1、第第 3 3 课时课时 正弦函数正弦函数、余弦函数的性质的综合问题余弦函数的性质的综合问题 课时对点练课时对点练 1下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 x3对称的函数是( ) Ay2sin2x3 By2sin2x6 Cy2sinx23 Dy2sin2x3 答案 B 解析 选项 C 中，函数 y2sinx23的周期为 T2124，故排除 C；将 x3依次代入 A，B，D 求得函数值分别为 0,2， 3，且函数 yAsin(x)在对称轴处取最值，故选 B. 2函数 ysin2x52的图象的一个对称中心是( ) A.8，0 B.4，0 C.3，0 D.38，0 答案 B 解析 ysin2x5
2、2sin2x2cos 2x， 当 x4时，y0， 4，0 为函数 ysin2x52的图象的一个对称中心 3函数 ysin x 的图象的两个相邻对称中心间的距离为( ) A B2 C1 D2 答案 C 解析 函数 ysin x 的图象的两个相邻对称中心间的距离为T2， 函数的周期 T22， 则T2221. 4下列函数中周期为 ，且在2， 上单调递增的是( ) Aysin x Bycos x Cysin 2x Dycos 2x 答案 D 解析 周期为 ，故排除 A，B； 令 t2x，当 x2， 时，t，2， 又 ycos t 在，2上单调递增， 所以选项 D 中 ycos 2x 符合题意 5如果函
3、数 ysin(2x)的图象关于直线 x 对称，那么|取最小值时， 的值为( ) A3 B.3 C2 D2 答案 D 解析 由函数 ysin(2x)的图象关于直线 x 对称， 可得 22k，kZ，即 32k，kZ，当|取最小值时，k1，即 2或 k2，即 2.故|取最小值时， 的值为2. 6(多选)已知函数 f(x)sin2x4，下列四个结论中，正确的有( ) A函数 f(x)的最小正周期为 B函数 f(x)的图象关于直线 x8对称 C函数 f(x)的图象关于点38，0 对称 D函数 f(x)在8，38上单调递增 答案 AD 解析 对于 A，函数 f(x)的最小正周期为 T2|22，可知 A 正
4、确； 对于 B，当 x8时，2x40，又 x0 不是 ysin x 的对称轴，可知 B 错误； 对于 C，当 x38时，2x42，又2，1 不是 ysin x 的对称中心，可知 C 错误； 对于 D，当 x8，38时，2x42，2， 当 x2，2时，ysin x 单调递增，可知 D 正确 7当 x6，76时，函数 y3sin x2cos2x 的值域为_ 答案 78，2 解析 因为 x6，76，所以 sin x12，1 . 又 y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x) 2sin x14278， 所以当 sin x14时，ymin78，当 sin x 12或 sin x1 时，ym
5、ax2.即函数的值域为78，2 . 8 设函数 f(x)cosx6(0) 若 f(x)f 4对任意的实数 x 都成立， 则 f 4_， 的最小值为_ 答案 1 23 解析 f(x)f 4对任意的实数 x 都成立， 当 x4时，f(x)取得最大值 1. 即 f 4cos461， 462k，kZ， 8k23，kZ. 0，当 k0 时， 取得最小值23. 9已知函数 f(x) 3sin(x)0，|2，若 f(x)的图象关于点12，0 对称，且图象上两个相邻最高点的距离为 . (1)求 f(x)； (2)求 f(x)的单调递增区间 解 (1)依题意 T，2， f(x) 3sin(2x)， 又 f(x)
6、的图象关于点12，0 对称， 212k，kZ，得 6k，kZ， 又|2，6， f(x) 3sin2x6. (2)令22k2x622k，kZ， 解得3kx6k，kZ， f(x)的单调递增区间为3k，6k ，kZ. 10已知函数 f(x)sin2xsin xa.当 f(x)0 有实数解时，求 a 的取值范围 解 1sin x1，令 tsin x，则1t1.f(x)0 有实数解，即 t2ta0 在1,1内有实数解 at2t，t1,1， 设 h(t)t2tt12214，t1,1， 当 t12时，h(t)min14， 当 t1 时，h(t)max2， a 的取值范围是14，2 . 11设函数 f(x)c
7、osx3，则下列结论错误的是( ) Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图象关于直线 x83对称 Cf(x)的一个零点为 x6 Df(x)在2， 上单调递减 答案 D 解析 f(x)的最小正周期为 2，易知 A 正确； f 83cos833cos 31，为 f(x)的最小值，故 B 正确； f(x)cosx3cosx3， f 6 cos63cos 20，故 C 正确； 由于 f 23cos233cos 1，为 f(x)的最小值，故 f(x)在2， 上不单调，故 D 错误 12已知函数 f(x)2sin(2x)|2，若 f(x)关于 x8对称，则 f(x)的一个单调递增区间可以是( ) A.
8、8，38 B.58，98 C.38，8 D.8，58 答案 D 解析 f(x)关于 x8对称， 则42k，kZ， 4k，kZ， 又|0，0|2的最小正周期为 ，且关于8，0 中心对称，则下列结论正确的是( ) Af(1)f(0)f(2) Bf(0)f(2)f(1) Cf(2)f(0)f(1) Df(2)f(1)f(0) 答案 B 解析 因为 f(x)的最小正周期为 ，所以 T2，得 2，则 f(x)sin(2x)， 又 f(x)关于8，0 中心对称， 28k，kZ，即 4k，kZ， 又|0，2， 当 k0 时，4，则 f(x)sin2x4. 令 2k22x42k2，kZ， 解得 xk8，k38
9、，kZ. 故 f(x)在8，38上单调递增 又 f(2)f 342 ，且 03421 都在区间8，38中， 故可得 f(0)f(2)0)， 对任意 xR， 都有 f(x)f 3， 并且 f(x)在区间6，3上不单调，则 的最小值是( ) A1 B3 C5 D7 答案 D 解析 由题意，得 f 3是函数 f(x)的最大值， 362k2， 即 6k1，kZ. 0，kN. 当 k0 时，1，f(x)sinx6在6，3上单调递增，不符合题意； 当 k1 时，7，f(x)sin7x6符合题意 的最小值为 7. 16已知函数 f(x)2cos2x4，xR. (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)当 x38，4时，方程 f(x)k 恰有两个不同的实数根，求实数 k 的取值范围 解 (1)由余弦函数的单调性， 得 2k2x42k2， kZ， 则38kx78k， kZ，所以函数 f(x)的单调递增区间为38k，78k ，kZ. (2)函数 f( )x 2cos2x4的单调递增区间为38k，78k ，kZ， 单调递减区间为78k，118k ，kZ， 所以函数 f(x)在 38， 8上单调递增，在8，4上单调递减， 且 f 380，f 82，f 4 2， 所以当 0k2 时，函数 yk 与函数 yf(x)的图象有两个公共点， 即当 0k2 时，方程 f(x)k 恰有两个不同的实数根