1、第二课时第二课时 单调性与最值单调性与最值 一、选择题 1.函数 ysin 2x 的单调递减区间是( ) A.22k，322k (kZ) B.k4，k34 (kZ) C.2k，32k (kZ) D.k4，k4(kZ) 答案 B 解析 令22k2x322k，kZ， 得4kx34k，kZ， 则 ysin 2x 的单调递减区间是4k，34k (kZ). 2.函数 f(x)sin2x4在区间0，2上的最小值是( ) A.1 B.22 C.22 D.0 答案 B 解析 x0，2，2x44，34， sin2x422，1 ，f(x)min22. 3.函数 f(x)2sin2x2cos x 的最大值和最小值分
2、别是( ) A.2，2 B.2，52 C.2，12 D.52，2 答案 B 解析 f(x)2sin2x2cos x2(1cos2x)2cos x2cos2x2cos x22cos x122542cos x12252， 1cos x1，f(x)min52，f(x)max2.故选 B. 4.若函数 f(x)sin x(0)在区间3，2上单调递减，则 的取值范围是( ) A.023 B.032 C.323 D.323 答案 D 解析 令22kx322k，kZ， 则22kx322k，kZ. 函数 f(x)sin x(0)在区间3，2上单调递减， 23且322，323. 5.(多选题)不同时具有以下 3
3、 个性质： 最小正周期为 ； 图象关于直线 x3对称；在6，3上为增函数的函数是( ) A.ysinx26 B.ysin2x6 C.ycos2x3 D.ysin2x6 答案 ACD 解析 函数 ysinx26的最小正周期为 T2124，不满足，A 符合题意；函数 ysin2x6的最小正周期为 T22，满足， 当 x3时，ysin2361，取得最大值， 所以 x3是 ysin2x6的一条对称轴，满足， 又 x6，3时，2x62，2， 所以 ysin2x6在6，3上单调递增，满足，B 不符合题意；函数 ycos2x3在 x6，3，即 2x30，时单调递减，不满足，C 符合题意；对于 ysin2x6
4、，当 x3时，ysin23612，不是最值，所以直线 x3不是 ysin2x6的一条对称轴，不满足，D 符合题意.故选 ACD. 二、填空题 6.函数 ysinx23取最大值时自变量的取值集合是_. 答案 xx534k，kZ 解析 当x2322k，kZ，即 x534k，kZ 时，函数取最大值. 7.sin 1，sin 2，sin 3 按从小到大排列的顺序为_. 答案 sin 3sin 1sin 2 解析 1223， sin(2)sin 2，sin(3)sin 3. ysin x 在0，2上是增函数，且 03122， sin(3)sin 1sin(2)， 即 sin 3sin 1sin 2. 8
5、.若 f(x)2sin x(01)在区间0，3上的最大值是 2，则 _. 答案 34 解析 x0，3，即 0 x3，且 01， 0 x30 且单调递减的区间. 2k2x232k，kZ， 整理得 4k53xcos x，cos x，sin xcos x(xR)，关于函数 f(x)的性质，下列判断不正确的是( ) A.函数 f(x)是周期函数，最小正周期为 2 B.函数 f(x)的值域为1，1 C.函数 f(x)在区间2k，2k(kZ)上单调递增 D.函数 f(x)的图象存在对称中心 答案 BCD 解析 分别作出函数 ysin x 和 ycos x 的图象，可得函数 f(x)sin x，sin xc
6、os x，cos x，sin xcos x的图象是两个图象中在上方的曲线(如图中实线所示)，可得f(x)为周期函数，最小正周期为 2，故 A 正确，f(x)的值域为22，1 ，故 B 错误；f(x)在2k，2k34(kZ)上单调递减，在2k34，2k (kZ)上单调递增，故 C 错误；f(x)的图象关于直线 xk4，kZ 对称，无对称中心，故 D错误.故选 BCD. 13.已知函数 f(x) 2cos2x4，xR. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数 f(x)在区间8，2上的最小值和最大值，并求出取得最值时 x 的值. 解 (1)因为 f(x) 2cos2x4，x
7、R，所以函数 f(x)的最小正周期为 T22. 由2k2x42k(kZ)，得38kx8k(kZ)，故函数 f(x)的单调递增区间为 38k，8k (kZ). (2)因为 x8，2，所以 2x42，34. 所以当 2x40， 即 x8时，f(x)maxf8 2； 当 2x434，即 x2时，f(x)minf21. 所以函数 f(x)在区间8，2上的最大值为 2， 此时 x8；最小值为1，此时 x2. 14.若函数 f(x)3sin x(0)能够在某个长度为 3 的闭区间上至少三次出现最大值 3，且在11，10上是单调函数，则整数 的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 B 解析 函数“在某个长度为 3 的闭区间上至少三次出现最大值 3”，即至少为两个周期，由此得到 2T3，即 T32. 由于函数是奇函数，所以图象关于原点对称. 因为函数在11，10上是单调函数， 所以函数在10，10上是单调函数， 故T2102，即 T25. 由T32，T25得232，225， 解得435. 由于 为整数，故 5，所以选 B.