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5.4.2(第3课时) 正弦函数、余弦函数的性质的综合问题 课时对点练(含答案)

1、第第 3 3 课时课时 正弦函数正弦函数、余弦函数的性质的综合问题余弦函数的性质的综合问题 课时对点练课时对点练 1下列函数中,最小正周期为 ,且图象关于直线 x3对称的函数是( ) Ay2sin2x3 By2sin2x6 Cy2sinx23 Dy2sin2x3 答案 B 解析 选项 C 中,函数 y2sinx23的周期为 T2124,故排除 C;将 x3依次代入 A,B,D 求得函数值分别为 0,2, 3,且函数 yAsin(x)在对称轴处取最值,故选 B. 2函数 ysin2x52的图象的一个对称中心是( ) A.8,0 B.4,0 C.3,0 D.38,0 答案 B 解析 ysin2x5

2、2sin2x2cos 2x, 当 x4时,y0, 4,0 为函数 ysin2x52的图象的一个对称中心 3函数 ysin x 的图象的两个相邻对称中心间的距离为( ) A B2 C1 D2 答案 C 解析 函数 ysin x 的图象的两个相邻对称中心间的距离为T2, 函数的周期 T22, 则T2221. 4下列函数中周期为 ,且在2, 上单调递增的是( ) Aysin x Bycos x Cysin 2x Dycos 2x 答案 D 解析 周期为 ,故排除 A,B; 令 t2x,当 x2, 时,t,2, 又 ycos t 在,2上单调递增, 所以选项 D 中 ycos 2x 符合题意 5如果函

3、数 ysin(2x)的图象关于直线 x 对称,那么|取最小值时, 的值为( ) A3 B.3 C2 D2 答案 D 解析 由函数 ysin(2x)的图象关于直线 x 对称, 可得 22k,kZ,即 32k,kZ,当|取最小值时,k1,即 2或 k2,即 2.故|取最小值时, 的值为2. 6(多选)已知函数 f(x)sin2x4,下列四个结论中,正确的有( ) A函数 f(x)的最小正周期为 B函数 f(x)的图象关于直线 x8对称 C函数 f(x)的图象关于点38,0 对称 D函数 f(x)在8,38上单调递增 答案 AD 解析 对于 A,函数 f(x)的最小正周期为 T2|22,可知 A 正

4、确; 对于 B,当 x8时,2x40,又 x0 不是 ysin x 的对称轴,可知 B 错误; 对于 C,当 x38时,2x42,又2,1 不是 ysin x 的对称中心,可知 C 错误; 对于 D,当 x8,38时,2x42,2, 当 x2,2时,ysin x 单调递增,可知 D 正确 7当 x6,76时,函数 y3sin x2cos2x 的值域为_ 答案 78,2 解析 因为 x6,76,所以 sin x12,1 . 又 y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x) 2sin x14278, 所以当 sin x14时,ymin78,当 sin x 12或 sin x1 时,ym

5、ax2.即函数的值域为78,2 . 8 设函数 f(x)cosx6(0) 若 f(x)f 4对任意的实数 x 都成立, 则 f 4_, 的最小值为_ 答案 1 23 解析 f(x)f 4对任意的实数 x 都成立, 当 x4时,f(x)取得最大值 1. 即 f 4cos461, 462k,kZ, 8k23,kZ. 0,当 k0 时, 取得最小值23. 9已知函数 f(x) 3sin(x)0,|2,若 f(x)的图象关于点12,0 对称,且图象上两个相邻最高点的距离为 . (1)求 f(x); (2)求 f(x)的单调递增区间 解 (1)依题意 T,2, f(x) 3sin(2x), 又 f(x)

6、的图象关于点12,0 对称, 212k,kZ,得 6k,kZ, 又|2,6, f(x) 3sin2x6. (2)令22k2x622k,kZ, 解得3kx6k,kZ, f(x)的单调递增区间为3k,6k ,kZ. 10已知函数 f(x)sin2xsin xa.当 f(x)0 有实数解时,求 a 的取值范围 解 1sin x1,令 tsin x,则1t1.f(x)0 有实数解,即 t2ta0 在1,1内有实数解 at2t,t1,1, 设 h(t)t2tt12214,t1,1, 当 t12时,h(t)min14, 当 t1 时,h(t)max2, a 的取值范围是14,2 . 11设函数 f(x)c

7、osx3,则下列结论错误的是( ) Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图象关于直线 x83对称 Cf(x)的一个零点为 x6 Df(x)在2, 上单调递减 答案 D 解析 f(x)的最小正周期为 2,易知 A 正确; f 83cos833cos 31,为 f(x)的最小值,故 B 正确; f(x)cosx3cosx3, f 6 cos63cos 20,故 C 正确; 由于 f 23cos233cos 1,为 f(x)的最小值,故 f(x)在2, 上不单调,故 D 错误 12已知函数 f(x)2sin(2x)|2,若 f(x)关于 x8对称,则 f(x)的一个单调递增区间可以是( ) A.

8、8,38 B.58,98 C.38,8 D.8,58 答案 D 解析 f(x)关于 x8对称, 则42k,kZ, 4k,kZ, 又|0,0|2的最小正周期为 ,且关于8,0 中心对称,则下列结论正确的是( ) Af(1)f(0)f(2) Bf(0)f(2)f(1) Cf(2)f(0)f(1) Df(2)f(1)f(0) 答案 B 解析 因为 f(x)的最小正周期为 ,所以 T2,得 2,则 f(x)sin(2x), 又 f(x)关于8,0 中心对称, 28k,kZ,即 4k,kZ, 又|0,2, 当 k0 时,4,则 f(x)sin2x4. 令 2k22x42k2,kZ, 解得 xk8,k38

9、,kZ. 故 f(x)在8,38上单调递增 又 f(2)f 342 ,且 03421 都在区间8,38中, 故可得 f(0)f(2)0), 对任意 xR, 都有 f(x)f 3, 并且 f(x)在区间6,3上不单调,则 的最小值是( ) A1 B3 C5 D7 答案 D 解析 由题意,得 f 3是函数 f(x)的最大值, 362k2, 即 6k1,kZ. 0,kN. 当 k0 时,1,f(x)sinx6在6,3上单调递增,不符合题意; 当 k1 时,7,f(x)sin7x6符合题意 的最小值为 7. 16已知函数 f(x)2cos2x4,xR. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)当 x38,4时,方程 f(x)k 恰有两个不同的实数根,求实数 k 的取值范围 解 (1)由余弦函数的单调性, 得 2k2x42k2, kZ, 则38kx78k, kZ,所以函数 f(x)的单调递增区间为38k,78k ,kZ. (2)函数 f( )x 2cos2x4的单调递增区间为38k,78k ,kZ, 单调递减区间为78k,118k ,kZ, 所以函数 f(x)在 38, 8上单调递增,在8,4上单调递减, 且 f 380,f 82,f 4 2, 所以当 0k2 时,函数 yk 与函数 yf(x)的图象有两个公共点, 即当 0k2 时,方程 f(x)k 恰有两个不同的实数根