 交 y 轴于点 D，连接 OB，OC （1）可以判断VAOD 的形状为 三角形（直接写答案） ； （2）若 OE 平分AOB且B2BAO，证明：AOBE+OB； （3）如图 2，若点 B，C关于 y 轴对称，AOBO，点 M为 OA 上一点，且ACM45 ，点 B的坐标为(3，1)，求点 M的坐标 【答案】 （1）等腰； （2）见解析； （3）( 1,3)
37、 【解析】 【分析】 （1）利用已知条件可证明CAODOA，结合角平分线的定义可得CAOBAO，即可求证； （2）延长OB到F，使BFBE,连接EF，通过证明AOEFOEVV，即可求解； （3）连接CB交y轴于H，作MGy轴于G，通过证明OMGBOH，得到1OGBH，3MGOH，从而得出结论 【详解】解： （1）AO平分BAC， CAODAO， ACy 轴， CAOAOD， DAOAOD， DADO， VAOD为等腰三角形， 故答案为：等腰； （2）ACy轴， CAOAOD, AO平分BAC， CAODAO， CAODAOAOD， 22ODBDAODOADAOBAO ， 延长OB到F，使BFB
38、E,连接EF， BEFF ，OBBFBEOB, OBEBEFF, 2OBEF ， 2OBEBAO ， 22BAOF ， OAEF, OE平分AOB， AOEEOB， 在AOE和FOEV中， OAEFAOEFOEOEOE , ()AOEFOE AASVV， AOFO， BEOBOF， AOBEOB； （3）连接CB交y轴于H，作MGy轴于G， 点 B，C关于 y 轴对称， CHy轴，BHy轴，COBO，OCHOBH， 90HBOHOB 又MGy 90MGOOHB (3,1)B 13OHBH， ACy， BCAC， 90ACB，90CABABC 又45ACM CM平分ACB 又AM平分CAB BM平分ABC 1()452OMBMABMBACABABC 又AOOB 90AOBHOBAOH， MOB为等腰直角三角形，HBOMOG OMOB ()OMGBOH AAS 1OGBH，3MGOH ( 1,3)M 【点睛】此题考查了几何图形与坐标的综合应用，涉及了轴对称、全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，根据题意构造出合适的全等三角形