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5.7三角函数的应用 分层训练(含答案)

1、5 5. .7 7 三角函数的应用三角函数的应用 一、选择题 1.y2sin12x3的振幅、频率和初相分别为( ) A.2,4,3 B.2,14,3 C.2,14,3 D.2,4,3 答案 C 解析 由题意知 A2,f1T214,初相为3. 2.如图, 某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sin6x k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 答案 C 解析 由题意可知当 sin6x 取最小值1 时, 函数取最小值 ymin3k2,得 k5, y3sin6x 5,当 sin6x 取最大值 1 时, 函数取最大值 yma

2、x358. 3.(多选题)一简谐运动的图象如图所示,则下列判断错误的是( ) A.该质点的振动周期为 0.7 s B.该质点的振幅为 5 cm C.该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时速度最大 D.该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时加速度最大 答案 ACD 解析 周期为 2(0.70.3)0.8(s), 故 A 错误; 由题中图象可知, 振幅为 5 cm,故 B 正确;在最高点时,速度为零,加速度最大,故 C,D 错误. 4.稳定房价是我国近年实施宏观调控的重点,国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响.温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测:发现每个

3、季度的平均单价 y(每平方米的价格,单位:元)与第 x季度之间近似满足:y500sin(x)9 500(0),已知第一、二季度平均单价如下表所示: x 1 2 3 y 10 000 9 500 ? 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( ) A.10 000 元 B.9 500 元 C.9 000 元 D.8 500 元 答案 C 解析 因为 y500sin(x)9 500(0), 所以当 x1 时, 500sin()9 50010 000; 当 x2 时, 500sin(2)9 5009 500, 所以 可取32, 可取 ,即 y500sin32x 9 500. 当 x3 时,y9 000.

4、5.(多选题)水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为 R 的水车,一个水斗从点A(3 3,3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时 60 s.经过 t s后,水斗旋转到点 P,设点 P 的坐标为(x,y),其纵坐标满足 yf(t)Rsin(t)t0,0,|2,则下列叙述正确的是( ) A.R6,30,6 B.当 t35,55时,点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6 C.当 t10,25时,函数 yf(t)单调递减 D.当 t20 时,PA6 3 答案 ABD 解析 由点 A(3 3,3)在圆上可知 R(3 3)2

5、(3)26,又 T602,所以 30,因为|0,0), 由图象知 A6,T12, 212,得 2126. 点(6,0)为“五点法”作图中的“第一点”, 故660,得 , h6sin6t 6sin6t(0t24). 8.某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 yaAcos6(x6) (x1,2,3,12,A0)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,为 28 ,12 月份的月平均气温最低,为 18,则 10 月份的平均气温值为_. 答案 20.5 解析 由题意得aA28,aA18, a23,A5, y235cos6(x6) , 当 x10 时,y2351220.5. 三

6、、解答题 9.将自行车支起来,使后轮能平稳地匀速转动,观察后轮气针的运动规律,若将后轮放入如图所示坐标系中,轮胎以角速度 rad/s 做圆周运动,P0是气针的初始位置,气针(看作一个点 P)到原点(O)的距离为 r. (1)求气针(P)的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系,并求出 P 的运动周期; (2)当 6,r1 时,作出其图象. 解 (1)过 P 作 x 轴的垂线,设垂足为 M,则 MP 就是正弦线. yrsin(t),t0,因此 T2. (2)当 6,r1 时,ysint6, 如图,其图象是将 ysin t 的图象向左平移6个单位长度得到. 10.如图所示,一个摩天轮半径为 10 m

7、,轮子的底部在地面上 2 m 处,如果此摩天轮按逆时针转动,每 30 s 转一圈,且当摩天轮上某人经过点 P 处(点 P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时. (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式; (2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高度不小于 17 m. 解 (1)设在t s时, 摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角为230 t15 t,故在 t s 时,此人相对于地面的高度为 h10sin 15 t12(t0). (2)由 10sin15t1217,得 sin15t12, 则52t252. 故此人有 10 s 相对于地面的高度不小于 17 m. 11.据

8、市场调查, 某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上, 按 f(x)Asin(x)bA0,0,|2的模型波动(x为月份), 已知3月份达到最高价9千元,7 月份价格最低为 5 千元,根据以上条件可确定 f(x)的解析式为( ) A.f(x)2sin4x47(1x12,xN*) B.f(x)9sin4x4(1x12,xN*) C.f(x)2 2sin4x7(1x12,xN*) D.f(x)2sin4x47(1x12,xN*) 答案 A 解析 法一 令 x3 可排除 D,令 x7,可排除 B,由 A9522 可排除 C,故选 A. 法二 由题意,可得 A9522,b7. 周期 T22(73)8

9、. 4.f(x)2sin4x 7. 当 x3 时,y9,2sin34 79. 即 sin34 1. |0,0,0|),根据条件,可知这个函数的周期是 12;由可知,f(2)最小,f(8)最大,且 f(8)f(2)400,故该函数的振幅为 200; 由可知, f(x)在2, 8上单调递增, 且 f(2)100, 所以 f(8)500. 根据上述分析可得,212, 故 6,且AB100,AB500,解得A200,B300. 根据分析可知,当 x2 时,f(x)最小, 当 x8 时,f(x)最大, 故 sin26 1,且 sin86 1. 又因为 0|,故 56. 所以入住客栈的游客人数与月份之间的

10、关系式为 f(x)200sin6x56300(1x12,xN*). (2)由条件可知,200sin6x56300400,化简得 sin6x56122k66x562k56,kZ, 解得 12k6x12k10,kZ. 因为 xN*,且 1x12,所以 x6,7,8,9,10. 即只有 6,7,8,9,10 五个月份要准备不少于 400 份的食物. 14.如图,在矩形 ABCD 中,AB1,BC 3,此矩形沿地面上一直线滚动,在滚动过程中始终与地面垂直,设直线 BC 与地面所成的角为 ,矩形周边上最高点离地面的距离为 f().求: (1) 的取值范围; (2)f()的解析式; (3)f()的值域. 解 (1)观察题图可知 BC 与地面所成的角 的取值范围为0,2. (2)如图,连接 BD,则DBC6,过点 D 作地面的垂线,垂足为 E,在 RtBED中,DBE6,DB2,f()2sin6 02. (3)f()2sin6 02,6623, 12sin61,即 f()的值域为1,2.