1、5 5. .7 7 三角函数的应用三角函数的应用 基础达标 一、选择题 1.y2sin12x3的振幅、频率和初相分别为（ ） A.2，4，3 B.2，14，3 C.2，14，3 D.2，4，3 解析 由题意知 A2，f1T214，初相为3. 答案 C 2.如图， 某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sin6x k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ） A.5 B.6 C.8 D.10 解析 由题意可知当 sin6x 取最小值1 时， 函数取最小值 ymin3k2，得 k5， y3sin6x 5，当 sin6x 取最大值 1 时， 函数取最大值 yma
2、x358. 答案 C 3.如图所示为一简谐运动的图象， 则下列判断正确的是 （ ） A.该质点的振动周期为 0.7 s B.该质点的振幅为 5 cm C.该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时速度最大 D.该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时加速度最大 解析 由图形可知振幅为 5，故选 B. 答案 B 4.如图所示，设点 A 是单位圆上的一定点，动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点 P 所旋转过的弧AP的长为 l，弦AP 的长为 d，则函数 df（l）的图象大致是（ ） 解析 设AP所对的圆心角为 ，则 l， 弦 AP 的长 d2 |OA| sin2， 即有 df（l）
3、2sin l2. 答案 C 5.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价 y（每平方米的价格，单位：元）与第 x季度之间近似满足：y500sin（x）9 500（0） ，已知第一、二季度平均单价如下表所示： x 1 2 3 y 10 000 9 500 ？ 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是（ ） A.10 000 元 B.9 500 元 C.9 000 元 D.8 500 元 解析 因为 y500sin （x） 9 500 （0） ， 所以当 x1 时， 50
4、0sin （）9 50010 000；当 x2 时，500sin（2）9 5009 500，所以 可取32， 可取 ，即 y500sin32x 9 500. 当 x3 时，y9 000. 答案 C 二、填空题 6.简谐运动 y12sin8x2 的频率 f . 解析 f82116. 答案 116 7.如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度 h （米） 在某天 024 时的变化情况，则水面高度 h 关于时间 t 的函数关系式为 . 解析 设 hAsin（t） ， 由图象知 A6，T12， 212，得 2126. 点（6，0）为“五点法”作图中的“第一点”， 故660，得 ， h6sin6t 6
5、sin6t（0t24）. 答案 h6sin6t（0t24） 8.某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 yaAcos6（x6） （x1，2，3，12，A0）来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28 ，12 月份的月平均气温最低，为 18，则 10 月份的平均气温值为 . 解析 由题意得aA28，aA18， a23，A5，y235cos6（x6） ， 当 x10 时，y2351220.5. 答案 20.5 三、解答题 9.将自行车支起来， 使后轮能平稳地匀速转动， 观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示坐标系中，轮胎以角速度 rad/s 做圆周运动， P0
6、是气针的初始位置， 气针 （看作一个点 P）到原点（O）的距离为 r. （1）求气针（P）的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系，并求出 P 的运动周期； （2）当 6，r1 时，作出其图象. 解 （1）过 P 作 x 轴的垂线，设垂足为 M，则 MP 就是正弦线. yrsin（t） ，因此 T2. （2）当 6，r1 时，ysint6， 如图，其图象是将 ysin t 的图象向左平移6个单位长度得到. 10.如图所示，一个摩天轮半径为 10 m，轮子的底部在地面上 2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每 30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点 P 处（点 P 与摩天轮中心高度相同）时开始
7、计时. （1）求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； （2）在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于 17 m. 解 （1） 设在t s时， 摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角为230 t15 t，故在 t s 时，此人相对于地面的高度为 h10sin 15 t12（t0）. （2）由 10sin15t1217，得 sin15t12，则52t252. 故此人有 10 s 相对于地面的高度不小于 17 m. 能力提升 11.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按 f（x）Asin（x）bA0，0，|2的模型波动（x 为月份） ，已知 3 月份
8、达到最高价 9 千元， 7 月份价格最低为 5 千元， 根据以上条件可确定 f （x） 的解析式为 （ ） A.f（x）2sin4x47（1x12，xN*） B.f（x）9sin4x4（1x12，xN*） C.f（x）2 2sin4x7（1x12，xN*） D.f（x）2sin4x47（1x12，xN*） 解析 法一 令 x3 可排除 D，令 x7，可排除 B，由 A9522 可排除 C，故选 A. 法二 由题意，可得 A9522，b7. 周期 T22（73）8. 4.f（x）2sin4x 7. 当 x3 时，y9，2sin34 79. 即 sin34 1. |0，0，0|） ，根据条件，可知
9、这个函数的周期是 12；由可知，f（2）最小，f（8）最大，且 f（8）f（2）400，故该函数的振幅为 200；由可知，f（x）在2，8上单调递增，且 f（2）100，所以 f（8）500. 根据上述分析可得，212， 故 6，且AB100，AB500，解得A200，B300. 根据分析可知，当 x2 时，f（x）最小， 当 x8 时，f（x）最大，故 sin26 1， 且 sin86 1. 又因为 0|0，0） ， 则Ab700，Ab900， 解得 A100，b800. 又周期 T2（60）12， 2T6， y100sin6t 800. 又当 t6 时，y900， 900100sin66 800， sin（）1，sin 1，取 2， y100sin6t2800（0t11，tN*）. （2）当 t2 时， y100sin622800750， 即当年 3 月 1 日动物种群数量约是 750.