1、浙江省宁波市余姚市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题一、选择题（每小题4分，共10小题，满分40分每小题只有一个正确选项）1. 用列表法画二次函数图象时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：20、56、110、182、274、380、506、650，其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ）A. 506B. 380C. 274D. 1822. 函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，O的弦AB、CD相交于点P，若AP=6，BP=8，CP=4，则CD长为 （ ）A. 16B
2、. 24C. 12D. 不能确定4. AB12cm，过A、B两点画半径为6cm圆，能画的圆的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个5. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）A. 1米B. 米C. 2米D. 米6. 如图木条a、b、c用螺丝固定在木板a上，且，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面a内三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的
3、位置关系则下列描述错误的是（ ）A. 木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°B 木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°C. 木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°D. 木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°7. 下列语句中，正确的有（）相等的圆心角所对的弧相等；等弦对等弧；长度相等的两条弧是等弧；经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 如图，点A，B，C，D，E都是O上的点，弧AC=弧AE，D128°，则B的度数为（ ）A. 128°B. 126
4、76;C. 118°D. 116°9. 如图，在平行四边形ABCD中，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD分别交于点G、F则下列说法错误的是（ ）A. B. C. D. 10. 下列事件中属于不可能事件的是（）A. 在足球比赛中，弱队战胜强队B. 任取两个正整数，其和大于1C. 抛掷一硬币，落地后正面朝上D. 用长度为2，3，6的三条线段能围成三角形二、填空题（每题5分，共30分）11. 将函数的图象向左平移_个单位，可得到函数的图象12. 已知点，则点绕原点顺时针旋转180°后的对应点的坐标为_13. 如图，两个转盘中指针落在每个数字的机会均等现在同时自由转动
5、甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各自指向一个数字，用所指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率是_14. 如图，作的任意一条直经，分别以为圆心，以的长为半径作弧，与相交于点和，顺次连接，得到六边形，则的面积与阴影区域的面积的比值为_；15. 如图，若抛物线上的，Q两点关于它的对称轴 对称，则Q点的坐标为 _ .16. 如图所示，为的直径，是的半径，点在上，点是上一动点，则阴影部分周长的最小值为_三、解答题17. 已知：如图，O中弦求证：AD=BC18. 如图，求证：.19. 如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，垂足分别为E，C若测得，楼高是多少？20. 为了估计河的宽度，勘测人
6、员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且ADDE，点A、C、E也在一条直线上，且DEBC经测量BC25米，BD12米，DE40米，求河的宽度AB为多少米？21. 如图，已知正方形ABCD，MAN45°，连接CB，交AM、AN分别于点P、Q，求证：CP2+BQ2PQ222. 小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转（0°90°），得到矩形ABCD，连结BD探究1如图1，当90°时，点C恰好在DB延长线上若AB1，求BC的长探究2如图2，连结AC，过点D作
7、 交BD于点M，线段DM与DM相等吗？请说明理由探究3在探究2的条件下，射线DB分别交AD，AC于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明23. 将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，并将会绕点O顺时针旋转（）当旋转至如图的位置时，求此时点C的坐标；（）如图，连接，当旋转到y轴的右侧，且点B，C，D三点在一条直线上时，求的长；（）当旋转到使得度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）浙江省宁波市余姚市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题一、选择题（每小题4分，共10小题，满分40分每小题只有一个正确选项）1.
8、 用列表法画二次函数图象时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：20、56、110、182、274、380、506、650，其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ）A. 506B. 380C. 274D. 182【答案】C【解析】【详解】解：设相邻的两个自变量的值为x1、x2，代入y=x2+bx+c，计算差值为：y1-y2=（x12-x22）+b（x1-x2）=（x1-x2）（x1+x2+b），因此函数值之间的差值间隔是相等的，即含有公因数x1-x2，计算各个差值为56-20=36；110-56=54；182-110=72；274-182=92；380
9、-274=106；506-380=126；650-506=144，36、54、72都含有公因数9，即x1-x2=9，而92不含有因数9，可以断定是274错误了故选C考点：二次函数的图象2. 函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用函数图象得出当y=1时，x=1或3，进而得出答案【详解】解：如图所示：当y1时，x1或3，故使y1成立的x的取值范围是：1x3故选A【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确利用数形结合分析是解题关键3. 如图，O的弦AB、CD相交于点P，若AP=6，BP=8，CP=4，
10、则CD长为 （ ）A. 16B. 24C. 12D. 不能确定【答案】A【解析】【详解】连接AC、BD，则A=D，C=B，ACPDBPAP：DP=CP：BPAPBP=CPDP， PD=，AP=6，BP=8，CP=4，PD=12，CD=PC+PD=12+4=16故选A考点：相交弦定理4. AB12cm，过A、B两点画半径为6cm的圆，能画的圆的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个【答案】B【解析】【分析】根据已知条件可得圆的圆心为线段AB的中点，半径为6cm，即可得到符合条件的圆有1个【详解】解：AB12cm，圆的半径为6cm，AB为直径，圆心为线段AB的中点，符合条件的圆可以画
11、1个故选：B【点睛】本题考查了圆的定义与圆的性质，确定一个圆有两个要素，一是圆心，二是半径，理解题意，得到AB为圆的直径是解题关键5. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）A. 1米B. 米C. 2米D. 米【答案】B【解析】【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OCAB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OCOD即可求解【详解】解：根据题
12、意和圆的性质知点C为的中点，连接OC交AB于D，则OCAB，AD=BD=AB=3，在RtOAD中，OA=4，AD=3，OD=，CD=OCOD=4，即点到弦所在直线的距离是（4）米，故选：B【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键6. 如图木条a、b、c用螺丝固定在木板a上，且，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面a内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系则下列描述错误的是（ ）A. 木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°B. 木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°C. 木条a、c固定不
13、动，木条b绕点E逆时针旋转20°D. 木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°【答案】D【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行，逐项判断即可【详解】解：A、木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°，此时 ，则 ，有 ，故本选项正确，不符合题意；B、木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°，此时 ，则 ，有 ，故本选项正确，不符合题意；C、木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°，此时 ，则 ，有 ，故本选项正确，不符合题意；D、木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°，木条b、c重合，
14、则 ，故本选项错误，符合题意故选：D【点睛】本题主要考查了平行线的判定，图形的旋转，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键7. 下列语句中，正确的有（）相等的圆心角所对的弧相等；等弦对等弧；长度相等的两条弧是等弧；经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】根据圆、圆心角、弧、弦的相关知识进行解答即可【详解】解：圆心角性质是在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等,因此错误；同圆或等圆中，等弦所对的劣弧或优弧相等，因此错误；等弧是能够完全重合的弧是等弧,长度相等的弧不一定是等弧.因此错误；经过圆心的直线是圆的对称轴,因此正确故选A【点睛
15、】本题主要考查圆的相关概念和圆心角，弧与弦的概念，解决本题的关键是要熟练掌握圆的相关性质和定理8. 如图，点A，B，C，D，E都是O上的点，弧AC=弧AE，D128°，则B的度数为（ ）A. 128°B. 126°C. 118°D. 116°【答案】D【解析】【分析】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出CAE，根据三角形内角和定理求出CEA ，根据圆内接四边形的性质计算即可【详解】解：连接AC、CE，点A、B、C、E都是上的点，CAE=180°-D=52°，弧AC=弧AE，AC=AE，AEC=ACE= ，B=180&#
16、176;-AEC=116°，故选D【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键9. 如图，在平行四边形ABCD中，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD分别交于点G、F则下列说法错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质，可得：AB=CD， ， ，从而得到 ， ， ，即可判断【详解】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD， ， ，所以 ，所以，故A选项正确，不符合题意；所以 ，所以 ，故B选项错误，符合题意；所以 ，所以，故C选项正确，不符合题意；因为 ， ，所以 ，所以
17、，所以，故D选项正确，不符合题意故选：B【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键10. 下列事件中属于不可能事件的是（）A. 在足球比赛中，弱队战胜强队B. 任取两个正整数，其和大于1C. 抛掷一硬币，落地后正面朝上D. 用长度为2，3，6的三条线段能围成三角形【答案】D【解析】【分析】不可能事件是指一定条件下，一定不发生的事件，据此对各个选项进行判断即可【详解】、在足球比赛中，弱队战胜强队，属于随机事件，不符合题意；B、任取两个正整数，其和大于1，属于必然事件，不符合题意；C、抛掷一硬币，落地后正面朝上，属于随机事件，
18、不符合题意；D、因为，所以不能围成三角形，是不可能事件，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了随机事件，不可能事件，必然事件的定义和三角形三边关系，解题关键是掌握随机事件，不可能事件，必然事件的定义二、填空题（每题5分，共30分）11. 将函数的图象向左平移_个单位，可得到函数的图象【答案】3【解析】【分析】先把，化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律可得答案.【详解】解： 把向左平移3个单位长度可得：即故答案为：3【点睛】本题考查的是把抛物线的一般式化为顶点式，抛物线的图象的平移规律，掌握“抛物线图象的平移规律：左加右减，上加下减”是解题的关键.12. 已知点，则点绕原点顺时针旋转18
19、0°后的对应点的坐标为_【答案】（-3，-2）【解析】【分析】根据A点绕原点旋转180度得到A1，即A1与A关于原点对称，而关于原点对称的点的坐标特征为横纵坐标都互为相反数，由此进行求解即可【详解】解：A（3，2）点绕原点旋转180度得到A1，A1的坐标为（-3，-2），故答案为：（-3，-2）【点睛】本题主要考查了点绕原点旋转后的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称点的坐标特征13. 如图，两个转盘中指针落在每个数字的机会均等现在同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各自指向一个数字，用所指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率是_【答案】【解析】【分析】根据两个数
20、作乘法计算最后的结果要是奇数，那么甲、乙两个转盘抽到的数字都必须为奇数，由此进行求解即可【详解】解：如下表所示：乙甲 1 2 3 2 3 一共有6种等可能性的结果，其中抽到两个数的乘积为奇数的结果有2种，用所指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率是，故答案为：【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够利用列表法找到所有的成绩的结果数，然后找到满足题意的结果数14. 如图，作任意一条直经，分别以为圆心，以的长为半径作弧，与相交于点和，顺次连接，得到六边形，则的面积与阴影区域的面积的比值为_；【答案】【解析】【分析】可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设O的半径
21、与等边三角形的边长为，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解【详解】连接，由题可得：为边长相等的等边三角形可将图中阴影部分的面积转化为和的面积之和，如图所示：设O的半径与等边三角形的边长为，O的面积为等边与等边的边长为O的面积与阴影部分的面积比为故答案为：【点睛】本题考查了图形的面积转换，等边三角形面积以及圆面积的求法，将不规则图形的面积转换成规则图形的面积是解题关键15. 如图，若抛物线上的，Q两点关于它的对称轴 对称，则Q点的坐标为 _ .【答案】（2，0）【解析】【详解】试题解析：抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，P，Q两点到对称轴x
22、=1的距离相等，Q点的坐标为：（2，0）考点：二次函数的性质16. 如图所示，为的直径，是的半径，点在上，点是上一动点，则阴影部分周长的最小值为_【答案】【解析】【分析】阴影部分的周长分为 的长与 两部分，为定值，的最值是常见的将军饮马问题，作对称求解即可【详解】如图所示，连接OD、AD、BD，交OC于P，连接AP此时阴影部分的周长为最小值 AB是O的直径 在中： A与B关于OC对称 阴影部分周长为：故答案为： 【点睛】本题考查圆周角定理与最短路径的知识，通过弧长关系求角度并通过对称解决最短路径问题是解题的关键三、解答题17 已知：如图，O中弦求证：AD=BC【答案】见解析【解析】【分析】先根
23、据等弦所对的劣弧相等得到，从而得到，再由等弧所对的弦相等即可得到【详解】证明：AB=CD，【点睛】本题主要考查了弧与弦之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握等弦所对的劣弧相等，等弧所对的弦相等18. 如图，求证：.【答案】见解析【解析】【分析】由，得到ADEABC，根据相似三角形的性质得到DAE=BAC，根据角的和差得到DAB=EAC，推出ADBAEC，即可得到结论【详解】证明:，.，.【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键19. 如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，垂足分别为E，C若测得，楼高是多少？【答案】楼高是9米【解析】【分析】先
24、求出AC的长度，由，得到，即可求出BC的长度【详解】解：，m，ADEABC，；楼高是9米【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键20. 为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且ADDE，点A、C、E也在一条直线上，且DEBC经测量BC25米，BD12米，DE40米，求河的宽度AB为多少米？【答案】20米【解析】【分析】首先根据题意证明ABCADE，如何利用相似三角形性质得到，最后据此进一步求AB的长度即可【详解】BCDE，ABCADE，即，AB20，答：河的宽度AB为20米【点睛】
25、本题主要考查了相似三角形判定与性质的应用，熟练掌握相关概念及方法是解题关键21. 如图，已知正方形ABCD，MAN45°，连接CB，交AM、AN分别于点P、Q，求证：CP2+BQ2PQ2【答案】见解析【解析】【分析】将ABQ绕A点顺时针旋转90°得到ACQ，连接PQ，则可证QAPQAP，得到PQPQ，再由勾股定理即可得到CP2+BQ2PQ2【详解】证明：将ABQ绕A点顺时针旋转90°得到ACQ，连接PQ， AQAQ，CQBQ，BAQCAQ，ACQABC，四边形ABCD为正方形，ACQABCACB45°，CAB90°，MAN45°，CA
26、P+BAQ45°，QAPCAQ+CAP45°，QAPQAP，在QAP和QAP中， ，QAPQAP（SAS），PQPQ，QCPACQ+ACB90°，在RtQCP中，由勾股定理得，QP2QC2+CP2， CP2+BQ2PQ2【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够正确利用旋转模型构造全等三角形22. 小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转（0°90°），得到矩形ABCD，连结BD探究1如图1，当90°时，点C恰好在DB延
27、长线上若AB1，求BC的长探究2如图2，连结AC，过点D作 交BD于点M，线段DM与DM相等吗？请说明理由探究3在探究2的条件下，射线DB分别交AD，AC于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明【答案】探究1；探究2 ，理由见解析；探究3关系式为： ，理由见解析【解析】【分析】探究1 设BC=x，根据旋转可得D'B=AD'- AB=x-1， ，再由相似三角形的性质，即可求解； 探究2 连结DD'，可先证明 ，从而得到D'AC'=ADB，进而得到MDD'=MD'D，即可求证；探究3 连结
28、AM，根据旋转可得，可得MAD'=MAD， ，可得到MN= AN，再证得 ，根据相似三角形的性质，即可求解【详解】探究1如图1，设BC=x， 矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB'C'D'，点A，B，D'在同一直线上， AD'= AD=BC=x，D'C'=AB'= AB=1， D'B=AD'- AB=x-1， ， ， 又点C'在DB延长线上， ， ， 即 ， 解得x1= ， x2=（不合题意，舍去），即； 探究2 D'M= DM，理由如下： 证明：如图2，连结DD'
29、;， ，AD'M=D'AC'， AD'= AD，AD'C'=DAB=90°， D'C'= AB， ， D'AC'=ADB，ADB=AD'M， ，ADD'=AD'D， MDD'=MD'D， D'M=DM； 探究3关系式为： ，理由如下： 证明：如图3，连结AM， D'M=DM，AD'=AD，AM=AM， ， MAD'=MAD， ， AMN=MAD+NDA，NAM=MAD'+NAP， AMN=NAM，MN= AN， ，AD'
30、;M=NAP， ， 在NAP与NDA中， ANP=DNA，NAP=NDA， ， ， ， 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键23. 将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，并将会绕点O顺时针旋转（）当旋转至如图的位置时，求此时点C的坐标；（）如图，连接，当旋转到y轴右侧，且点B，C，D三点在一条直线上时，求的长；（）当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）【答案】（）点C的坐标为；（）；（）6【解析】【分析】（1）作轴于点E，根据含30°的直角三角形性质可解得
31、CE、OE的长度，进而得到C点坐标；（）作于F，易证，得到AC=BD，再在利用三角函数性质得到OF长度，进而得到AC长度（）先确定点C、D两点是以O为圆心，半径为OD=OC=4的圆上运动，当BCOC，即BC与圆O相切时，OBC最大，作CEy轴于E点，DFx轴于F点，利用等面积法求得CE，再证OFDOEC，进而求得面积【详解】（）作轴于点E，绕O点顺时针旋转，点C的坐标为（）作于F，即，在中，（）点C、D两点是以O为圆心，半径为OD=OC=4的圆上运动，当BCOC，即BC与圆O相切时，OBC最大，作CEy轴于E点，DFx轴于F点OB=5，OC=4由勾股定理BC=3SBCD=BC·CO=OB·CECE=COF+FOD=COD=90°，COF+COE=90°FOD=COE又OFD=OEC，OD=OCOFDOECDF=CE=SOAD=当C处于如图C位置，同理可得面积也为6当OBC度数最大时，OAD的面积为6【点睛】本题主要考查三角形的旋转以及圆的切线的性质，第三问能够确定C、D两点的运动路径是解题关键