1、5 5. .4.34.3 正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象 一、选择题 1.函数 ytan x1tan x是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 答案 A 解析 函数的定义域是xx12k，kZ ，且 tan(x)1tan（x）tan x1tan xtan x1tan x，所以函数 ytan x1tan x是奇函数. 2.x0，2，y tan xcos x的定义域为( ) A.0，2 B.2， C.，32 D.32，2 答案 C 解析 由题意知tan x0，cos x0，x0，2， 函数的定义域为，32，故选 C. 3.(多选题)关于 y
2、tan2x3，下列说法正确的是( ) A.是奇函数 B.在区间0，3上单调递减 C.6，0 为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为2 答案 CD 解析 函数的定义域不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数；函数 ytan2x3没有单调减区间，故 B 错，当 x6时，y0，C 正确，由 T2，知D 正确. 4.(多选题)下列说法正确的是( ) A.正切函数是周期函数，最小正周期为 B.正切函数的图象是不连续的 C.直线 xk2(kZ)是正切曲线的渐近线 D.把 ytan x，x2，2的图象向左、右平行移动 k 个单位，就得到 y tan xxR，xk2的图象 答案 ABC 解析 正切函数是
3、周期函数，周期为 k(kZ)，最小正周期为 ；正切曲线是由相互平行的直线 x2k(kZ)(称为渐近线)所隔开的无穷多支曲线组成的，故A，B，C 均正确.选项 D 中，没有明确 k 的取值，故 D 错. 5.函数 ytan xsin x|tan xsin x|在区间2，32内的图象是( ) 答案 D 解析 当2x 时，tan xsin x，y2tan x0； 当 x 时，y0；当 xsin x，y2sin x0.故选 D. 二、填空题 6.函数 ytan x4x34，且x2的值域是_. 答案 (，11，) 解析 函数 ytan x 在4，2上单调递增，在2，34上也是单调递增，所以函数的值域是(
4、，11，). 7.比较大小：tan27_tan5. 答案 解析 tan27tan57，tan5tan45， 又 ytan x 在2， 上是增函数， 所以 tan57tan45，即 tan27tan5. 8.若 tan2x61，则 x 的取值范围是_. 答案 x612kx 52412k ，kZ 解析 由题意可得2k2x64k， kZ， 解之得612kx52412k，kZ. 三、解答题 9.求函数 ytan2x4tan x1，x4，4的值域. 解 4x4，1tan x1. 令 tan xt，则 t1，1. yt24t1(t2)25. 当 t1，即 x4时，ymin4， 当 t1，即 x4时，yma
5、x4.故所求函数的值域为4，4. 10.画出函数 y|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. 解 由 y|tan x|得， ytan x，kxk2（kZ），tan x，2kx0，0，|2 的图象与 x 轴相交的两相邻点的坐标为6，0 和56，0 ， 且过点(0， 3)， 则 f(x)_，f(x) 3的 x 的取值范围为_. 答案 3tan32x4 2k3518，2k32(kZ) 解析 由题意可得 f(x)的周期为 T56623，所以 32， 得 f(x)Atan32x ，它的图象过点6，0 ， 所以 tan326 0，即 tan4 0， 所以4k(kZ)，得 k4，kZ
6、， 又|2，所以 4， 于是 f(x)Atan32x4， 它的图象过点(0，3)， 所以 Atan43，得 A3. 所以 f(x)3tan32x4. 由 3tan32x4 3， 得 tan32x433. 所以 k632x4k2，kZ， 解之得2k3518x2k32，kZ. 13.已知函数 f(x)x22xtan 1，x1， 3，其中 2，2. (1)当 6时，求函数的最大值和最小值； (2)若 yf(x)在区间1， 3上是单调函数，求 的取值范围. 解 (1)当 6，f(x)x22 33x1x33243. x1， 3，当 x33时，f(x)取得最小值43， 当 x1 时，f(x)取得最大值2
7、33. (2)f(x)(xtan )21tan2 是关于 x 的二次函数，它的图象的对称轴为直线 xtan . yf(x)在区间1， 3上是单调函数， tan 1 或tan 3，即 tan 1 或 tan 3. 又 2，2， 的取值范围是2，34，2. 14.是否存在实数a， 且aZ， 使得函数ytan4ax 在区间8，58上单调递增？若存在，求出 a 的一个值；若不存在，请说明理由. 解 存在.ytan4ax tanax4， ytan x 在区间k2，k2(kZ)上为增函数， a0.又 x8，58， axa8，5a8， 4ax4a8，45a8， k24a8（kZ），k245a8（kZ）. 解得258k5a68k(kZ). 由258k568k 得 k1，此时2a2， a20，存在 a2Z，满足题意.