1、专题专题 8 三角形三角形 一选择题（共一选择题（共 9 小题）小题） 1 （2021武汉模拟）如图，从圆外一点 P 引圆的两条切线 PA，PB，A，B 为切点，C 为 PB 上的一点，连接 CO 交O 于点 D，若 CDPA，PA9，CD2，则O 的半径长是（ ） A22 B23 C4 D3 2 （2021武汉模拟）如图，ABC 的面积为 1，分别取 AC、BC 两边的中点 A1、B1，则四边形 A1ABB1的面积为34，再分别取 A1C、B1C 的中点 A2、B2，A2C、B2C 的中点 A2、B2，依次取下去利用这一图形，计算出34+342+343+ +34的值是（ ） A41;141
2、B4;14 C2;12 D21;12 3 （2020江汉区模拟） 如图， ABC 是边长为 2 的等边三角形， 过其内部一点 P 分别作三边的垂线段 PD，PE，PF，将三条垂线段的和记为 d图中阴影部分面积的和为 s，则=（ ） A12 B3 C32 D2 4 （2020武汉模拟）如图，半O 的直径 AB4C 为半圆弧上一动点，CDAB 于点 D，则 CDBD 的最大值为（ ） A3 1 B2 1 C42 4 D22 2 5 （2020武昌区模拟）如图，AB 是半径为 2 的半圆 O 的直径，AOC 为等边三角形，D 是弧 BC 上的动点，则四边形 AODC 的面积 S 的范围是（ ） A3
3、S2+3 B3 S2+3 C3S1+3 D3 S1+3 6 （2020武汉模拟）如图在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 CD，CB 上的动点，其中 AD1，若FAE45，则FAE 面积的最大值为（ ） A3 1 B12 C6 2 D3 2 7 （2020武汉模拟）如图，在等边ABC 中，AB4，D、E 分别为射线 CB、AC 上的两动点，且 BDCE，直线 AD 和 BE 相交于 M 点，则 CM 的最大值为（ ） A23 B833 C33 D43 8 （2020武汉模拟）如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展而来边数记为 a312，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为 a4
4、20，第（3）个多边形由五边形“扩展”而来，边数记为 a530依此类推， 由正 n 边形 “扩展而来的多边形的边数记为 an（n3） ， 则13+14+15+ +112结果是 （ ） A310 B730 C833 D1039 9 （2020武汉模拟）平面直角坐标系中，A（3，3） 、B（0，5） 若在坐标轴上取点 C，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是（ ） A3 B4 C5 D7 二填空题（共二填空题（共 19 小题）小题） 10 （2021武汉模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成了“赵爽弦图” ，若图中小正方形的面积恰好是大正方形面积的一半，则 11 （2021东西湖区模
5、拟）我们规定：经过三角形的一个顶点且将三角形的周长分成相等的两部分的直线叫做该三角形的“等周线” ， “等周线”被这个三角形截得的线段叫做该三角形的“等周径” 例如等边三角形的边长为 2，则它的“等周径”长为3在中 RtABC 中，C90，AC4，BC3，若直线 l为 RtABC 的“等周线” ，请直接写出ABC 的所有“等周径”长为 12 （2021武汉模拟）如图，在 RtABC 中，C90，点 D 在 BC 上，点 E 为 RtABC 外一点，且ADE 为等边三角形，CBE60，若 BC7，BE4，则ADE 的边长为 13 （2021武汉模拟）如图，在ABC 中，ABAC，BD 平分ABC
6、 交 AC 于点 D，AEBD 交 CB 的延长线于点 E，若E37，则BAC 14（2021武汉模拟） ABC中， D、 E在BC上， 且EAEB， DADC， 若EAD30， 则BAC 15 （2021武昌区模拟）如图，在ABC 中，ABAC，D、E 分别为 AB、AC 上的点，BDE、CED 的平分线分别交 BC 于点 F、G，EGAB若A38，则BFD 的度数为 16 （2021武汉模拟）如图，ABC 中，AB8，AC2，BAC 的外角平分线交 BC 延长线于点 E，BDAE 于 D，若 AEAC，则 AD 的长为 17 （2021武汉模拟）如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为（6，
7、63） ，过 A 作 ACx 轴于 C，OB 平分AOC 交 AC 于 B，P 为 x 轴上一动点，当APB 最大时，P 点坐标是 18 （2021武汉模拟）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” ，后人称其为“最美弦图” （如图 1） ，图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形 ABCD，正方形EFGH， 正方形MNKT的面积分别为S1， S2， S3， 若S1+S2+S319， 则S2的值是 19 （2020江岸区模拟）ABC 中，B30，BC29，AB212，D 在线段 BC 上运动，且 D 不与 B、C 重合，设 B、C 关于直线 AD 的
8、对称点为 M、N，则 SBMN的范围是 20（2020江岸区模拟） 在四边形ACBD中， ACBC且BC2， AD3， AB4， BD5， 则CAD 21 （2020武汉模拟） 【新知探究】新定义：平面内两定点 A，B，所有满足=k（k 为定值）的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆” 【问题解决】如图，在ABC 中，CB4，AB2AC，则ABC 面积的最大值为 22 （2020武汉模拟）如图，ABC 中，DE 是 BC 的垂直平分线，CE 是ACB 的平分线，FG 为ACE的中位线，连 DF，若DFG108，则AED 23 （2020武汉模拟）如图，在四边形 ABCD 中，BD
9、CD，2BAC+ACB90，且BCDBAC，若 AB5，CD52，则 AC 的长为 24 （2020武汉模拟）如图，在 RtABC 中，A90，ABAC，BC20，DE 是ABC 的中位线 点 M 是边 BC 中点，则 DM ； 探究：点 M 是边 BC 上一点，BM3，点 N 是线段 MC 上的一个动点，连接 DN、ME，DN 与 ME 相交于点 O 若OMN 是直角三角形，则 DO 的长是 25 （2020青山区模拟）如图，在等腰 RtABC 中，ABC90，ABBC，点 D 为ABC 外一点，且D45，过点 A 作 AFBC 交 DC 于点 F，交 BD 于点 E，若 EF=67，AE2
10、，则 BC 26 （2020青山区模拟）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三角形的特征值若等腰ABC 中，A80，则等腰ABC 的特征值 k （多选） A.85 B.58 C.14 D.4 27 （2020江岸区校级模拟）如图，D 为ABC 中 BC 边上一点，ABCB，ACAD，BAD24，则C 28（2020武汉模拟） ABC中， D、 E在BC上， 且EAEB， DADC， 若EAD40， 则BAC 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 29 （2021武汉模拟）如图 1，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于点 D，= （1）求； （2）当 n
11、= 3时，E 为边 AB 上一点，连接 CE，F 为 CE 上一点，且=12若EFB60，AC4，求 BE 的长； （3）如图，延长 CA 到点 G，使 AGCA，连接 GD，则 tanGDA 30 （2021武汉模拟）已知，AD 是 BC 的垂直平分线，F 为 AD 上一动点，DECF 于 E，连接 AE （1）如图 1，若 ADBC，且 F 为 AD 的中点，求证：=2； （2）如图 2，若 ADBC，且 F，G 分别为 AD、AB 的中点，求证：=12 （3）如图 2，若 G 为 AB 上一动点，AB6，BC4，请直接写出线段 EG 长度的最小值 31 （2021武汉模拟） 如图， 点
12、E 是等边ABC 边 AC 上一动点， 连接 BE， 点 D 在 BE 延长线上， 连接 AD，且满足ADB30 （1）如图（1） ，若点 E 是 AC 边的中点，求证：BEDE； （2）如图（2） ，若=23，求的值； （3）如图（3） ，点 M 是 AD 中点，BC1，当点 E 从点 A 运动到点 C 时，直接写出点 M 运动的路径长 32 （2021江岸区校级模拟）如图，在等边ABC 中，点 D 为边 BC 上一动点，以 AD 为底在直线 AD 左侧作等腰ADE，且 AEDE，AED120（D 点在运动过程中，点 E 始终在ABD 的内部） （1）ADB 和BAE 的数量关系为 ； （2
13、）如图 1 所示，判断BDE 的形状并证明； （3）当 D 点运动到如图 2 所示的位置时，延长 BE 交 AD 于点 F，若 DF2AF，BF2+23，则等边ABC 的边长为 33 （2021洪山区模拟）ABC 中，BAC90，ABAC，D 为 BC 的中点，F，E 是 AC 上两点，连接BE，DF 交于ABC 内一点 G，且EGF45 （1）如图 1，若 AE3CE3，求 BG 的长； （2）如图 2，若 E 为 AC 上任意一点，连接 AG，求证：EAGABE； （3）若 E 为 AC 的中点，求 EF：FD 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 9 小题
14、）小题） 1 【解答】解：如图，连接 OB，PO， 从圆外一点 P 引圆的两条切线 PA，PB，A，B 为切点， PAPB9，BPOAPO，OBC90， CDAP， COPOPAOPB， CPCO2+OD， BC9（2+OD）7OD， OC2OB2+BC2， （7OD）2+OD2（2+OD）2， OD3，OD15（不合题意舍去） ， O 的半径长是 3， 故选：D 2 【解答】解：A1、B1分别是 AC，BC 的中点， A1、B1是ABC 的中位线， A1B1AB，A1B1=12AB， CA1B1CAB， 11= (11)2=14， SABC1， S11=14，S四边形11=114=34， 同
15、理可得，342=14142，343=142143，34=14114， 34+342+343+ +34=114+14142+142143+ +14114=114 故选：B 3 【解答】解正三角形的边长为 2， 高为 2sin60= 3， SABC=122 3 = 3， PD、PE、PF 分别为 BC、AC、AB 边上的高， SPBC=12BCPD，SPAC=12ACPE，SPAB=12ABPF， ABBCAC， SPBC+SPAC+SPAB=12BCPD+12ACPE+12ABPF=122（PD+PE+PF）PD+PE+PF， SABCSPBC+SPAC+SPAB， PD+PE+PF= 3，即
16、d= 3 过点 P 作 TQCB 交 AB 于 T，交 AC 于 Q，根点 P 作 MNAB 交 CB 于 M，交 AC 于 N，过点 P 作 GHAC 交 CB 于 G，交 AB 于 H 则四边形 BMPT，四边形 PQCG，四边形 PNAH 都是平行四边形，PTH，PMG，PQN 都是等边三角形， PDTH，PENQ，PFMG， DHDT，MFFG，ENEQ， SPTDSPDH，SPFMSPFG，SPENSPEQ，SPAHSPAN，SPCGSPCQ，SPMBSPTB， S阴 1 2 SABC 1 2 1223 = 3 =32 =323=12 故选：A 4 【解答】解：如图，连接 OC，设
17、BDx，CDBDy 则有 y= 22 (2 )2x， y+x= 4 2， 两边平方可得，2x2+（2y4）x+y20， 0， （2y4）28y20， 整理得，y2+4y40， 解得222 y2+22， y 的最大值为 22 2， 故选：D 5 【解答】解：过 C 作 CMAO 垂足为 M， M 根据题意可得：COAODO2，AOC 是等边三角形， MO=12AO1， 在 RCOM 中，CM= 22= 3， SAOC=12AOCM= 3， 又当 ODOC 时，SCOD可取最大值， SCODmix=12OCOD2， S四边形AODCSAOC+SCOD， SAOCS四边形AODCSAOC+SCOD，
18、 3 S四边形AODC 2 + 3 故选：A 6 【解答】解：设 BFx，DEy，则 CF1x，CE1y， 将ABF 绕点 A 逆时针旋转 90得ADG， BAFDAG，AFAG，ADGB90， E、D、G 三点共线， BAD90，EAF45， BAF+DAE45， DAG+DAE45， GAEEAF45， AEAE， AEFAEG（SAS） ， EFEGx+y， = =12 =12( + )， EFCE+CF， x+y1x+1y， x+y1， 当 E、C、F 三点共线时，x+y 的值最大为 1， 当 x+y1 时，FAE 面积的最大为12 故选：B 7 【解答】解：如图， ABC 是等边三角
19、形， BACB，ABCACB60， ABDBCE120， BDCE， ABDBCE（SAS） ， DE， DBMEBC， DMBBCE120， AMB60， 点 M 的运动轨迹是图中红线（在ABM 的外接圆J 上） ， 连接 CJ，延长 CJ 交J 于 N，当点 M 与 N 重合时，CM 的值最大， 在 RtJCB 中，BJBCtan30=433，JC2BJ=833， CN=433+833=43， CM 的最大值为 43， 故选：D 8 【解答】解：根据图形可知：a31234，a42045，a556，a121213， 13+14+15+ +112 =134+145+156+167+ +1121
20、3 =1314+1415+ +112113 =13113 =1039， 故选：D 9 【解答】解：当 ACCB 时， 作 AB 的垂直平分线，交 x 轴于 C1，交 y 轴于点 C2 当 ABAC 时， 以点 A 为圆心，AB 为半径作圆 A，交 y 轴于 C3，交 x 轴于 C4、C5， 当 ABBC 时， 以点 B 为圆心，AB 为半径作圆 B，交 y 轴于点 C6、C7 故选：D 二填空题（共二填空题（共 19 小题）小题） 10 【解答】解：如图，作 AC 的中垂线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 CD， 则 ADCD，AC2AE， BDC2BAC， 设 ADx，则 CDx，
21、在 RtADE 中，ADE90A， DExcos，AExsin， AC2xsin， 大正方形的边长为 2xsin， 在 RtABC 中，AB2xsinsin，BC2xsincos， 小正方形的边长为 ABBC2xsinsin2xsincos2xsin（sincos） ， 小正方形的面积恰好是大正方形面积的一半， 2(;)2(2)2=12， （sincos）2=12， 2sincos=12， 在 RtBCD 中，sinBDC=2sincos=12， BDC30， BAC=12BDC15， 90BAC75， 故答案为：75 11 【解答】解：分三种情况讨论： 当“等周线”经过点 C 时，直线 1
22、交 AB 于点 E， 设 BEx，则 AE5x， 作 CHAB 于 H， 由题意：3+x4+5x， 解得：x3， CH=125， BH= 2 2=95， EH395=65， 在 RtECH 中， CE= 2+ 2=655， “等周径”长为655； 当“等周径”经过点 A 时，直线 l 交 BC 于点 E，设 BEx，则 CE3x， 由题意得：4+3x5+x， 解得：x1， EC2， 在 RtACE 中， AE= 2+ 2=25， “等周径”长为 25； 当“等周径”经过点 B 时，直线 l 交 AC 于点 E， 设 AEx，则 CE4x， 由题意：3+4x5+x， 解得：x1， CE3， 在
23、RtBCE 中， BE= 2+ 2=32， “等周径”长为 32， 故答案为：655或 25或 32 12 【解答】解：在 BC 的延长线上取点 F，使得AFD60， ADE 是等边三角形， ADDEAE，ADE60， ADBAFD+DAFADE+EDB， DAFEDB， 在AFD 和DBE 中， = = 60 = = ， AFDDBE（AAS） ， FDBE4，AFBD， 设 CFx，则 CD4x，BD7（4x）3+x， ACB90， ACF90， CAF906030， AF2CF2x， 2xx+3， 解得：x3， CF3，AC33， CD1， AD= 2+ 2=(33)2+ 12=27，
24、故答案为：27 13 【解答】解：AEBD， DBCE37， BD 平分ABC， ABC2DBC74， ABAC， CABC74， BAC180ABCC32 故答案为：32 14 【解答】解：EAD30， AED+ADE150， EAEB，DADC， BBAE，CCAD， AED+ADEB+BAE+C+CAD， BAE+CAD75， BAC105 故答案为：105 15 【解答】解：ABAC，A38， BC=12（18038）71， EG 平分DEC， CEGDEG， EGAB， CEGA，GEDADE， AEDA38， FD 平分BDE， BDFFDE71， BFD180717138， 故答
25、案为：38 16 【解答】解：延长 AD 至点 G，使 DGAD，连接 BG，延长 BA 至 F， BD 垂直平分 AG， BABG8， BAGG BAGEAF，BAC 的外角平分线交 BC 延长线于点 E， EAFG，CAEEAF， GCAE， ACGB， ACEGBE， AEAC2， ACEE， GBEE， GBGE8， DG+ADGEAE， 2AD6， AD3 故答案为 3 17 【解答】解：如图，过 A，B 两点作J，当J 与 x 轴相切于 P 时，APB 最大 过点 J 作 JGAB 于 G，连接 JB，JA A（6，63） ，ACOC， OC6，AC63， tanAOC= 3， A
26、OC60， OB 平分AOC， AOBBOC=12AOC30， BCOCtan3023， ABACBC43， JGAB， AGGB23， JOCJGCGCP90， 四边形 JGCP 是矩形， JPCGJB43， JG= 2 2=(43)2 (23)2=6， PCJG6， OCCP， 点 P 与原点 O 重合，P（0，0） ， 根据对称性可知，当 P与 O 关于点 A 对称时，也满足条件，此时 P（12，0） ， 综上所述P（0，0）或（12，0） 18 【解答】解：将四边形 MTKN 的面积设为 x，将其余八个全等的三角形面积一个设为 y， 正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT
27、 的面积分别为 S1，S2，S3，S1+S2+S319， 得出 S18y+x，S24y+x，S3x， S1+S2+S33x+12y19，故 3x+12y19， x+4y=193， 所以 S2x+4y=193 故答案为：193 19 【解答】解：如图 1，作 ADBC 于点 D，则ADB90 由 AB212，BC29，得 AB23，BC3， =cosBcos30， BD23 32=3， BDBC， ABC 为直角三角形，且ACB90 如图 2，BM 交射线 AD 的于点 E， 分别过点 O、E、M 作直线 BC 的垂线，垂足分别为点 G、F、H， 则 MH2EF AEBACB90， 点 E、C
28、都在以 AB 为直径的圆上 由轴对称，得 SBMNSBMC， 当点 E 为弧 BC 中点，即点 F 与点 G 重合时，SBMC的面积最大 如图 3，点 E 为弧 BC 的中点， OE 垂直平分 BC， 此时点 H 与点 C 重合； OEAC， BOEBAC60， BOE 是等边三角形， EGOG， CM2EGOE=12AB= 3 SBMNSBMC123 3 =332， BMN 面积的最大值为332； 当点 E 接近于点 B 时，BMN 的面积接近于 0， 0SBMN332 故答案为：0SBMN332 20 【解答】解：AD3，AB4，BD5， BD2AD2+AB2， ABD 是直角三角形， D
29、AB90， ACBC，BC2，AB4， BAC30， CADDAB+BAC90+30120， 故答案为：120 21 【解答】解：以 A 为顶点，AC 为边，在ABC 外部作CAPABC，AP 与 BC 的延长线交于点 P， CAPABC，BPAAPC，AB2AC， APCBPA， =12， BP2AP，CP=12AP， BPCPBC4， 2AP12AP4，解得：AP=83， BP=163，CP=43，即点 P 为定点， 点 A 的轨迹为以点 P 为圆心，83为半径的圆上，如图，过点 P 作 BC 的垂线，交圆 P 与点 A1，此时点A1到 BC 的距离最大，即ABC 的面积最大， SABC=
30、12BCA1P=12483=163 故答案为：163 22 【解答】解：DE 是 BC 的垂直平分线， BECE， EBCECB， 设EBCECBx， AECEBC+ECB2x， CE 平分ACB， BCEACEx， FG 是ACE 的中位线， FGAC， EFGACEx， D 为 BC 的中点，F 为 CE 的中点， DFAB， EFDAEF2x， DFGGFE+EFDx+2x3x， 3x108， x36， AEDAEC+CED2x+90 x90+x90+36126， 故答案为：126 23 【解答】解：延长 BD 到 B，使 BDBD，连接 CB， 作CBA与CBA 关于 CB 对称，如图
31、， 设BCDBAC， CBA与CBA 关于 CB 对称， CBACBA BACBAC，ABAB5，ACAC， DBDB，CDB90， CDBCDB， CDCD， CDBCDB（SAS） ， BCDBCD， 2BAC+ACB90， 2+ACB90， ACB902， ACBACB902， CBA180ACBBAC90+， CBD+CBA90+90180， D、B、A三点共线， BCDBAC，CDBADC， CDBADC， =， 设 DBx，则 ADx+5， 52:5=52， 化简得，x2+5x500， 解得 x5 或10（舍去） ， 经检验，x5 是方程的解， BD5，AD10， 在 RtACD
32、中，AD2+CD2AC2， =102+ (52)2= 56， = = 56 故答案为：56 24 【解答】解：A90，ABAC，BC20， 2AC2BC2202， AC102， D，M 分别是 AB，BC 的中点， DM=12AC52； 如图作 EFBC 于 F，DNBC 于 N交 EM 于点 O，此时MNO90， DE 是ABC 中位线， DEBC，DE=12BC10， DNEF， 四边形 DEFN是平行四边形， EFN90， 四边形 DEFN是矩形， EFDN，DEFN10， ABAC，A90， BC45， BNDNEFFC5， =， 102=5;， DO=256； 当MON90时， DO
33、EEFM， =， MFBCBMFC203512， EM= 2+ 2=13， DO=5013， 故答案为：256或5013 25 【解答】解：如图，连接 AD，过点 F 作 FHBC 于 H过点 E 作 EKAD 于 K，EJDF 于 J设 ABBCx BABC，ABC90， BACACB45， BDC45， BACBDC， A，B，C，D 四点共圆， ADBACB45， ADEEDF， EKAD，EJDF， EKEJ， =1212=267=73， AFBC，FHBC， BAFABCFHB90， 四边形 ABHF 是矩形， BHAF2+67=207，ABFHx，CHx207， FCH+HFC90
34、，DAF+BAF+FCH180， DAFCFH， tanCFHtanDAF=37， =37， ;207=37， 解得 x5， BC5， 故答案为 5 26 【解答】解：当A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：180;802=50 特征值 k=8050=85 当A 为底角时，顶角的度数为：180808020 特征值 k=2080=14， 综上所述，特征值 k 为85或14， 故答案为：A、C 27 【解答】解：设C， ABCB，ACAD， BACC，ADCC， 又BAD24， CAD24， ACD 中，DAC+ADC+C180， 24+180， 68， C68， 故答案为：68 28 【解答】
35、解：EAD40， AED+ADE140， EAEB，DADC， BBAE，CCAD， AED+ADEB+BAE+C+CAD， BAE+CAD70， BAC110 故答案为：110 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 29 【解答】解： （1）如图 1，ACB90， ACD+BCD90， CDAB， ADCCDB90， ACD+A90， 又ACD+BCD90， ABCD， 同理，BACD， tanA=n， tanBCDn， = ，= ， 设 ADx，则 CDnx，BDn2x， =2=12； （2）如图 2，分别过 E，F 作 BC 的垂线，垂足分别为 N，Q， 过 C 作 CDAB 于
36、D， tanBAC= 3， A60， B90B30， 过 C 作 CDAB 于 D， ACD90A30， AC4， AD=12 = 2，AB2AC8， BDABAD6， = 2 2= 43， =12 = 23， 设 DEx，则 BE6x， FNBC，EQBC， CNFCQE90， FNEQ， CFNCEQ， =12， =13， 在直角EQB 中，B30，BE6x， EQ=12 = 3 12， = 2 2=33 32， CQBCBQ= 3 +32， =13 =116， =13 =33+36， BNBCCN=113336， DCB90B60， EFB60， DCBEFB， DCE+ECBECB+N
37、BF， DCENBF， CDEBNF90， CDEBNF， =， 23=1;161133;36， 解得 x12233， DEx6， DEx12233， BE6x= 233 6； （3）如图 3，过 G 作 GHBA 交其延长线于 H， GHACDA90， 在GHA 与CDA 中， = = = ， GHACDA（AAS） ， AHAD，GHCD， 由（1）可得，=n， 设 ADy，则 CDny， GHCDny， DH2AD2y， tanGDA=2=2， 故答案为2 30 【解答】解： （1）如图 1，连接 BE， AD 的 BC 的垂直平分线， ADBC，F 是 AD 的中点， CDFD，CDF
38、90， CDF 是等腰直角三角形， DECF， CEDE， CEDA45， BCAD， CBEDAE（SAS） ， BEAE， CEBDEA， CEBDEBDEADEB， CDEAEB90， ABE 是等腰直角三角形， =2； （2）如图 2，连接 BE， AD 的 BC 的垂直平分线， DECF， CEDDEFCDF90， CEDF， CDEDFE， =， D，F 分别是 BC，AD 的中点， =， =， CEDF， CEBDEA， CEBDEA， CEBDEBDEADEB， CEDAEB90， G 是 AB 的中点， =12 （3）要求 EG 的最小值，即为 EGAB 时 EG 的长， 在
39、点 F 的运动过程中，CEB 一直等于 90， 点 E 可看成在以 CD 为直径，O 为圆心的左半圆上， 过点 O 作 OGAB 叫O 于点 E， 此时 EG即为所求 EG 的最小值， AB6，BC4， AD 是 BC 的垂直平分线， CDBD2，CODOOE1， = 2 2= 42， =426=223， = = 3 223= 22， = = 22 1， EG 的最小值为22 1 31 【解答】 （1）证明：由ABC 是等边三角形， ABC60，ABBC， 点 E 是 AC 的中点， ABDCBD30，ACBE， ADB30，ABDADB， ABAD， AEBD， BEDE； （2）解：如图，
40、在 BD 上取点 F，G，连结 AF，CF，CG，使 BGAFDF， DAFADB30， AFE60， ACB60， AFEACB， AEFBEC， CAFCBG， 在FAC 和GBC 中 = = = ， FACGBC（SAS） ， CFCG，FCAGCB， FCGACB60， GCF 是等边三角形， FGC60AFG， AFCG， =23， 设 AF2a，则 BGDF2a， 由=23，得 CG3a， FG3a， EF=65，GE=95a， BE=195a，DE=165a， =1916； （3）由 CACB，以 C 为圆心，CA 为半径作C， ACB60，ADB30， 点 D 在C 上， DC
41、AC1， 取 AC 中点 O，连结 MO、DC， M、O 分别是 AD、AC 的中点， MO=12DC=12， 点 M 在以定点 O 为圆心，MO 为半径的， 当点 E 从点 A 运动到点 C 时，M 从点 A 运动到 M， 此时AOM120， =12012180=3 32 【解答】解： （1）如图 1 中，结论：BDA+BAE90 理由：作 AHBC 于 H ABC 是等边三角形，AHBC， BAHCAH30， EAED，AED120， EADADE30， BAEDAH， DAH+ADH90， BAE+ADB90 故答案为BAE+ADB90 （2）如图 2 中，结论：BDE 是等腰三角形 理
42、由：EADE，ABC60，AED120， ABD=12AED， 点 B 在以 E 为圆心 EA 为半径的圆上， EBED， BED 是等腰三角形 （3）如图 3 中，作 EKAD 于 K，AHBF 于 H设 AFa，DF2a，则 AKDK=32a，FK=12a 在 RtDEK 中，EKDKtan30=32a，DE2EK= 3a， 在 RtEFK 中，EF= 2+ 2=a， EFAFa， DE2+EF2DF2， DEF90， BEDE= 3a， BF= 3a+a2+23， a2， 在 RtAFH 中，FH=12AF1，AH= 3FH= 3， 在 RtABH 中，BH3+23，AH= 3， AB=
43、 2+ 2=(3 + 23)2+ (3)2=32 + 6 故答案为 32 + 6 33 【解答】 （1）解：如图 1 中，连接 AD，AG A90，ABAC，D 为 BC 中点， ADB90，DADB； DABABD45； BGDEGF45， A、B、D、G 四点共圆， AGBADB90， 即 AGBE； ABE+BAGBAG+EAG， EAGABE， BAGAEB， AE3EC3， EC1，AE3，ABAB4，BE= 32+ 42=5， ABGABE，AGBBAE， ABGEBA， =， BG=165 （2）证明：如图 2 中，连接 AD； A90，ABAC，D 为 BC 中点， ADB90
44、，DADB； DABABD45； BGDEGF45， A、B、D、G 四点共圆， AGBADB90， 即 AGBE； ABE+BAGBAG+EAG， EAGABE， （3）解：如图 2 中，连接 DE； AGE90，EGF45， AGFEGF45， AF：EFAG：EG； BAEAGE90，EAGABE， ABEGAE， AB：AEAG：GE2：1， AF2EF（设 EF 为 ） （角平分线的性质定理） ， 点 E 为 AC 的中点， ABAC6； 点 D、E 分别为 BC、AC 的中点， DEAB，DE=12AB3， DEF90； 由勾股定理得：DF2EF2+DE2102， DF= 10， EF：DF：101：10