1、5 5. .5.25.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 一、选择题 1.函数 y3sin 4x 3cos 4x 的最大值是( ) A. 3 B.2 3 C.3 D.6 答案 B 解析 y3sin 4x 3cos 4x 2 332sin 4x12cos 4x 2 3sin4x6， ymax2 3，故选 B. 2.已知 sin 213，则 cos24( ) A.13 B.23 C.13 D.23 答案 D 解析 cos241cos222 1sin 22113223. 3.在ABC 中，若 sin Asin Bcos2C2，则ABC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形
2、 D.直角三角形 答案 B 解析 sin Asin B12(1cos C)， 即 2sin Asin B1cos C1cos(AB)， 2sin Asin B1cos Acos Bsin Asin B， 故得 cos(AB)1， 又因为 AB(，)， AB0，即 AB，则ABC 是等腰三角形. 4.若 cos 45， 是第三象限角，则1tan21tan2等于( ) A.12 B.12 C.2 D.2 答案 A 解析 是第三象限角，cos 45， sin 35，tan 2sin 1cos 351453， 1tan21tan2131312. 5.(多选题)已知函数 f(x)12cos x sinx
3、3，则下列结论中错误的是( ) A.f(x)既是奇函数又是周期函数 B.f(x)的图象关于直线 x12对称 C.f(x)的最大值为 1 D.f(x)在区间0，4上单调递减 答案 ACD 解析 f(x)12cos x sinx314sin xcos x34cos2x18sin 2x38(1cos 2x)14sin2x338，f(x)为非奇非偶函数，故 A 错误；令 2x32k(kZ)，得 x12k2(kZ)，当 k0 时，x12，所以 f(x)的图象关于直线 x12对称，故 B正确；f(x)的最大值为2 38，故 C 错误；当 x0，4时，2x33，56，ysin2x3在3，56上不单调，所以
4、f(x)在区间0，4上不单调，所以 A，C，D 错误.故选 ACD. 二、填空题 6.若 3sin x 3cos x2 3sin(x)，(，)，则 _. 答案 6 解析 因为 3sin x 3cos x 2 332sin x12cos x 2 3sinx6， 因为 (，)，所以 6. 7.若 是第二象限角，且 25sin2sin 240，则 cos 2_. 答案 35 解析 由 25sin2sin 240， 又 是第二象限角， 得 sin 2425或 sin 1(舍去). 故 cos 1sin2725， 由 cos221cos 2得 cos22925. 又2是第一、三象限角，所以 cos 23
5、5. 8.函数 f(x)sin2xsin xcos x1 的最小正周期为_. 答案 解析 f(x)sin2xsin xcos x11cos 2x212sin 2x112(sin 2xcos 2x)3222sin2x432， T. 三、解答题 9.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos Aa cos Bbab cos B，求证tan2A2tan2B2abab. 证明 因为 cos Aa cos Bbab cos B， 所以 1cos A（ab） （1cos B）ab cos B， 1cos A（ab） （1cos B）ab cos B， 所以1cos A1cos A
6、（ab） （1cos B）（ab） （1cos B）， 而1cos A1cos A2sin2A22cos2A2tan2A2， 1cos B1cos B2sin2B22cos2B2tan2B2， 所以 tan2A2abab tan2B2，即tan2A2tan2B2abab. 10.已知函数 f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x(xR). (1)求 f23的值； (2)求 f(x)的最小正周期及函数 f(x)取得最大值时 x 的集合. 解 (1)f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x cos 2x 3sin 2x2sin2x6， 则 f232sin4362. (2
7、)f(x)的最小正周期为 . 当 f(x)取得最大值时，sin2x61， 有 2x62k2(kZ)， 即 xk3(kZ)， 所以所求 x 的集合为xxk3（kZ） . 11.设函数f(x)2cos2x 3sin 2xa(a为实常数)在区间0，2上的最小值为4，那么 a 的值等于( ) A.4 B.6 C.4 D.3 答案 C 解析 f(x)2cos2x 3sin 2xa 1cos 2x 3sin 2xa 2sin2x6a1. 当 x0，2时，2x66，76， f(x)min212a14.a4. 12.若动直线 xa 与函数 f(x)sin xcos x 和 g(x)cos2x 的图象分别交于
8、M，N 两点，则|MN|的最大值为_. 答案 1 22 解析 f(x)sin xcos x12sin 2x，g(x)cos2x1cos 2x2，所以|MN|f(a)g(a)|12sin 2a12cos 2a1222sin2a422，则当 sin2a41 时，|MN|取得最大值，为1 22. 13.如图所示，某市政府决定在以政府大楼 O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径 OMR，MOP45 ，OB 与 OM 之间的夹角为. (1)将
9、图书馆底面矩形 ABCD 的面积 S 表示成 的函数； (2)若 R45 m， 求当 为何值时， 矩形 ABCD 的面积 S 最大？最大面积是多少？(取 21.414) 解 (1)由题意，可知点 M 为PQ的中点，所以 OMAD. 设 OM 与 BC 的交点为 F，则 BC2Rsin ，OFRcos ，所以 ABOF12ADRcos Rsin . 所以 SAB BC2Rsin (Rcos Rsin ) R2(2sin cos 2sin2)R2(sin 21cos 2) 2R2sin 24R2，0，4. (2)因为 0，4，所以 244，34， 所以当 242，即 8时，S 有最大值. Smax
10、( 21)R2( 21)4520.4142 025 838.35(m2). 故当 8时，矩形 ABCD 的面积 S 最大，最大面积为 838.35 m2. 14.设 ， 均为锐角，且满足 sin2sin2sin().求 的值. 解 显然当 2时，等式成立；由已知条件知 sin2sin2sin cos cos sin ， 整理得 sin(sin cos )sin (cos sin ). 若 2，则有 sin cos 与 cos sin 同号. 若它们同为正，则有 sin cos sin2 ， cos sin2 sin ， 从而有 2，2，无解. 若它们同为负，用类似的方法也可以推出矛盾. 综上，2.