1、5 5. .7 7 三角函数的应用三角函数的应用 一、选择题 1.y2sin12x3的振幅、频率和初相分别为( ) A.2，4，3 B.2，14，3 C.2，14，3 D.2，4，3 答案 C 解析 由题意知 A2，f1T214，初相为3. 2.如图， 某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sin6x k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 答案 C 解析 由题意可知当 sin6x 取最小值1 时， 函数取最小值 ymin3k2，得 k5， y3sin6x 5，当 sin6x 取最大值 1 时， 函数取最大值 yma
2、x358. 3.(多选题)一简谐运动的图象如图所示，则下列判断错误的是( ) A.该质点的振动周期为 0.7 s B.该质点的振幅为 5 cm C.该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时速度最大 D.该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时加速度最大 答案 ACD 解析 周期为 2(0.70.3)0.8(s)， 故 A 错误； 由题中图象可知， 振幅为 5 cm，故 B 正确；在最高点时，速度为零，加速度最大，故 C，D 错误. 4.稳定房价是我国近年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响.温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个
3、季度的平均单价 y(每平方米的价格，单位：元)与第 x季度之间近似满足：y500sin(x)9 500(0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示： x 1 2 3 y 10 000 9 500 ？ 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( ) A.10 000 元 B.9 500 元 C.9 000 元 D.8 500 元 答案 C 解析 因为 y500sin(x)9 500(0)， 所以当 x1 时， 500sin()9 50010 000； 当 x2 时， 500sin(2)9 5009 500， 所以 可取32， 可取 ，即 y500sin32x 9 500. 当 x3 时，y9 000.
4、5.(多选题)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点A(3 3，3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时 60 s.经过 t s后，水斗旋转到点 P，设点 P 的坐标为(x，y)，其纵坐标满足 yf(t)Rsin(t)t0，0，|2，则下列叙述正确的是( ) A.R6，30，6 B.当 t35，55时，点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6 C.当 t10，25时，函数 yf(t)单调递减 D.当 t20 时，PA6 3 答案 ABD 解析 由点 A(3 3，3)在圆上可知 R（3 3）2
5、（3）26，又 T602，所以 30，因为|0，0)， 由图象知 A6，T12， 212，得 2126. 点(6，0)为“五点法”作图中的“第一点”， 故660，得 ， h6sin6t 6sin6t(0t24). 8.某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 yaAcos6（x6） (x1，2，3，12，A0)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28 ，12 月份的月平均气温最低，为 18，则 10 月份的平均气温值为_. 答案 20.5 解析 由题意得aA28，aA18， a23，A5， y235cos6（x6） ， 当 x10 时，y2351220.5. 三
6、、解答题 9.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示坐标系中，轮胎以角速度 rad/s 做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点 P)到原点(O)的距离为 r. (1)求气针(P)的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系，并求出 P 的运动周期； (2)当 6，r1 时，作出其图象. 解 (1)过 P 作 x 轴的垂线，设垂足为 M，则 MP 就是正弦线. yrsin(t)，t0，因此 T2. (2)当 6，r1 时，ysint6， 如图，其图象是将 ysin t 的图象向左平移6个单位长度得到. 10.如图所示，一个摩天轮半径为 10 m
7、，轮子的底部在地面上 2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每 30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点 P 处(点 P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时. (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于 17 m. 解 (1)设在t s时， 摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角为230 t15 t，故在 t s 时，此人相对于地面的高度为 h10sin 15 t12(t0). (2)由 10sin15t1217，得 sin15t12， 则52t252. 故此人有 10 s 相对于地面的高度不小于 17 m. 11.据
8、市场调查， 某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上， 按 f(x)Asin(x)bA0，0，|2的模型波动(x为月份)， 已知3月份达到最高价9千元，7 月份价格最低为 5 千元，根据以上条件可确定 f(x)的解析式为( ) A.f(x)2sin4x47(1x12，xN*) B.f(x)9sin4x4(1x12，xN*) C.f(x)2 2sin4x7(1x12，xN*) D.f(x)2sin4x47(1x12，xN*) 答案 A 解析 法一 令 x3 可排除 D，令 x7，可排除 B，由 A9522 可排除 C，故选 A. 法二 由题意，可得 A9522，b7. 周期 T22(73)8
9、. 4.f(x)2sin4x 7. 当 x3 时，y9，2sin34 79. 即 sin34 1. |0，0，0|)，根据条件，可知这个函数的周期是 12；由可知，f(2)最小，f(8)最大，且 f(8)f(2)400，故该函数的振幅为 200； 由可知， f(x)在2， 8上单调递增， 且 f(2)100， 所以 f(8)500. 根据上述分析可得，212， 故 6，且AB100，AB500，解得A200，B300. 根据分析可知，当 x2 时，f(x)最小， 当 x8 时，f(x)最大， 故 sin26 1，且 sin86 1. 又因为 0|，故 56. 所以入住客栈的游客人数与月份之间的
10、关系式为 f(x)200sin6x56300(1x12，xN*). (2)由条件可知，200sin6x56300400，化简得 sin6x56122k66x562k56，kZ， 解得 12k6x12k10，kZ. 因为 xN*，且 1x12，所以 x6，7，8，9，10. 即只有 6，7，8，9，10 五个月份要准备不少于 400 份的食物. 14.如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BC 3，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线 BC 与地面所成的角为 ，矩形周边上最高点离地面的距离为 f().求： (1) 的取值范围； (2)f()的解析式； (3)f()的值域. 解 (1)观察题图可知 BC 与地面所成的角 的取值范围为0，2. (2)如图，连接 BD，则DBC6，过点 D 作地面的垂线，垂足为 E，在 RtBED中，DBE6，DB2，f()2sin6 02. (3)f()2sin6 02，6623， 12sin61，即 f()的值域为1，2.