1、专题专题 9 四边形四边形 一选择题（共一选择题（共 4 小题）小题） 1 （2021新洲区模拟）如图，直线 AB 与两坐标轴分别交于 A，B 两点，P 是线段 AB 上的一动点（不与 A，B 重合） ，PMOA 于点 M，PNOB 于点 N，矩形 PMON 的周长为 12则下列各点中，在直线 AB 上的点是（ ） A （7，1） B （2，5） C （1，5） D （2，4） 2 （2020江岸区校级一模）在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，如果再添加一个条件，仍不能判定四边形 ABCD 是正方形的为（ ） AACBD BABBD COAOD DBCCD 3 （202
2、0江汉区模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中，DAB60，AB10，AD6，O 分别切 AB，AD 于点 E，F，且圆心 O 恰好落在 DE 上现将O 沿 AB 方向平移到与 BC 边第一次相切，则圆心 O移动的路径长为（ ） A73 B1023 C4 D6 4 （2020青山区校级模拟）如图，正方形 ABCD 的边长 AB8，E 为平面内一动点，且 AE4，F 为 CD上一点，CF2，连接 EF，ED，则 EF+12ED 的最小值为（ ） A62 B4 C42 D6 二填空题（共二填空题（共 12 小题）小题） 5 （2021蔡甸区二模）在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 E 是 A
3、D 上一动点，过点 E 作 EFBD 交 AB于 F，将AEF 沿 EF 折叠，点 A 的对应点 A落在 BC 边上时，AE 的长为 6 （2021江夏区模拟） 如图一， 矩形纸片 ABCD 中， 已知 AB： BC5： 3， 先按图二操作， 将矩形纸片 ABCD沿过点 A 的直线折叠，使点 D 落在边 AB 上的点 E 处，折痕为 AF；再按图（三）操作：沿过点 F 的直线折叠，使点 C 落在 EF 上的点 H 处，折痕为 FG，则HAF 的余弦值 7（2021洪山区模拟） 小慧用图 1 中的一副七巧板拼成如图 2 的 “行礼图” ， 已知正方形 ABCD 的边长为 4，则图 2 中的 h
4、的值为 8 （2021江岸区模拟）如图，已知ABCD，CEAD 于点 E，BC11，DE3，BAC3DCE，则 AB 9 （2021硚口区模拟）如图，在菱形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，若 AEAC，B48，则BAE 的大小为 10 （2021洪山区校级模拟）如图，边长为 3 的正方形 ABCD 对角线交于点 O，G 为正方形 ABCD 外一点，连接GA、 GB分别交OD、 OC于点E、 F 若E是OD的中点， G45， 则线段CF的长为 11 （2020江岸区模拟）如图，平行四边形 ABCD 中B74，CE 平分BCD 交 BA 的延长线于 E，交AD 于 F，则EFD 12 （20
5、20江岸区模拟）如图所示，DEFG 顶点分别在ABC 的三边上，若 BEBD，CFFG，GDE64，则A 的度数为 13 （2020武汉模拟）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，点 F 在 AE 边上，连 FC，BAEEFC，CFCD，AB：BC3：2，若 AE= 10，则 AB 的长为 14 （2020江岸区校级模拟）如图，M 为矩形 ABCD 中 AD 边中点，E、F 分别为 BC、CD 上的动点，且BE2DF，若 AB1，BC2，则 ME+2AF 的最小值为 15 （2020武汉模拟）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在直线 BC 上运动，以 AE 为边作等边AEF
6、，连接BF，取 BF 的中点 M，若 AB4，则 BM 的的最小值为 16 （2020硚口区校级模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中，ABAE若 AE 平分DAB，EAC25，则B ，AED 的度数为 三解答题（共三解答题（共 16 小题）小题） 17 （2021武汉模拟）已知ABCD （1）问题背景：如图 1，若 E、F 分别为 AD、AB 的中点，CE、DF 相交于 M 点，求的值； （2）如图 2，点 G 在 BC 的延长线上，AG 与 BD 相交于 P 点，与 CD 相交于 H 点，问：PA、PH、PG三条线段存在何关系并证明； （3）如图 3，点 E 在 AD 上，直线 CE、BA
7、 相交于 M 点，直线 MD 交直线 BC 于点 G，直线 BE 与 CD相交于点 H，ABAD7，sinADC=45，CDG45，求 DH 的长 18 （2021武汉模拟）如图，在矩形 ABCD 中，将矩形 ABCD 沿 AE 翻折，使点 B 恰好落在 CD 边上点 F处 （1）如图（1） ，若 CD2AD，求FEC 的度数； （2）如图（2） ，当 AD7，且 CFFD21 时，求 AB 的长； （3）如图（3） ，延长 EF，与DAF 的角平分线交于点 M，AM 交 CD 于点 N，当 NFDN+CF 时，直接写出 tanAFD 的值 19 （2021江岸区模拟）正方形 ABCD 中，M
8、 为 CD 中点，N 为 BC 上一点 （1）如图 1，若 BN3NC，求证：AMMN； （2）如图 2，在（1）条件下，连结 BD 交 AN，AM 于点 E、F，若 DF7，求 BE 的长； （3） 如图 3， 过点 N 作 NHAN 交 AM 延长线于点 H， 连接 AC 交 NH 于点 G， 若 tanBAN=14， 则的值为 （直接写出答案） 20 （2021江夏区模拟）如图，正方形 ABCD 的边长为 6，M 为 AB 的中点，MBE 为等边三角形，过点 E作 ME 的垂线分别与边 AD、BC 相交于点 F、G，点 P、Q 分别在线段 EF、BC 上运动，且满足PMQ60，连接 PQ
9、 （1）求证MEPMBQ； （2）当点 Q 在线段 GC 上时，求证：PF+GQ2BG （3）若点 Q 从 G 点运动到 C 点的过程中，直接写出点 P 的运动路径长 21 （2021武汉模拟）如图，P 是正方形 ABCD 边 BC 上一个动点，线段 AE 与 AD 关于直线 AP 对称，连接 EB 并延长交直线 AP 于点 F，连接 CF （1）如图 1，BAP20，直接写出AFE 的大小； （2）如图 2，求证：BE= 2CF； （3）如图 3，连接 CE，G 是 CE 的中点，AB1，若点 P 从点 B 运动到点 C，直接写出点 G 的运动路径长 22（2021武汉模拟）【问题背景】（1
10、） 如图 1， ACBADE90， ACBC， ADDE 求证： BE= 2CD； 【变式迁移】 （2）如图 2，E 为正方形 ABCD 外一点，E45，过点 D 作 DFBE，垂足为 F，连接CF求的值； 【拓展创新】 （3）如图 3，A 是BEF 内一点，BEBF，AF2，EAB90，FEABFA，AE2AB，直接写出 AB 的长 23 （2020江岸区校级一模）如图，RtABC 中，C90，=n，D 为 BC 边上一点，连接 AD，CEAD，垂足为 H 交 AB 于 E （1）如图 1，AD 为BAC 的平分线，当 n=12时，求的值； （2）如图 2，AD 为 BC 边上的中线，连接
11、BH，当 n=34时，求的值； （3）如图 3，正方形 MNPQ 的边长为 6，将 RtABC 移至如图所示位置，点 A，C 分别在边 MN、PQ上，且 AMCP 连接 BP，当 n=35时，BP 的最小值为 （直接写出结果） 24 （2020江岸区模拟）平行四边形 ABCD 中，N 为线段 CD 上一动点 （1）如图 1，已知ADC90若 DRBN，求证：四边形 DRBN 为平行四边形； （2）如图 2，已知ABC60若 BN 为ABC 的角平分线，T 为线段 BN 上一点，DT 的延长线交线段 BC 于点 M，满足：tanBTM=12且 DNBM请认真思考（1）中图形，探究的值 （3）如图
12、 3，平行四边形 ABCD 中，ABC60，ABBC2，P 在线段 BD 上，Q 在线段 CD 上，满足：BP2CQ直接写出（2QA+AP）的最小值为 25 （2020江岸区模拟）如图所示，矩形 ABCD 中，= (0)，点 E、F 分别为边 AB，AD 上的动点 （1）连接 BF、CE，BF 与 CE 相交于点 G，且 E 为 AB 的中点 如图 1，n1 时，若 BGCE，求的值； 如图 2，若 FB 平分AFC，且=13，求 n 的值 （2）如图 3，当 =247时，连接 AC，点 T 在边 BC 上，且 AT 平分BAC点 P 为射线 AT 上一点，点Q 为 PC 下方平面内一点，且
13、PQPC， =247，若 AB1，请直接写出 QT 的最小值为 26 （2020江岸区模拟）如图，矩形 ABCD 在四边形 AECF 中，且满足 SAEDSCBF求证：四边形 AECF为平行四边形 27 （2020江岸区模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O 点，过 O 作直线 EF 分别交 AB、CD 于 E、F 两点，求证：BEDF 28 （2020汉阳区校级模拟）如图，四边形 ABCD 是正方形，将 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AE，连接 BE，CE （1）证明：EAB2EBC； （2）将 BE 绕点 E 顺时针旋转 90至 FE，连 BF 交 AE 于
14、点 M，若 AMEM，求证：BEC135； （3）在（2）的条件下，请直接写出 tanEAB 的值 29 （2020硚口区二模）在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上的动点，连接 BE （1）如图 1，点 F 在 BC 的延长线上，且 CFCE 求证：DFBE； 如图 2，将BCE 绕点 C 逆时针旋转 30得到对应HCG，射线 FG 交 CD 于 N，交 DH 于 M，连接CM，试探究 HG 与 CM 之间的数量关系 （2）如图 3，若 AB2，点 F 是 BC 边上的动点，且 CF+CE2，连接 DF，直接写出 BE+DF 的最小值 30 （2020江岸区校级模拟）已知在正方形 A
15、BCD 和正方形 CEFG 中，直线 BG，DE 交于点 H （1）如图 1，当 B，C，E 共线时，求证：BHDE （2）如图 2，把正方形 CEFG 绕 C 点顺时针旋转 度（090） ，M，N 分别为 BG，DE 的中点，探究 HM，HN，CM 之间的数量关系，并证明你的结论 （3）如图 3，PDG45，DHPG 于 H，PH2，HG4直接写出 DH 的长 31 （2020洪山区模拟）如图，在ABC 中，ABAC将ABC 沿着 BC 方向平移得到DEF，其中点 E在边 BC 上，DE 与 AC 相交于点 O连接 AE、DC、AD，当点 E 在什么位置时，四边形 AECD 为矩形，并说明理
16、由 32 （2020武汉模拟）问题背景：峰兄在探究几何图形的时候，发现了一组非常神奇的性质：如图 1，等边三角形ABC，CDE 中，连接 AD，BE 可以得到ACDBCE，好学的他发问取 AD，BE 的中点，得到的CMN 是特殊三角形吗？请说明理由； 迁移应用：如图 2，在正方形 ABCD 中，点 O 为 CB 的中点，构造正方形 EHMF 绕 O 点进行旋转，OEOF，连接 AH，BE，DM，求的值； 联系拓展：如图 3，等腰 RtABC，BDE 中，ABAC，BDDE，BDEBAC90，当BDE绕 B 点旋转的过程中取 AD，CE 的中点 M，N，连接 MN，若 AB= 3BD，且ABD3
17、0，BD1 时，直接写出 MN 的长度 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一选择题（共选择题（共 4 小题）小题） 1 【解答】解：由题意知直线 AB 与两坐标轴分别交于 A，B 两点， 设直线 AB 上 P 点坐标为（x，y） ， 点 P 在第二象限， x0，y0， PMy，PNx， 矩形 PMON 的周长为 12， PM+PNyx=122=6， yx6， 即直线 AB 上点的坐标必须满足 yx6 条件， 而选项 A：1（7）1+76，满足， 选项 B：5（2）5+27，不满足， 选项 C：514，不满足， 选项 D：422，不满足， 故选：A 2 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形
18、， ABAD，OAOC=12AC，OBOD=12BD， A、ACBD 时，能判定菱形 ABCD 是正方形，故选项 A 不符合题意； B、ABBD， ABD 是等边三角形， DAB60， 菱形 ABCD 是不是正方形，故选项 B 符合题意； C、四边形 ABCD 是菱形，OAOD， ACBD， 菱形 ABCD 是正方形，故选项 C 不符合题意； D、DCBC， BCD90， 菱形 ABCD 是正方形，故选项 D 不符合题意； 故选：B 3 【解答】解：连接 OE，OA、BO，如图所示： AB，AD 分别与O 相切于点 E、F， OEAB，OFAD， OAEOAD30， 在 RtADE 中，AD6
19、，ADE30， AE=12AD3， OE=33AE= 3， ADBC，DAB60， ABC120， 设当运动停止时，O 与 BC，AB 分别相切于点 M，N，连接 ON，OM， 同理可得：BON 为 30，且 ON 为3， BNONtan301， ENABAEBN10316， 圆心 O 移动的路径长为 6， 故选：D 4 【解答】解：如图，当点 E 运动到点 E时，EF+12ED 的值最小，最小值为 EF+12DE， 在 AD 边上取 AH2， AEAE4， =2， AD8， =2， =， DAEEAH， DAEEAH， =2， EH=12DE， EF+12EDEF+12EDEF+EHHF，
20、EF+12ED 的最小值为 HF 的值， DHADAH6， DFDCCF6， 在 RtDHF 中，根据勾股定理，得 HF= 2+ 2= 62， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 12 小题）小题） 5 【解答】解：如图，当点 A落在 BC 上时，连接 AA，过点 A作 AHAD 于 H， 点 A 与 A关于 EF 对称， AEAE，AABD， DABABA， =，即3=34， BAAH=94， 设 AEx，则 AEx，EHx94， 由 AH2+EH2AE2得 32+（x94）2x2， 解得 x=258， 即 AE=258 6 【解答】解：过点 H 作 HPAF 交与 P， 设 AB5x，BC
21、3x， 由折叠的性质可得，AEAD3x，HFFC，AEFD90， 四边形 ADFE 为矩形，四边形 BCFE 为矩形，四边形 GCFH 为矩形， EFADBC3x，HFFCHGBE5x3x2x， EHEFHF3x2xx， 在 RtAEH 中，由勾股定理得， AH= 2+ 2= (3)2+ 2= 10 x， 在 RtHPF 中，HFP45，由勾股定理得， PFPH= 2x， 在 RtAEF 中，EAF45，AEEF3x，由勾股定理得， AF32x， APAFPF22x， cosHAF=2210=255， 故答案为：255 7 【解答】解：正方形 ABCD 的边长为 4， 的斜边上的高为 2，的高
22、为 1，的斜边上的高为 1，的斜边上的高为2， 图 2 中 h 的值为 4+2 故答案为：4 + 2 8 【解答】解：ABCD 中，BCAD11，DE8， AE1138， ABCD， BACDCA， BAC3DCE， ACE2DCE 在 AE 上截取 EFED， 则 CF 平分ACE， 作 FMAC 于 M，x+4 AF5，MF3， AM4 设 CMx，则（x+4）2x2+82， 解得 x6， ABCD= 32+62=35 故答案为：35 9 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， CA 平分BCD，ABCD， BAE+AEC180，B+BCD180， BCD180B18048132， ACE
23、=12BCD66， AEAC， AECACE66， BAE180AEC114； 故答案为：114 10 【解答】解：过 F 作 FHBC 于 H，如图： 四边形 ABCD 是正方形， ACBD，OAOCOD，ACBADB45 G45， ACBG45 BFCAFG FBHGAF E 是 OD 的中点， OE=12OD OE=12OA tanEAF=12 tanFBC=12 =12 BH2FH FHBC，ACB45， FHHC BH2HC BCBH+HC3HC BC3， 3HC3 HC1 FHHC1 CF= 2+ 2= 12+ 12= 2 故答案为2 11 【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，
24、ABCD， EDCE， DCEBCE， EBCE， B74， BCE=1802=180742=53； ADBC， AFEBCE53 FED180AFE18053127 故答案为：127 12 【解答】解：BEBD，CFFG， BEDBDE，CCGF， 四边形 DEFG 是平行四边形， EFGGDE64，DEFG， EFGC+CGF2C， C32， DEFG， BEDEFG64， BDE64， B180646452， A180325296 故答案为：96 13 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ABCD， CFCD， ABCF， 过 B 作 BGAE 于 G，过 C 作 CHAE 于 H，
25、 AGBFHC90， 在ABG 与FCH 中， = = 90 = = ， ABGFCH（AAS） ， AGFH，BGCH， 在EBG 与ECH 中， = = 90 = = ， EBGECH（AAS） ， BECE， AB：BC3：2， 设 ABCD3x，BC2x， BECEx， AE= 2+ 2= 10 x= 10， x1， AB3x3 故答案为：3 14 【解答】解：如图，过点 M 作 MHBC 于 H设 DFx，则 BE2x 四边形 ABCD 是矩形， BADBD90， MHBC， MHB90， 四边形 ABHM 是矩形， AMDMBH1，ABMH1， EH12x， ME+2AF= 12+
26、 (1 2)2+222+ 2= 12+ (1 2)2+ 42+ (2)2， 欲求 ME+2AF 的最小值，相当于在 x 轴上找一点 Q（2x，0） ，使得点 Q 到 J（0，4） ，和 K（1，1）的距离之和最小（如下图） ， 作点 J 关于 x 轴的对称点 J， 连接 KJ交 x 轴于 Q， 连接 JQ， 此时 JQ+QK 的值最小， 最小值KJ， J（0，4） ，K（1，1） ， KJ= 52+ 12= 26， ME+2AF 的最小值为26， 故答案为26 15 【解答】解：如图，作HABNAB30，交直线 BC 于点 H，点 N， NAB30，AB4，ABBC， BNABtanNAB43
27、3=433， HABNAB30，ABAB，ABHABN， ABHABN（ASA） ， AHAN， NAHBAH+BAN60， AHN 是等边三角形， ANHAHN60， AEF 是等边三角形， AEAF，EAFHAN60， HAENAF， AHEANF（SAS） ， ANFAHE60， BNF120， 点 F 在过点 N，与 BC 所成BNF120的直线 FN 上移动， 当 BFFN 时，BF有最小值， 此时 BN=433，BFFN，BNF60， BFBNsin60=43332=2， M 是 BF的中点， BM 的最小值为 1 16 【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC，AD
28、BC DAEAEB ABAE， AEBB BDAE 在ABC 和EAD 中， = = = ， ABCEAD（SAS） ， BACAED， AE 平分DAB， DAEBAE； 又DAEAEB， BAEAEBB ABE 为等边三角形 BBAE60， EAC25， BAC85， AED85 故答案为：60，85 三解答题（共三解答题（共 16 小题）小题） 17 【解答】解： （1）如图 1，延长 DF，CB 交于点 H， E、F 分别为 AD、AB 的中点， AD2DE，AFBF， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， ADFBHF， =1， ADBHBC， HC2BC2AD，
29、HC4DE， ADBC， DEMHCM， =14； （2）PA2PHPG， 理由如下：ADBC， =， ABDH， =， =， PA2PHPG； （3）如图 3，过点 G 作 GNCD 于 N， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCDADBC7，ADBC， ADCDCG， sinADCsinDCG=45=， 设 NG4x，CG5x， CN= 2 2= 252 162=3x， CDG45， CDGDGN45， DNGN4x， DCDN+CN7x7， x1， CG5， ABCD， ABEDHE， =， ADBC， AEMBCM，DEMGCM， =，=， =， =， 又=，ABBC， DHCG5
30、 18 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， ABCD，BDC90， 将矩形 ABCD 沿 AE 翻折，使点 B 恰好落在 CD 边上点 F 处 ABAF，BAFE90，BEEF， CD2AD， ABAF2AD， sinAFD=12， AFD30， EFC180903060， FEC30； （2）AFEDC90， DAF+AFD90AFD+EFC， DAFEFC， 又DC90， ADFFCE， =， ADECDFCF， AD7，CFFD21， EC3， BE4EF， CF= 2 2= 16 9 = 7， CFFD21， DF37， CD47 =AB； （3）如图 3，过点 N 作 N
31、HAF 于 H， AM 平分DAF，NHAF，D90， DNNH， 又ANAN， RtANHRtAND(HL)， ADAH， NFDN+CF， CDNF+DN+CF2NF， AB2NFAF， DNHF90，AFDNFH， ADFNHF， =12， 设 NHx，NFy， DFx+y，ADAH2x，AF2y，DF2HF， HF2y2x， x+y2（2y2x） ， y=53x， DFx+53x=83x， tanAFD=283=34 19 【解答】 （1）证明：如图 1 中， 四边形 ABCD 是正方形， ADCDBCAB，DC90， 设 ADCDBCAB4a， BN3CN， CNa，BN3a， DM
32、CM2a， =2， ADMMCN， DAMCMN， DAM+AMD90， AMD+CMN90， AMN90， AMMN （2）解：如图 2 中，延长 AM 交 BC 的延长线于 M，设 AD4a ADMGCM90，DMCM，AMDGMC， ADMGCM（ASA） ， CGAD4a， ADBG，BN3CN，ADBC4a， =12，=43， DF7， BF14， BD14+721， BE=37BD9 （3）解：如图 3 中，设 AD4a延长 AM 交 BC 的延长线于 G过点 G 作 GPBC 于 P，过点 H 作HQCG 于 Q tanBAN=14， BNa，CN3a， ABNGPNANG90，
33、 ANB+BAN90，ANB+GNP90， ABNNPG， AB：BNPN：PG4， 设 PGPCx，则 PN4x， 5x3a， x=35a， PN=125a，PC=35a， tanGtanDAM=12=， 设 HQy，则 GQ2y， ADCG4a， CQ4a2y， 同法可证，ABNNQH， 可得 AB：BNNQ：QH4， NQ4y3a+4a2y， y=76a， PQCP+CQ=35a+4a73a=3415a， GPHQ， =1253415=1817， 故答案为：1817 20 【解答】 （1）证明：正方形 ABCD 的边长为 6，M 为 AB 的中点， AABC90，ABBC6，AMBM3，
34、 MBE 是等边三角形， MBMEBE，BMEPMQ60， BMQPME， 又ABCMEP90， MBQMEP（ASA） （2）解：PF+GQ 的值不变，理由如下： 如图 1，连接 MG，过点 F 作 FHBC 于 H， MEMB，MGMG， RtMBGRtMEG（HL） ， BGGE，BMGEMG30，BGMEGM， MB= 3BG3，BGMEGM60， GE= 3，FGH60， FHBC，CD90， 四边形 DCHF 是矩形， FHCD6， sinFGH=32=6， FG43， MBQMEP， BQPE， PEBQBG+GQ， FGEG+PE+FPEG+BG+GQ+PF23 +GQ+PF，
35、 GQ+PF23 =2BG （3）MBQMEP， BQPE， 点 Q 从 G 点运动到 C 点的过程中，点 P 的运动路径长BCBG63 21 【解答】解： （1）BAP20， DAP70， 线段 AE 与 AD 关于直线 AP 对称， DAPEAP70，ADAE， BAE50，ABAE， EABE65， AFE180706545； （2）设BAPx， DAP90 x， 线段 AE 与 AD 关于直线 AP 对称， DAPEAP90 x，ADAE， BAE902x，ABAE， EABE45+x， AFE180（90 x）（45+x）45； 如图 2，连接 DF，DE，BD， 四边形 ABCD
36、是正方形， BD= 2CD，CDB45， 线段 AE 与 AD 关于直线 AP 对称， DFEF，DFAAFE45， DFE90， FDE45CDB，DE= 2DF， CDFBDE，=2， CDFBDE， =2， BE= 2CF； （3）如图 3，连接 AC，BD 交于点 O，连接 OG， 四边形 ABCD 是正方形， AOCO， 又G 是 CE 中点， OG=12AE=12AD=12， 点 G 在以 O 为圆心，12为半径的圆上运动， 点 P 从点 B 运动到点 C，点 G 的运动路径长=9012180=4 22 【解答】解： （1）如图，ACBADE90，ACBC，ADDE， DAECAB
37、，且 AB= 2AC，AE= 2AD， DACEAB， ABEACD， =2， BE= 2CD； （2）如图 2，连接 BD， E45，DFBE， EDFE45， 在正方形 ABCD 中，BDC45， EDBFDC45+FDB，=2， EDBFDC， =2； （3）过点 A 作 AHAF，交 EF 于点 H，连接 BH BEBF， BEFBFE， FEABFA， AFEBEA， tanAFEtanBEA， =12， AH=12AF1， FH= 5 FAEHAB90+HAE，=12， FAEHAB， AHBAFE， AHB+AHFAFE+AHF90， BHF90， BEBF， HEFH= 5，
38、FAEHAB， =12， BH=12EF= 5， BE= 2+ 2= 10， AE2AB， AB2+AE2BE210， AB= 2 23 【解答】解： （1）如图 1，ACB90， DCH+ACH90， CEAD， ACH+CAH90， DCHCAH， AD 为BAC 的平分线， BADCAH， BADDCH， BADBCE， =， 由题意得：=n=12，设 ACx，则 BC2x， 在 RtABC 中，AB= 2+ 2= 2+ (2)2= 5x， =25=255； （2）如图 2，过点 H 作 HFBC 于 F， ACD90，ECAD， DCHCAH，ADCCDH， DCHDAC， =， DC
39、2DADH， =n=34， 设 AC3m，BC4m， AD 为 BC 边上的中线， BDCD=12BC2m， AD= 2+ 2= (3)2+ (2)2= 13m， DH=2=(2)213=41313m， sinHDF=313=31313， HF=31313DH=1213m， cosHDF=213=21313， DF=21313DH=813m， BFBD+DF2m+813m=3413m， BH= 2+ 2=(1213)2+ (3413)2=101313m， =1013132=51313； （3）如图 3，连接 PM 交 AC 于点 O，连接 OB，过点 O 作 OEPQ 于点 E， 延长 QP
40、至 F，使 PF7，连接 OF，BF， 四边形 MNPQ 是正方形， MNPQ， CPOAMO45， 在AOM 和COP 中， = = = ， AOMCOP（AAS） ， OAOC，OMOP， =n=35， 2=35， =310， 正方形 MNPQ 的边长为 6， PQ6， OEPQ，MQPQ， OEMQ， OPOM， PEEQ3，OE=12MQ3， PF7， EFPE+PF10， =310， =310， OCBOEF90， OCBOEF， =，BOCFOE， BOFCOE， OFBOEC90， 点 B 在过点 F 且垂直于 OF 的直线上移动，当且仅当 BPBF 时，BP 有最小值， 根据“
41、垂线段最短” ，当 BP 有最小值时，BPOF， OFEBPE， tanOFEtanBPE， =310， 设 BF3n，则 BP10n， PF= 2+ 2= (3)2+ (10)2= 109n， 109n7， n=7109=7109109， BP10n=70109109， BP 的最小值为70109109， 故答案为：70109109 24 【解答】 （1）证明：如图 1 中，过点 D 作 DEBA 交 BA 的延长线于 E，过点 B 作 BFDC 交 DC 的延长线于 F 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，BADBCD，ABCD， DAEBCF， DEABFC90， ADECBF（
42、AAS） ， DEBF，AECF， DRBN， RtDERRtBFN（HL） ， ERFN， ARCN， ABCD， BRDN， DRBN， 四边形 DRBN 为平行四边形 （2）解：如图 2 中，作 DRBN 交 AB 于 R，连 RM 交 BN 于点 P， BRDN，RDBN， 四边形 RBND 是平行四边形， BRDN， DNBM， BRBM， ABC60，BN 为ABC 的角平分线， RBPPBM30， BPR90， RDBN， PRDBPR90， RDBN， BTMRDM， tanBTM=12， tanRDM=12， 设 BMa，则 RMa， = 2， 过点 A 作 AKRD 于点
43、K， BRM60， ARD30ADR， DKRKa， AD=30=233a， 在 RtRDM 中，RM2+RD2MD2， MD= 5a， =5233=152 （3）解：如图 3 中，连接 AC，作 CMBD，使得 CM=12AB，连接 MQ，AM 四边形 ABCD 是平行四边形，ABBC2，ABC60， 四边形 ABCD 是菱形， ABC，ACD 都是等边三角形，ABDDBCBDC=12ABC30， ACAB2，ACBACD60， CMBD， DCMBDC30， ABPMCQ， =2， ABPMCQ， =2， QM=12PA， 2QA+PA2（AQ+12AP）2（AQ+QM） ， AQ+QMA
44、M，AM= 2+ 2= 12+ 22= 5， AQ+QM 的最小值为5， 2AQ+PA 的最小值为 25 故答案为：25 25 【解答】解： （1）如图 1 中， EGBF，四边形 ABCD 是正方形， BGEBGCABC90，ABBC， EBG+CBG90，CBG+BCG90， EBGBCG， BGECGB， =， AEEB=12AB=12BC， =12， CG2BG，BG2EG， =14 如图 2 中，设 BCb，作 EMBC 交 BF 于 M EMADBC， EBMABF，EGMCGB， =12，=13， =3， =23， =3， ADBC， AFBFBC， AFBBFC， CFBCBF
45、， CFBCb， = 2 2=232， 故 = =232， =232=342 （2）如图 3 中，连接 CK，过点 T 作 THAC 于 H，TKTC，使得 TK：CT5：24，连接 QK，过点 T作 TJQK 于 J PA 平分BAC，TBAB，THAC， TBTH， AB1，AB：BC7：24， BC=247， AC= 2+ 2=12+ (247)2=257， BATHAT，ABTAHT90，ATAT， ATBATH（AAS） ， BTBH，AHAB1， CHACAH=187， 设 BTTHx， 则有（247x）2x2+（187）2， x=34， =34， =7528， CTKCPQ90，
46、=524， CTKCPQ， TCKPCQ， TCPKCQ，=， =， TCPKCQ， CKQCTP定值， 点 Q 在直线 QK 上运动，当 TQ 与 TJ 重合时，TQ 的值最小， CTHCKT，ATBATHCTPCKQ， TKJATB， tanTKJtanATB=134=43， TJ：JK：TK4：3：5， TK=524CT=7247528=2532， TJ=452532=58， QT 的最小值为58 故答案为：58 26 【解答】证明：ABCD 为矩形， ADED，CBBF，ADBC，ABDC，ABDC， AFCE， 又SAEDSCBF， 12ADDE=12BCBF， DEBF， AB+B
47、FDC+DE， AFCE， AECF 为平行四边形 27 【解答】证明：在平行四边形 ABCD 中，DOBO，ABCD， OBEODF， 在DOF 与BOE 中， = = = ， DOFBOE（ASA） ， BEDF 28 【解答】证明： （1）将 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AE， AEAB， AEBABE， EAB+AEB+ABE180， EAB+2ABE180， ABC90， ABE+CBE90， 2ABE+2EBC180， EAB2EBC； （2）如图 1，过点 A 作 AHEF 交 BF 于 H， 将 BE 绕点 E 顺时针旋转 90至 FE， EFBE，FEB90， EFBEBF
48、45， EFAH， EFBAHM45， 在EMF 和AMH 中， = = = ， EMFAMH（AAS） ， EFAH， EBF45， ABF+CBE45，AHB135， AHF45ABF+HAB， CBEHAB， 在AHB 和BEC 中， = = = ， AHBBEC（SAS） ， AHBBEC135； （3）过点 A 作 AHEF 交 BF 于 H，交 BE 于 P，连接 EH，过点 E 作 EQAB 于 Q， AHEF， APBFEB90， 又ABAE， AP 是 BE 的垂直平分线， EHBH， HBEHEB45， EHB90，HEB+CEB180， 点 C，点 E，点 H 三点共线，
49、 设 BHEHa， EHBH，BHEH，HPBE， BE= 2a，HP=12BE=22a， 由（2）可知：AHBEBC， BEAH= 2a，CEBHa， CHCE+EH2a，APAH+HP=322a， BC= 2+ 2= 42+ 2= 5a， ABBCAE= 5a， SABE=12ABEQ=12BEAP， 5aEQ= 2a322a， EQ=355a， AQ= 2 2=52952=455a， tanEAB=34 29 【解答】 （1）证明：如图 1 中， 四边形 ABCD 是正方形， BCCD，BCDDCF90， CECF， BCEDCF（SAS） ， BEDF 解：结论：HG2CM 理由：如图
50、 2 中，设 DH 交 BC 于 J DCG30，DCF90， GCF120， CGCF， CFGCGF30， CDCH，DCH120， CDHCHD30， DCJ90， DJC60，DJ2CJ JMF90， DJCFJM，DCJFMJ， DCJFMJ， =， =， MJCFJD， JMCJFD， =12， DF2CM， HGDF， HG2CM （2）解：如图 3 中，连接 AE，延长 BC 到 T，使得 CTBC，连接 AT 四边形 ABCD 是正方形， ADDC，ADEDCFABT90， CF+CE2CDCE+DE， DECF， ADEDCF（SAS） ， AEDF， CDBT，CBCT，