1、专题专题 9 四边形四边形 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1 （2020雨花区校级一模）如图，在菱形 ABCD 中，ABC120，对角线 AC43，则菱形 ABCD 的周长为（ ） A123 B20 C83 D16 2 （2020开福区模拟）矩形 ABCD 中，AB5，AD2，点 P 是 CD 上的动点，当APB90时，DP 的长是（ ） A1 B3 C1 或 3 D1 或 4 3 （2020望城区模拟）如图，四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 为边 BC 上的点，以 DE 为边向外作矩形 DEFG，使 FG 过点 A，若 DG=165，那么 DE（ ） A5 B3
2、2 C325 D285 4 （2020雨花区校级二模）如图，菱形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AB 的中点，若 AC6，BD8，则 OE 长为（ ） A3 B5 C2.5 D4 5 （2020长沙模拟）如图，丝带重叠的部分一定是（ ） A正方形 B矩形 C菱形 D都有可能 6 （2020岳麓区校级模拟）如图，边长一定的正方形 ABCD，Q 为 CD 上一个动点，AQ 交 BD 于点 M，过M 作 MNAQ 交 BC 于点 N，作 NPBD 于点 P，连接 NQ，下列结论：AMMN；MP=12BD；BN+DQNQ；+为定值其中一定成立的是（ ） A B C D 二填
3、空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 7 （2021天心区模拟）如图，正方形 ABCD 的边长是 3，BPCQ，连接 AQ、DP 交于点 O，并分别与边CD、BC 交于点 F、E，连接 AE，下列结论：DFCE；OQ2OAOF；SAODS四边形OECF；当 BP1 时，则 =135，其中正确结论的是 （请将正确结论的序号填写在横线上） 8 （2021长沙模拟）如图，在正方形 ABCD 中，AB2G 为对角线 BD 的延长线上一点，E 为线段 CD 的中点，BFAE，连接 OF已知DAG15，下列说法正确的是 （将正确答案的序号填写下来） AGBD；BF= 3；=13；SPOF=13；若 E
4、点为线段 CD 上一动点，当 AEEC+CQ 时，AQ4 9 （2021天河区一模）如图，在矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，EF 过 O 点且 EFAC 分别交 DC 于 F，交AB 于 E，点 G 是 AE 中点且AOG30，则下列结论正确的是 （1）DC3OG； （2）OG=12BC； （3）OGE 是等边三角形； （4）SAOE=16矩形 10 （2021雨花区校级模拟）如图，正五边形 FGHIJ 的顶点在正五边形 ABCDE 的边上，若AFJ20，则CGH 11 （2021长沙模拟）若一个多边形的内角和与外角和之和是 1800，则此多边形是 边形 12 （2020岳麓区校级一模
5、）如图，边长一定的正方形 ABCD，Q 为 CD 上一个动点，AQ 交 BD 于点 M，过 M 作 MNAQ 交 BC 于点 N，作 NPBD 于点 P，连接 NQ，下列结论：AMMN；MP=12BD；BN+DQNQ；+为定值2一定成立的是 13 （2020长沙模拟） 如图， ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O， E 是 AB 中点， 且 AE+EO4， 则ABCD的周长为 三解答题（共三解答题（共 14 小题）小题） 14 （2021雨花区校级模拟）如图，在ABCD 中，点 E，F 分别为边 AB，CD 的中点，BD 是对角线 （1）求证：ADECBF； （2）若ADB90，AB
6、= 5，tanA2，判断四边形 BEDF 的形状，并求出四边形 BEDF 的面积 15 （2021岳麓区校级一模）如图，在平行四边形 ABCD 中，DEAB，BFCD，垂足分别为 E，F （1）求证：ADECBF； （2）如果 =45，ADBE5，连接 AF，求 AF 的长度 16 （2021雨花区校级二模）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 A 作 AEBC 于点E，延长 BC 到点 F，使 CFBE，连接 DF （1）求证：四边形 AEFD 是矩形； （2）若 AD10，EC4，求 AC 的长度 17 （2021长沙模拟）如图，已知四边形 ABCD 为正方形，
7、CDE 为等边三角形 （1）求证：AEBE； （2）若 AB10，求BCE 的面积 18 （2021开福区校级二模） （1）如图 1，正方形 ABCD 和正方形 DEFG（其中 ABDE） ，连接 CE，AG交于点 H，请直接写出线段 AG 与 CE 的数量关系 ，位置关系 ； （2）如图 2，矩形 ABCD 和矩形 DEFG，AD2DG，AB2DE，ADDE，连接 AG，CE 交于点 H， （1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段 AG，CE 的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）矩形 ABCD 和矩形 DEFC，AD2DG6，AB2DE8，直线 AG，CE 交
8、于点 H，当点 E 与点 H重合时，请直接写出线段 AE 的长 19 （2021长沙模拟） 如图， 将一个正方形纸片 AOBC 放置在平面直角坐标系中， 点 A （0， 6） ， B （6， 0） 动点 E 在边 AO 上，点 F 在边 BC 上，沿 EF 折叠该纸片，使点 O 的对应点 M 始终落在边 AC 上（点 M 不与 A，C 重合） ，点 B 落在点 N 处，MN 与 BC 交于点 P （1）求点 C 的坐标； （2）当点 M 落在 AC 的中点时，求点 E 的坐标； （3）当点 M 在边 AC 上移动时，设 AMt，求点 E 的坐标（用 t 表示） 20 （2021岳麓区模拟）设点
9、 P 在矩形 ABCD 内部，当点 P 到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P 为该边的“中轴点” 例如：若点 P 在矩形 ABCD 内部，且 PAPD，则称 P 为边 AD 的“中轴点” 已知点 P 是矩形 ABCD 边 AD 的“中轴点” ，且 AB10，BC8，如图 1 （1）求证：P 是矩形 ABCD 边 BC 的“中轴点” ； （2）如图 2，连接 PA，PB，若PAB 是直角三角形，求 PA 的值； （3）如图 3，连接 PA，PB，PD，求 tanPDCtanPBA 的最小值 21 （2021长沙模拟）已知，正六边形 ABCDEF，边长为 6，G 点以每秒为 1 的速度从 A
10、BCDE 上运动，不与 E 点重合，同时，点 H 以同样的速度从 BCDEF 上运动，不与 F 点重合，连接 GF、AH 交于点 I； （1）求E 的度数 （2）如图 1，IJ 是FIH 的角平分线，过 F 点作 IJ 的垂线，垂足为 J，当 FI 是AFJ 的角平分线时，求证 AIIJ （3）如图 2，过 B 点作 FG 的平行线，交直线 AH 于点 L，当 G 在运动的过程中，写出 FI、AL、AI 之间的数量关系，并给出证明 22 （2021开福区模拟）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理早在 2000 多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法在欧几里得编的原本中证明勾股
11、定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题： 如图，分别以 RtABC 的三边为边长，向外作正方形 ABDE、BCFG、ACHI （1）连接 BI、CE，求证：ABIAEC； （2）过点 B 作 AC 的垂线，交 AC 于点 M，交 IH 于点 N 试说明四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等； 请直接写出图中与正方形 BCFG 的面积相等的四边形 （3）由第（2）题可得： 正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积 的面积，即在 RtABC 中，AB2+BC2 23 （2021雨花区一模）如图，E 是ABCD 的边 CD 的中点，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F
12、（1）求证：ADEFCE （2）若BAF90，BC5，EF3，求 CD 的长 24 （2021长沙模拟）如图，点 E 在正方形 ABCD 内，AE6，BE8，AB10 （1）ABE 是直角三角形吗？为什么？ （2）请求出阴影部分的面积 S 25 （2021开福区校级二模）如图，已知矩形 ABCD，AD4，CD10，P 是 AB 上一动点，M、N、E 分别是 PD、PC、CD 的中点 （1）求证：四边形 PMEN 是平行四边形； （2）请直接写出当 AP 为何值时，四边形 PMEN 是菱形； （3）四边形 PMEN 有可能是矩形吗？若有可能，求出 AP 的长；若不可能，请说明理由 26 （202
13、0开福区校级二模）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 有对角线 AC、BD 相交于 O，有直角MPN，使直角顶点 P 与点 O 重合，直角边 PM、PN 分别与 OA、OB 重合，然后逆时针旋转，旋转角为 （090） ，PM、PN 分别交 AB、BC 于 E、F 两点，连接 EF 交 OB 于点 G （1）求四边形 OEBF 的面积； （2）若 OGOB1，求 EF 的长； （3）在旋转过程中，当BEF 与COF 的面积之和最大时，求 AE 的长 27 （2020开福区模拟）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABCADC，对角线 AC、BD 交于点 O，AOBO，DE 平分ADC 交
14、BC 于点 E，连接 OE （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）若 AB1，求OEC 的面积 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1 【解答】解：连接 BD 交 AC 于点 O，如图： 四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD，ACBD，OAOC=12AC23，ABDCBD=12ABC60， BAO30， OB=33OA2，AB2OB4， 菱形 ABCD 的周长4AB16； 故选：D 2 【解答】解：如图，以 AB 的中点 O 为圆心，以12AB 长为半径作圆，交 CD 于点 P，点 P 即为所求； 设 PCx，则 PD5x， 四边形
15、 ABCD 是矩形， DC90， DAP+APD90， APB90， APD+BPC90， DAPCPB， ADPPCB， =，即2=52， 解得：x1 或 4， 则 PD5x4 或 1， 即 PD1 或 4 故选：D 3 【解答】解：四边形 ABCD 为正方形， ADCD4，ADCC90， 四边形 DEFG 为矩形， EDGG90， ADG+ADE90，ADE+EDC90， ADGEDC， ADGCDE， =，即4=1654， DE5 故选：A 4 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，AC6，BD8， AOOC3，OBOD4，AOBO， 又点 E 是 AB 中点， OE 是DAB 的中位线
16、， 在 RtAOD 中，AB= 2+ 2=5， 则 OE=12AD=52 故选：C 5 【解答】解：过点 A 作 AEBC 于 E，AFCD 于 F，因为两条彩带宽度相同， 所以 ABCD，ADBC，AEAF 四边形 ABCD 是平行四边形 SABCDBCAECDAF又 AEAF BCCD， 四边形 ABCD 是菱形 故选：C 6 【解答】解：如图：作 AUNQ 于 U，连接 AN，AC， AMNABC90， A，B，N，M 四点共圆， NAMDBC45，ANMABD45， ANMNAM45， 由等角对等边知，AMMN，故正确 由同角的余角相等知，HAMPMN， RtAHMRtMPN MPAH
17、=12AC=12BD，故正确， BAN+QADNAQ45， 三角形 ADQ 绕点 A 顺时针旋转 90 度至 ABR， 使 AD 和 AB 重合， 在连接 AN， 证明三角形 AQNANR，得 NRNQ 则 BNNU，DQUQ， 点 U 在 NQ 上，有 BN+DQQU+UNNQ，故正确 如图，作 MSAB，垂足为 S，作 MWBC，垂足为 W，点 M 是对角线 BD 上的点， 四边形 SMWB 是正方形，有 MSMWBSBW， AMSNMW， ASNW， AB+BNSB+BW2BW， BW：BM1：2， +=22=2，故正确 故选：D 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 7 【解答】
18、解：四边形 ABCD 是正方形， ABBCCDAD，BADABC90， BPCQ， AB+BPBC+CQ，即 APBQ， 在DAP 和ABQ 中， = = = ， DAPABQ（SAS） ， PQ， 在CQF 和BPE 中， = = = ， CQFBPE（ASA） ， CFBE， CDCFBCBE，即 DFCE，故正确； 四边形 ABCD 是正方形， ADABBCCD，DABABC90， BPCQ， APBQ， 在DAP 和ABQ 中， = = = ， DAPABQ（SAS） ， PQ， Q+QAB90， P+QAB90， AOP90， DAO+ADOADO+FDO90， DAOFDO， DA
19、OFDO， =， OD2OAOF， OD 不一定等于 OQ，故不正确； 在ADF 和DCE 中， = = = ， ADFDCE（SAS） ， SADFSDOFSDCESDOF， 即 SAODS四边形OECF，故正确； BP1，AB3， AP4， PD5， 正方形 ABCD 中，BCAD， PBEPAD， =43， BE=34， QE=134， PQ，PADQOE90， PADQOE， =1345， OQ=135，故正确， 所以其中正确的结论是， 故答案为： 8 【解答】解：DAG15， GAODAG+DAO60， G30，AG2AO， BD2AO， AGBD， 正确，符合题意 E 为 CD 中
20、点， DE=12CD， DAE+BAF90，BAF+ABF90， BAFDAE， tanBAFtanDAE=12， BF2AF， 在 RtABF 中，由勾股定理得： AB= 2+ 2= 5AF2， AF=255，BF2AF=455， 错误，不符合题意 E 为 CD 中点，ECAB， EC 为ABQ 的中位线，C 为 BQ 中点， BQ2BC2AD， ADBQ， ADPQBP， =12， =12， DP=13BD，OPODDP=12BD13BD=16BD， =1612=13， 正确，符合题意 AB2，BQ2AB4， AQ= 2+ 2=25， =12， AP=13AQ=253， =255253=3
21、5， =135=25， 即 SPOF=25SAOP， =13， SAOP=13SAOD=1314S正方形ABCD=13， SPOF=25SAOP=215， 错误，不符合题意 设 EDx，EC2x， 则=， 即2=2， CQ=42， AEEC+CQ2x+42=42， 在 RtADE 中，由勾股定理得： AE= 2+ 2= 4 + 2， 42=4 + 2， 解得 x=233或 x= 233（舍） AE= 4 + 2=433， ADBQ， DAEBQA， sinDAEsinBQA=12， AQ2AB4， 正确，符合题意 故答案为： 9 【解答】解：EFAC，点 G 是 AE 中点， OGAGGE=1
22、2AE， AOG30， OAGAOG30， GOE90AOG903060， OGE 是等边三角形，故（3）正确； 设 AE2a，则 OEOGa， 由勾股定理得，AO= 2 2= (2)2 2= 3a， O 为 AC 中点， AC2AO23a， BC=12AC=1223a= 3a， 在 RtABC 中，由勾股定理得，AB=(23)2 (3)2=3a， 四边形 ABCD 是矩形， CDAB3a， DC3OG，故（1）正确； OGa，12BC=32a， OG12BC，故（2）错误； SAOE=12a3a=32a2，SABCD3a3a33a2， SAOE=16S矩形ABCD，故（4）正确； 综上所述，
23、结论正确的是（1） （3） （4） 故答案为： （1） （3） （4） 10 【解答】解：正五边形的内角均为：5405108， BFG180AFJGFJ1802010852， BGF180BBFG1801085220， CGH180BGFFGH1802010852， 故答案为：52 11 【解答】解：多边形的一个内角与它相邻外角的和为 180， 180018010 故答案为：十 12 【解答】解：如图：作 AUNQ 于 U，连接 AN，AC， AMNABC90， A，B，N，M 四点共圆， NAMDBC45，ANMABD45， ANMNAM45， 由等角对等边知，AMMN，故正确 由同角的余角
24、相等知，HAMPMN， RtAHMRtMPN MPAH=12AC=12BD，故正确， BAN+QADNAQ45， 三角形 ADQ 绕点 A 顺时针旋转 90 度至 ABR， 使 AD 和 AB 重合， 在连接 AN， 证明三角形 AQNANR，得 NRNQ， 则 BNNU，DQUQ， 点 U 在 NQ 上，有 BN+DQQU+UNNQ，故正确 如图，作 MSAB，垂足为 S，作 MWBC，垂足为 W，点 M 是对角线 BD 上的点， 四边形 SMWB 是正方形，有 MSMWBSBW， AMSNMW， ASNW， AB+BNSB+BW2BW， BW：BM1：2， +=22=2，故正确 故答案为：
25、 13 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC， AEEB， OE=12BC， AE+EO4， 2AE+2EO8， AB+BC8， 平行四边形 ABCD 的周长2816， 故答案为：16 三解答题（共三解答题（共 14 小题）小题） 14 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC，AC， 点 E、F 分别是 AB、CD 的中点， AE=12AB，CF=12CD， AECF， 在ADE 和CBF 中， = = = ， ADECBF（SAS） ； （2）解：四边形 BEDF 是菱形，理由如下： 由（1）得：ADECBF， DEBF， 点 E，F 分
26、别为边 AB，CD 的中点， BE=12AB，DF=12CD， BEDF， 四边形 BEDF 是平行四边形， 又ADB90， DE=12ABBE， 平行四边形 BEDF 是菱形， 在 RtABD 中，tanA=2， BD2AD， AB= 2+ 2= 2+ (2)2= 5AD= 5， AD1，BD2， S菱形BEDF2SBDESABD=12ADBD=12121 15 【解答】证明： （1）DEAB，BFCD， AEDCFB90， 四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC，AC， 在ADE 和CBF 中， = = = ， ADECBF（AAS） ； （2）sinA=45，ADBE5， DE4，
27、由勾股定理得：AE= 52 42= 3， AB3+58，BFDE4， AF= 82+ 42= 45 16 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是菱形， ADBC 且 ADBC， BECF， BCEF， ADEF， ADEF， 四边形 AEFD 是平行四边形， AEBC， AEF90， 四边形 AEFD 是矩形； （2）四边形 ABCD 是菱形，AD10， ADABBC10， EC4， BE1046， 在 RtABE 中，AE= 2 2= 102 62= 8， 在 RtAEC 中，AC= 2+ 2= 82+ 42= 45 17 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 为正方形， ADBC，A
28、DCBCD90， CDE 为等边三角形， EDEC，EDCECD60， ADEBCE 在ADE 和BCE 中， = = = ， ADEBCE（SAS） ， AEBE； （2）解：过 E 点作 EFAB，垂足为 F， AEBE， AFBF， AB10， BF5， BCAB10， SBCE=12BCBF =12105 25 18 【解答】 （1）如图 1，在正方形 ABCD 和正方形 DEFG 中，ADCEDG90， ADE+EDGADC+ADE， 即ADGCDE， DGDE，DADC， GDAEDC（SAS） ， AGCE，GADECD， CODAOH， AHOCDO90， AGCE， 故答案为
29、：AGCE，AGCE； （2）不成立，CE2AG，AGCE，理由如下： 如图 2，设 CE 与 AD 交于点 M， 由（1）知，EDCADG， AD2DG，AB2DE，ADDE， =12，=12， =12， GDAEDC， =12，ECDGAD， CE2AG， CMDAMH， AHMCDM90， AGCE； （3）当点 E 在线段 AG 上时，如图 3， AD2DG6，AB2DE8， DG3，ED4， 矩形 DEFC， EDG90， EG= 2+ 2= 32+ 42=5， 过点 D 作 DPAG 于点 P， DPGEDG90，DGPEGD， DGPEGD， =，即35=3=4， PG=95，P
30、D=125， AP= 2 2=62 (125)2=6215， AEAGGEAP+GPGE=6215+955=621165； 当点 G 在线段 AE 上时，如图 4， 过点 D 作 DPAG 于点 P， DPGEDG90，DGPEGD， 同理得：PD=125，AP=6215， 由勾股定理得：PE=42 (125)2=165， AEAP+PE=6215+165=621+165； 综上，AE 的长为621165或621+165 19 【解答】解： （1）四边形 AOBC 是正方形，点 A（0，6） ，B（6，0） ， OBOA6BCAC，ACOB，AOBC， 点 C（6，6） ； （2）点 M 是边
31、 AC 的中点， AM=12AC3， 由折叠可得 EMOE， 设 OEx，则 EMOEx，AE6x， 在 RtAEM 中，EM2AM2+AE2， 即 x232+（6x）2，解得 x=154 E（0，154） ； （3）设 OEm，则 EMOEm，AE6m， 在 RtAEM 中，EM2AM2+AE2， 即 m2t2+（6m）2，解得 x=36+212， E（0，36+212） 20 【解答】解： （1）连接 PB、PC，如图所示： 点 P 为该边的“中轴点” ， PAPD，PDAPAD， 又CDADAB90， CDPBAP， 在CDP 和BAP 中， = = = ， CDPBAP（SAS） ，
32、PCPB， P 是矩形 ABCD 边 BC 的“中轴点“； （2）解：连接 PD，过点 P 作 PEDA 于点 E，过点 P 作 PFAB 于点 F， 由（1）得 PDPA，故PDA 为等腰三角形， DEEA=12AD=12 =12 8 =4， 在四边形 PEAF 中，PEAEAFAFP90， 四边形 PEAF 为矩形， EAPF4， 又PAB 是直角三角形，PFAPFB90， PAF90PBA，FPB90PBF， 即PAFFPB， FAPFPB， =， PF2AFBF， 即 16AFBF， 设 AFx，则 BF10 x，可得方程： x（10 x）16， 解得：x12，x28， 当 AF2 时
33、，PA= 2+ 2= 22+ 42=25， 当 AF8 时，PA= 2+ 2= 82+ 42= 45， 综上，当PAB 是直角三角形时，PA 的值为 25或 45； （3）过点 P 作 PFAB 于点 F，如图所示： 由（1） （2）可知，PDCPAF，PF4， tanPDCtanPAF=，tanPBA=， tanPDCtanPBA=2， 设 AFx，则 BF10 x， tanPDCtanPBA=16(10)， 观察易知，当 x（10 x）取得最大值时，tanPDCtanPBA 取得最小值， 令 yx（10 x）x2+10 x（x5）2+25， 10， 当 x5 时，y 取得最大值 25， 1
34、6(10)存在最小值：1625， 故 tanPDCtanPBA 的最小值为1625 21 【解答】解： （1）由多边形内角和公式得：E=(62)1806=120， （2）如图 1，正六边形 ABCDEF， FABABC120，AFAB6， 点 G，H 均以每秒为 1 的速度同时分别沿着 ABCDE 和 BCDEF 上运动， AGBH， 在ABH 和FAG 中， = = = ， ABHFAG（SAS） ， BAHAFG， AIGFAI+AFIFAI+BAH120， FIHAIG120，AIF60， IJ 是FIH 的角平分线， JIF=12FIH60， AIFJIF， FI 是AFJ 的角平分线
35、， AFIJFI， 在AIF 和JIF 中， = = = ， AIFJIF（ASA） ， AIIJ； （3）当点 G 在 ABC 上运动时， 始终有AFGBAH， AFG+FAIBAH+FAI120， FIA60，AIG120， BLFG， ALBAIG120， 如图 2，在 IF 上截取 IM，使 MIAI， FIA60， AMI 是等边三角形， IMIAAM，AMI60， AMF120ALB， 在AFM 和BAL 中， = = = ， AFMBAL（AAS） ， FMAL， FIFM+MIAL+AI； 当点 G 在 CDE 上运动时，同样AFGBAH， AFG+FAIBAH+FAI120，
36、 如图 3，在射线 IF 上截取 IM，使 MIAI， 故AMI 是等边三角形， 在AFM 和BAL 中， ALBAMF60， AFMBAL，AFAB， AFMBAL（AAS） ， FMAL FIMIFMAIAL， 综上所述，FIAL+AI 或 FIAIAL 22 【解答】 （1）证明：四边形 ABDE、四边形 ACHI 是正方形， ABAE，ACAI，BAECAI90， EACBAI， 在ABI 和AEC 中， = = = ， ABIAEC（SAS） ； （2）证明：BMAC，AIAC， BMAI， 四边形 AMNI 的面积2ABI 的面积， 同理：正方形 ABDE 的面积2AEC 的面积，
37、 又ABIAEC， 四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等 解：四边形 CMNH 与正方形 BCFG 的面积相等，理由如下： 连接 BH，过 H 作 HPBC 于 P，如图所示： 易证CPHABC（AAS） ，四边形 CMNH 是矩形， PHBC， BCH 的面积=12CHNH=12BCPH， CHNHBC2， 四边形 CMNH 与正方形 BCFG 的面积相等； （3）解：由（2）得：正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积正方形 ACHI 的面积； 即在 RtABC 中，AB2+BC2AC2； 故答案为：正方形 ACHI，AC2 23 【解答】 （1）证明：四边形 ABC
38、D 是平行四边形， ADBC，ABCD， DAEF，DECF， E 是ABCD 的边 CD 的中点， DECE， 在ADE 和FCE 中， = = = ， ADEFCE（AAS） ； （2）ADEFCE， AEEF3， ABCD， AEDBAF90， 在ADE 中，ADBC5， DE= 2 2= 52 32=4， CD2DE8 24 【解答】解： （1）在ABE 中， 62+82102， AE2+BE2AB2， ABE 是直角三角形，AEB90； （2）阴影部分的面积 SS正方形ABCDSABE 1021268 76 25 【解答】解： （1）M、N、E 分别是 PD、PC、CD 的中点， M
39、E，NE 是PDC 的中位线， MEPC，ENPD， 四边形 PMEN 是平行四边形； （2）当 AP5 时， 在 RtPAD 和 RtPBC 中， = = = ， PADPBC， PDPC， M、N、E 分别是 PD、PC、CD 的中点， NEPM=12PD，MEPN=12PC， PMMEENPN， 四边形 PMEN 是菱形； （3）四边形 PMEN 可能是矩形 若四边形 PMEN 是矩形，则DPC90 设 PAx，PB10 x， DP= 16 + 2，CP= 16 + (10 )2 DP2+CP2DC2 16+x2+16+（10 x）2102 x210 x+160 x2 或 x8 故当 A
40、P2 或 AP8 时，四边形 PMEN 是矩形 26 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形， OBOC，OBEOCF45，BOC90， BOF+COF90， EOF90， BOF+COE90， BOECOF， 在BOE 和COF 中， = = = ， BOECOF（ASA） ， S四边形OEBFSBOE+SBOESBOE+SCOFSBOC=14S正方形ABCD=1411=14 （2）证明：EOGBOE，OEGOBE45， OEGOBE， OE：OBOG：OE， OGOBOE21， OE0， OE1， OEOF，EOF90， EF= 2OA= 2 （3）如图，过点 O 作 OHBC，
41、BC1， OH=12BC=12， 设 AEx，则 BECF1x，BFx， SBEF+SCOF=12BEBF+12CFOH=12x（1x）+12（1x）12= 12（x14）2+932， a= 120， 当 x=14时，SBEF+SCOF最大； 即在旋转过程中，当BEF 与COF 的面积之和最大时，AE=14 27 【解答】 （1）证明：ADBC， ABC+BAD180，ADC+BCD180， ABCADC， BADBCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC=12AC，OBOD=12BD， OAOB， ACBD， 四边形 ABCD 是矩形 （2）解：作 OFBC 于 F，如图所示 四边形 ABCD 是矩形， CDAB1，BCD90，AOCO，BODO，ACBD， AOBOCODO， BFFC， OF=12CD=12， DE 平分ADC，ADC90， EDC45， 在 RtEDC 中，ECCD1， OEC 的面积=12ECOF=14