1、专题专题 6 反比例函数反比例函数 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1 （2021开福区校级一模）如图，点 A 在双曲线 y=2上，点 B 在双曲线 y=（k0）上，ABx 轴，过点 A 作 ADx 轴于 D连接 OB，与 AD 相交于点 C，若 2AC3CD则 k 的值为（ ） A5 B6 C52 D152 2 （2021开福区校级二模）点 A 在函数 y=4（x0）的图象上，且 OA4，过点 A 作 ABx 轴于点 B，则ABO 的周长为（ ） A23 B23 + 4 C26 D26 + 4 3 （2021开福区模拟）与点（2，3）在同一反比例函数图象上的点是（ ） A （1.
2、5，4） B （1，6） C （6，1） D （2，3） 4 （2021长沙模拟）双曲线 =10与 =6在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于 y 轴的直线分别交双曲线于 A、B 两点，连接 OA、OB，则AOB 的面积为（ ） A1 B2 C3 D4 5 （2020开福区校级三模）下列函数，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大的是（ ） Ay2x B =2 Cy2（x+1）2 Dyx2+1 6 （2020岳麓区校级二模） 如图， 若抛物线 y= 12x2+3 与 x 轴围成封闭区域 （边界除外） 内整点 （点的横、纵坐标都是整数）的个数为 k，则反比例函数 y=（x0）的图象是（ ） A
3、 B C D 7 （2020岳麓区校级模拟）如图，点 A（a，1） ，B（b，3）都在双曲线 y= 3上，点 P，Q 分别是 x 轴，y轴上的动点，则四边形 ABPQ 周长的最小值为（ ） A42 B62 C210 +22 D82 8（2020开福区模拟） 如图， 点 A、 B 为直线 yx 上的两点， 过 A、 B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线 =1（x0）于点 C、D 两点若 BD2AC，则 4OC2OD2的值为（ ） A5 B6 C7 D8 二填空题（共二填空题（共 15 小题）小题） 9 （2021天心区模拟）学校生物兴趣小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全
4、，他们沿着前进路线铺了若干木板，构筑成一条临时近道，木板对地面的压强 P（Pa）是木板面积 S（m2）的反比例函数，其图象如图所示，则当木板面积为 0.5m2时，木板对地面的压强为 Pa 10 （2021长沙模拟）如图，A 为反比例函数 y=（其中 x0）图象上的一点，在 x 轴正半轴上有一点 B，OB4连接 OA，AB，且 OAAB= 210，过点 B 作 BCOB，交反比例函数 y=（其中 x0）的图象于点 C，连接 OC 交 AB 于点 D，则 k ；= 11 （2021雨花区一模）如图，直线 =56 5与 x 轴交于点 B，与双曲线 =（x0）交于点 A，过点 B作 x 轴的垂线，与双
5、曲线 =（x0）交于点 C，且 ABAC，则 k 的值为 12 （2021长沙模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（1，3） ，B（2，1） ，当双曲线 y=经过点 A 时，k 的值为 ；当双曲线 y=与线段 AB 有公共点，则 k 的取值范围是 13 （2021长沙模拟）如图，已知OAB 是边长为 3 的等边三角形，反比例函数 y=（k0）与 OB、AB相交于点 C、D，当BDC 为直角三角形时，则 k 的值是 14 （2021望城区模拟）如图，反比例函数 y= 12的图象与直线 y=12x+b（b0）交于 A，B 两点（点 A在点 B 右侧） ，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为点
6、 C，连接 AO，BO，图中阴影部分的面积为 12，则 b 的值为 15 （2021天心区二模）如图，一次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y=2的图象相交于 A（2，3） ，B（6，1）两点，当 k1x+b2时，x 的取值范围为 16（2021长沙模拟） 如图， 在平面直角坐标系中， 已知直线 ykx （k0） 分别交反比例函数 y=4和 y=9在第一象限的图象于点 A，B，过点 B 作 BDx 轴于点 D，交 y=4的图象于点 C，连接 AC若ABC 是等腰三角形，则 k 的值是 17 （2020开福区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 =(0)的图象与边长是 3 的正方
7、形 OABC 的两边 AB、BC 分别相交于 M、N 两点，且MON30若动点 P 让 OA 边上，PM+PN的最小值为 18 （2020宁乡市一模）如图，点 M 为双曲线 y=1上一点，过点 M 作 x 轴、y 轴的垂线，分别交直线 yx+2m 于 D、C 两点，若直线 yx+2m 交 y 轴于 A，交 x 轴于 B，则 ADBC 的值为 19 （2020岳麓区校级二模）如图，直线 ykx 与双曲线 y=3交于 A、B 两点，BCy 轴于点 C，则ABC的面积为 20 （2020望城区模拟）在滑草过程中，小明发现滑道两边形如两条双曲线，如图，点 A1，A2，A3在反比例函数 y=1（x0）的
8、图象上，点 B1，B2，B3反比例函数 y=（k1，x0）的图象上，A1B1A2B2y 轴，已知点 A1，A2的横坐标分别为 1，2，令四边形 A1B1B2A2、A2B2B3A3、的面积分别为 S1、S2、 （1）用含 k 的代数式表示 S1 （2）若 S1939，则 k 21 （2020雨花区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点 P 是反比例函数 y=（k0）图象上的一点， 过点 P 作 PAx 轴于点 A， 点 B 为 AO 的中点若PAB 的面积为 3， 则 k 的值为 22 （2020长沙模拟）如图，点 A，B 分别在反比例函数 y=2（x0）与 y=4（x0）的图象上，
9、且OAB 是等边三角形，则点 A 的坐标为 23 （2020长沙模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，OAB 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，OC 是OAB的中线，点 B，C 在反比例函数 y=2（x0）的图象上，则OAB 的面积等于 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 24 （2021开福区校级二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线称为这两个点的“幸福直线” （1）若点 A（0，2） ，幸福直线：yx，求点 A 关于这条幸福直线的对称点 B 的坐标，并求出直线 AB的解析式； （2）若点 C（1，m）在反比例函数 =4（x0）图象上，若点 C 关于过原点的幸福直线 l 的
10、对称点 D也在此反比例函数图象上，请求出此时CDO 的面积； （3）平面直角坐标系中，点 E 的坐标是（0，2） ，在 x 轴上任取一点 F，过点 F 作 x 轴的垂线 l1，点 E和点 F 的幸福直线为 l2，直线 l1，l2的交点为 P，当 F 点在 x 轴上运动时，此时点 P 在一函数图象上运动； 求点 P 所在函数图象的解析式； 若直线 EP 交点 P 所在的函数图象于点 Q，求证：POEQOE 25 （2021岳麓区校级二模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的乘积等于这个点到这边所对顶点连线段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点” ，如图 1，在ABC 中
11、，点D 是 BC 边上的一点，连接 AD，若 AD2BDCD，则称点 D 是ABC 中边 BC 的“好点” （1） 如图1， 在ABC中， BC4， 若点D是边BC的 “好点” ， 且BD1， 则线段AD的长是 ； （2）若一次函数 yx+b 与反比例函数 y=1交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，若点 C 是ABO 中边 AB的“好点” ，求 b 的值； （3）如图 2，ABC 的外接圆是圆 O，点 H 在 AB 边上，连接 CH 并延长，交O 于点 D，若点 H 是BCD 中边 CD 的“好点” ，OHBD，O 的半径为 r，且 r3OH，求的值 26 （2021长沙模拟）对于平面直
12、角坐标系上的点 S 与图形 ，给出如下定义：若图形 上有一点 T，使得 ST4，且以 T 为旋转中心，把点 S 顺时针旋转 90后的对应点 S也在图形 上，则称点 S 为图形 的“初心点” ； 例如：如图 1，给出点 S（1，4）与 x 轴，过点 S 作 STx 轴于点 T，则可得点 T 的坐标为（1，0） ，此时 ST4，且使点 S 绕点 T 顺时针旋转 90后得到的对应点 S（3，0）也在 x 轴上，因此点 S 为 x轴的“初心点” （1）如图 2，已知点 A（4，0） ，B（5，0） ，C（1，4） ，D（0，4） ，E（5，4） ，F（4，4） ，G（1，4） ，H（5，4） 点 C，
13、D，E，F，G，H 中，为线段 AB 的“初心点”的是 ； 已知反比例函数 =，若该反比例函数图象上只有 1 个点为线段 AB 的“初心点” ，求 a 的取值范围； （2）如图 3，已知点 N（n，0）为 x 轴上的一个动点，以 N 为圆心的N 半径长为22，以 P（3，0） ，Q（0，4）为端点的线段 PQ 上同时存在 2 个点为N 的“初心点” ，求 n 的取值范围 27 （2021岳麓区校级模拟） 如图， 一次函数 y1k1x+b 与反比例函数 y2=2交于点 A （3， 1） 、 B （1， n） ，y1交 y 轴于点 C，交 x 轴于点 D （1）求反比例函数及一次函数的解析式； （
14、2）求OBD 的面积 28 （2021雨花区模拟）如图，一次函数 ykx+b（k0）的图象与反比例函数 y=（m0，x0）的图象在第一象限交于点 A（n，2） ，与 x 轴交于点 C（1，0） ，与 y 轴交于点 D，过点 A 作 ABx 轴于点 B，ABC 的面积是 3，连接 BD （1）求一次函数和反比例函数的函数表达式； （2）求BCD 的面积 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1 【解答】解：设点 A 的坐标为（a，2） ，则点 B 的坐标为（2，2） ， ABx 轴， BACODC，ACBDCO， =， 2AC3CD =32， ODa，
15、 AB1.5a， 点 B 的横坐标是 2.5a， 2.5a=2， 解得，k5， 故选：A 2 【解答】解：点 A 在函数 y=4（x0）的图象上， 设点 A 的坐标为（n，4） （n0） 在 RtABO 中，ABO90，OA4， OA2AB2+OB2， 又ABOB=4n4， （AB+OB）2AB2+OB2+2ABOB42+2424， AB+OB26，或 AB+OB26（舍去） ABO 的周长AB+OB+OA26 +4 故选：D 3 【解答】解：设反比例数为 y=， 反比例数为 y=的图象过点（2，3） ， kxy2（3）6， 四个答案中只有 A 的横纵坐标的积等于6， 故选：A 4 【解答】解
16、：设直线 AB 与 x 轴交于点 C ABy 轴， ACx 轴，BCx 轴 点 A 在双曲线 y=10的图象上， AOC 的面积=12105 点 B 在双曲线 y=6的图象上， COB 的面积=1263 AOB 的面积AOC 的面积COB 的面积532 故选：B 5 【解答】解：A、y2x，y 随 x 增大而减小，不符合题意； B、y=2，当 x0 时，y 随 x 增大而减小，不符合题意； C、y2（x+1）2，当 x1 时，y 随 x 增大而增大，所以当 x0 时，y 随 x 增大而增大，符合题意； D、yx2+1，当 x0 时，y 随 x 增大而减小，不符合题意 故选：C 6 【解答】解：
17、抛物线 y= 12x2+3，当 y0 时，x6； 当 x0 时，y3， 则抛物线 y= 12x2+3 与 x 轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（1，1） ，（0，1） ， （0，2） ， （1，1） ， （1，2）和（1，2） ；共有 6 个， 反比例函数的解析式为：y=6， 故 A 选项符合题意； 故选：A 7 【解答】解：点 A（a，1） ，B（b，3）都在双曲线 y= 3上， a13b3， a3，b1， A（3，1） ，B（1，3） ， 作 A 点关于 x 轴的对称点 D（3，1） ，B 点关于 y 轴的对称点 C（1，3） ，连接 CD，分别交 x 轴、y轴
18、于 P 点、Q 点，此时四边形 ABPQ 的周长最小， QBQC，PAPD， 四边形 ABPQ 周长AB+BQ+PQ+PAAB+CD， AB= (3 + 1)2+ (1 3)2=22，CD= (1 + 3)2+ (3 + 1)2=42， 四边形 ABPQ 周长最小值为 22 +42 =62， 故选：B 8 【解答】解：延长 AC 交 x 轴于 E，延长 BD 交 x 轴于 F 设 A、B 的横坐标分别是 a，b， 点 A、B 为直线 yx 上的两点， A 的坐标是（a，a） ，B 的坐标是（b，b） 则 AEOEa，BFOFb C、D 两点在交双曲线 =1（x0）上，则 CE=1，DF=1 B
19、DBFDFb1，ACa1 又BD2AC b1=2（a1） ， 两边平方得：b2+1224（a2+122） ，即 b2+12=4（a2+12）6 在直角OCE 中，OC2OE2+CE2a2+12，同理 OD2b2+12， 4OC20D24（a2+12）（b2+12）6 故选：B 二填空题（共二填空题（共 15 小题）小题） 9 【解答】解：设 P=，根据题已知可得图象经过（2，400） ， 则 kPS2400800， 故 P=800， 当 S0.5m2时，木板对地面的压强为：P=8000.5=1600（Pa） 故答案为：1600 10 【解答】解：过点 A 作 AHx 轴，垂足为点 H，AH 交
20、 OC 于点 M，如图所示 OAAB，AHOB， OHBH=12OB2， AH= 2 2=6， 点 A 的坐标为（2，6） A 为反比例函数 y=（其中 x0）图象上的一点， k2612 BCx 轴，OB4，点 C 在反比例函数 y=12上， BC=3 AHBC，OHBH， MH=12BC=32， AMAHMH=92 AMBC， ADMBDC， =32， 故答案为 12，32 11 【解答】解：由于 ABAC，BC 垂直于 x 轴，则点 A 在 BC 的垂直平分线上， 由直线 =56 5，可得 B（6，0） ， A、C 均在双曲线 =（x0）上， 则 C（6，6） ，A（12，12） ， 将
21、A 点代入直线 =56 5得：k60， 故答案为 60 故答案为：60 12 【解答】解：A（1，3） ，B（2，1） ， 直线 AB 为 y2x+5， 令2x+5=，整理得 2x25x+k0， 当双曲线 y=与线段 AB 相切时，258k0， k=258， 当双曲线 y=经过点 A（1，3）时，k133， 当双曲线 y=经过点 B（2，1）时，k212 若双曲线 y=与线段 AB 有公共点，则 k 的取值范围是 2k258 故答案为 3，2k258 13 【解答】解：过点 A 作 AMOB 交 OB 于点 M，如图， OAB 是边长为 3 的等边三角形， A，B，M 点坐标分别为（3，0）
22、， （32，332） ， （34，334） ， 当BDC 为直角三角形时， DCB90， BCDBMA90，BB， BCDBMA， =， 设=n（0n1） ， C 点坐标为（3234，332334） ，D 点坐标为（32+32，332332） ， 点 C、D 在反比例函数 y=（k0） ， = (3234)(332334) = (32+32)(332332)0， 解得 =45 =811003， 故答案为：811003 14 【解答】解：过 B 作 BDOE 于 D，过 A 作 AHy 轴于 H，设 AC 交 OB 于 G，如图： 设 M 为 AB 的中点，A（x1，y1） ，B（x2，y2）
23、， 由 = 12 =12 + 得 x2+2bx+240， x1+x22b， y1+y2（12x1+b）+（12x2+b）=12（x1+x2）+2bb， M（b，2） ， 而直线 y=12x+b（b0）交于坐标轴于 E、F， E（2b，0） ，F（0，b） ， EF 的中点为（b，2） ，即 EF 的中点也为 M， EMFM，BMAM， EBFA， 又FAHBED，AHFEDB， EDBAHF（AAS） ， AHEDOC， （SAGO+SGCO）+（SGCO+S四边形GCDB）=12|k|+12|k|12， 且图中阴影部分的面积为 12， SBDE2SGCO 12EDBD212OCGC， BD2
24、GC， OD2OC，即 x22x1 设 x1m，则 x22m， A（m，12） ，B（2m，6） ， 将 A（m，12） ，B（2m，6）代入 y=12x+b 得： 12=12 + 6= + ，解得 m23（舍去）或 m23， b= 122312（23）33 故答案为：33 15 【解答】解：由图象可知，当 k1x+b2时，x 的取值范围为 0 x2 或 x6 故答案为 0 x2 或 x6 16 【解答】解：联立 ykx、y=4并解得：点 A（2，2） ，同理点 B（3，3） ， 点 C（3，43） ，ABAC， 当 ABBC 时， （32）2+（3 2）2（3 43）2，解得：k34（舍去负
25、值） ； 当 ACBC 时，同理可得： （32）2+（3 2）2（3 43）2，解得：k= 217（舍去负值） ； 故答案为：34或217 17 【解答】解：正方形 OABC 的边长是 3， 点 M 的横坐标和点 N 的纵坐标为 3， M（3，3） ，N（3，3） ， 由正方形和反比例函数的对称性可知，AOMCON， MON30， AOMCON30， 333=3， k33， M（3，3） ，N（3，3） ， AMCN= 3， 作 M 关于 x 轴的对称点 M，连接 NM交 x 轴于 P，则 NM的长PM+PN 的最小值， AMAM= 3， ， BM3+3，BN33， NM= 2+ 2=(3 +
26、 3)2+ (3 3)2=26， 故答案为 26 18 【解答】解：如图，过点 M 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 G、H，作 DEy 轴于 E，CFx 轴于 F， 当 x0 时，yx+2m2m，则 A（0，2m） ， 当 y0 时，x+2m0，解得 xm，则 B（2m，0） ， OAOB， OAB 为等腰直角三角形， 易得AED 和BCF 都为等腰直角三角形， AD= 2DE，BC= 2CF， ADBC2DECF， 设 M（x，y） ， DEMHx，CFMGy， ADBC2xy212 故答案为 2 19 【解答】解：直线 ykx 与双曲线 y=3交于 A，B 两点， 点 A 与点 B
27、关于原点对称， SBOCSAOC， 而 SBOC=1231.5， SABC2SBOC3 故答案为：3 20 【解答】解： （1）A1B1A2B2y 轴， A1和 B1的横坐标相等，A2和 B2的横坐标相等，An和 Bn的横坐标相等， 点 A1，A2的横坐标分别为 1，2， 点 B1，B2的横坐标分别为 1，2， 点 A1，A2，A3在反比例函数 y=1（x0）的图象上，点 B1，B2，B3反比例函数 y=（k1，x0）的图象上， A1B1k1，A2B2=212， S1=121（212+k1）=12（32k32）=34( 1)， 故答案为：34( 1)； （2）由（1）同理得：A3B3=313=
28、13( 1)，A4B4=14( 1)， S2=12 1 13( 1) +12（k1）=1256（k1） ，S3=12 1 14( 1) +13( 1)=12712( 1)， Sn=12+1(+1) ( 1)， S1939， 1219:201920（k1）39， 解得：k761， 故答案为：761 21 【解答】解：连接 OP 点 B 为 AO 的中点，PAB 的面积为 3SOAP2SPAB236， 又=12|， 12| = 6， |k|12， k0， k12， 故答案为12 22 【解答】解：延长 AB 到 C，使得 BCAB，连接 OC，作 AMx 轴于 M，CNx 轴于 N设 A（m，2）
29、 OAB 是等边三角形， OBBABC， AOC90， OAC60， ACO30， OC= 3OA， AMOAOCCNO90， AOM+MAO90，AOM+CON90， OAMCON， AMOONC， =13， OMm，AM= 2， ON= 23，CN= 3m， C（23，3m） ， B（;232，2:32） ， 点 B 在 y= 4上， ;2322:32= 4， 整理得：m4+43m240， 解得 m13（不合题意的根已经舍弃） ， A（13，31） 故答案为（13，3 1） 23 【解答】解：如图，过点 B、点 C 作 x 轴的垂线，垂足为 D，E，则 BDCE， =， OC 是OAB 的
30、中线， =12， 设 CEx，则 BD2x， C 的横坐标为2，B 的横坐标为1， OD=1，OE=2， DEOEOD=1， AEDE=1， OAOE+AE=3， SOAB=12OABD=1232x3 故答案为 3 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 24 【解答】解： （1）如图 1， yx 是一三象限的夹角平分线， AOC45， BOCAOC45， B 点落在 x 轴上， OBOA2， B（2，0） ， 设 AB 的解析式是 ykx+b， = 22 + = 0， = 2 = 1， yx+2； （2）如图 2， 作 CEy 轴于 E，作 DFx 轴于 F，作 CGOF 于 G， m=
31、41=4， C（1，4） ， y=4对称是 yx， COMDOM， EOMFOM45， COEDOF， 又 OCOC， CEODFO90， COEDOF（AAS） ， OFOE4，DFCE1， D（4，1） ， SCODSCOG+S梯形CGFDSDOF S梯形CGFD =12( + ) =12 (1 + 4) 3 =152； （3）由题意得， l2是 EF 的垂直平分线， PEPF， 设 P（x，y） ， y2x2+（y2）2， y=14x2+1； 如图 3， 作 PAx 轴于 A，作 QBx 轴于 B，作 QDy 轴于 D， 设 P（x，142+1） ， PE2x2+（14x21）2 （14
32、2+1）2， PA2（142+1）2， PEPA， 同理：QEQB， =， =， PCDQ， PECQED， =， =， tanPOEtanQOE， POEQOE 25 【解答】解： （1）BC4，BD1， CDBCBD3， 由题可知：AD2BDCD3， AD= 3， 故答案为3 （2）联立 = + =1， 得：x2+bx10， 设 A（x1，x1+b） ，B（x2，x2+b） ， 令 x0，则 yx+bb， C（0，b） ， AC= 12+ 12= 2|x1|， BC= 22+ 22= 2|2|， ACBC2|x1x2|2， 由题可知：OC2ACBC2， OC0， OC= 2， b2， （3
33、）连接 AD， CAHHDB，AHCBHD， ACHDBH， =， AHBHCHDH， 点 H 是BCD 中 CD 边上的“好点” ， BH2CHDH， AHBHBH2， AHBH， OHAB， 又OHBD， ABBD， AD 是O 的直径， r3OH， 设 OHm， 则 OA3m，BD2m， 在 RtAOH 中， AH= 2+ 2=22m， BH22m， 在 RtBHD 中， HD= 2+ 2=23m， 点 H 是BCD 中 CD 边上的“好点” ， CH=2=433m， =43323=23 26 【解答】解： （1）C，D，F，H， 故答案为：C，D，F，H； 由可知，AB 的所有“初心点
34、”都在线段 DH 和线段 CF 上， 该反比例函数 =图象上只有 1 个点为线段 AB 的“初心点” ， 该反比例函数图象”与线段 DH 和线段 CF 只有一个公共点， 分两种情况： （）当 a0 时，如图 1 所示， 由可知在第一象限内，反比例函数 =的图象上不存在线段 AB 的“初心点” ， 在第三象限内，当反比例函数 =的图象过点 C（1，4） ， 此时的 a 是使得反比例函数图象上存在线段 AB 的“初心点”的最大值， 把点 C（1，4）代入 =得 a4， 该反比例函数 =图象上只有 1 个点为线段 AB 的“初心点” ， a 的取值范围是 0a4； （）当 a0 时，如图 2 所示，
35、 在第二象限内，当反比例函数 =图象过点 H（5，4） ， 此时 a20，且此时的 a 是使得反比例函数图象上存在线段 AB 的“初心点“的最小值； 在第四象限内，当反比例函数 =图象过点 H（4，4） ， 此时 a16，且此时的 a 是使得反比例函数图象上存在线段 AB 的“初心点“的最大值， 反比例函数 =图象上只有一个点为线段 AB 的”初心点“， a 的取值范围是：20a16； 综上，a 的取值范围是 0a4 或20a16； （2）对N 的所有”初心点“的可能位置进行考虑： N 内不存在N 的”初心点“； 对于N 上任意一点 S，如图 3，由N 半径为 22可知， 以弦 ST4 为直角
36、边， 直径 SS为斜边的STS一定是等腰直角三角形， 因此N 上任意一点都可以是N 的”初心点“； 对于N 外一点 S，若它是N 的”初心点“， 则在N 上存在点 T 与点 S，使得 STST4，且STS90，如图 4， 过点 N 作 NMST 的延长线于点 M， 则 MNMT=22NT2， SN= 2+ 2= 22+ (2 + 4)2= 210， 即点 S 在以点 N 为圆心，210为半径的圆上， 综上，N 的所有“初心点” ，在以点 N 为圆心，分别以 22和 210为半径的两个同心圆上， 因此，线段 PQ 上同时存在 2 个点为N 的”初心点“，就是线段 PQ 与两个同心圆有两个公共点，
37、 从几个临界位置讨论， 当大N 与 PQ 相切时，如图 5，切点为 S， 易证NSPQOP， =， PN=21054=5210， 此时 n35210； 当大N 右边经过点 Q 时， 在 RtQNO 中，ON= 2 2=(210)2 42= 26，此时 n26， 对应 n 的取值范围是 35210n26； 如图 6，如图 7，从小N 右边与 PQ 相切开始，到小N 右边经过点 P 止的过程中，线段 PQ 与小N有 2 个公共点， 因此线段 PQ 上同时存在 2 个点是N 的”初心点“， 同方法计算得出对应 n 的值得到对应 n 的取值范围是，3522n322； 如图 8，如 9，从大N 左边过点
38、 Q 开始，到小N 左边经过点 P 止的这段过程中，线段 PQ 与两个圆各有一个公共点， 因此线段 PQ 上同时存在 2 个点为N 的”初心点“， 同方法计算得出对应 n 的值得到对应 n 的取值范围是，26 n3+22， 综上，当线段 PQ 上同时存在 2 个点为N 的”初心点“时，n 的取值范围：35210n26或3522n322或 26 n3+22 27 【解答】解： （1）反比例函数 y2=2的图象经过 A（3，1） ， k313， 反比例函数的解析式为 y2=3； 把 B（1，n）代入反比例函数解析式，可得 n3， B（1，3） ， 把 A（3，1） ，B（1，3）代入一次函数 y1
39、k1x+b， 可得31+ = 11+ = 3，解得1= 1 = 2， 一次函数的解析式为 y1x2； （2）令 y10，有 0 x2，即 x2， D（2，0） ，OD2， 如图，过 B 作 BEx 轴于点 E， B（1，3） ， BE3， SBOD=12ODBE=12233 28 【解答】解： （1）ABx 轴于点 B，点 A（n，2） ， 点 B（n，0） ，AB2 点 C（1，0） ， BCn1， SABC=12ABBCn13， n4， 点 A（4，2） 点 A 在反比例函数 y=（a0）的图象上， m428， 反比例函数的解析式为 y=8 将 A（4，2） 、C（1，0）代入 ykx+b，得：4 + = 2 + = 0，解得： =23 = 23， 一次函数的解析式为 y=23x23 （2）当 x0 时，y=23x23= 23， 点 D（0，23） ， OD=23， SBCD=12BCOD=12323=1