1、5 5. .2.22.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 一、选择题 1.化简 1sin2160 的结果是( ) A.cos 160 B. |cos 160 | C. cos 160 D.cos 160 答案 D 解析 1sin2160 cos2160 |cos 160 | cos 160 . 2.已知 sin 45，且 为第二象限角，则 tan ( ) A.43 B.34 C.34 D.43 答案 A 解析 sin 45， 为第二象限角，cos 35， tan 43. 3.已知 是三角形的一个内角，且 sin cos 23，那么这个三角形的形状为( ) A.锐角三角形 B.钝角
2、三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 答案 B 解析 sin cos 23，(sin cos )249，即 12sin cos 49， sin cos 5180，2， . 4.化简 sin2cos4sin2cos2 的结果是( ) A.14 B.12 C.1 D.32 答案 C 解析 原式sin2cos2(cos2sin2)sin2cos21. 5.(多选题)若 sin 45，且 为锐角，则下列选项正确的是( ) A.tan 43 B.cos 35 C.sin cos 85 D.sin cos 15 答案 AB 解析 因为 sin 45，且 为锐角，所以 cos 1sin2145235，
3、故B 正确； tan sin cos 453543， 故 A 正确； sin cos 45357585， 故 C 错误；sin cos 45351515，故 D 错误.故选 AB. 二、填空题 6.化简(1tan215 ) cos215 _. 答案 1 解析 (1tan215 )cos215 1sin215cos215 cos215 cos215 sin215cos215 cos215 1. 7.已知 ，32，tan 2，则 cos _. 答案 55 解析 tan 2，sin 2cos ， 又sin2cos21，cos215， 又，32，cos 55. 8.若 0，2)，且 1cos21sin
4、2sin cos ，则 的取值范围是_. 答案 2， 解析 1cos2 1sin2|sin |cos |sin cos ，sin 0 且 cos 0. 又0，2)，2， . 三、解答题 9.已知 tan 2，求下列代数式的值： (1)4sin 2cos 5cos 3sin ；(2)14sin213sin cos 12cos2. 解 (1)原式4tan 253tan 422532611. (2)原式14sin213sin cos 12cos2sin2cos2 14tan213tan 12tan211441321251330. 10.求证：2sin xcos x1cos2xsin2xtan x1t
5、an x1. 证明 法一 左边2sin xcos x（sin2xcos2x）cos2xsin2x （sin2x2sin xcos xcos2x）cos2xsin2x（sin xcos x）2sin2xcos2x （sin xcos x）2（sin xcos x）（sin xcos x） sin xcos xsin xcos xtan x1tan x1右边. 原等式成立. 法二 右边sin xcos x1sin xcos x1sin xcos xsin xcos x； 左边12sin xcos xsin2xcos2x（sin xcos x）2sin2xcos2x （sin xcos x）2（si
6、n xcos x）（sin xcos x） sin xcos xsin xcos x. 左边右边，原等式成立. 11.已知 sin cos 4304，则 sin cos 等于( ) A.23 B.23 C.13 D.13 答案 B 解析 由(sin cos )212sin cos 169， 得 2sin cos 79， 则(sin cos )212sin cos 29， 由 04，知 sin cos 0， 所以 sin cos 23. 12.已知 A 为锐角，lg(1sin A)m，lg 11sin An，则 lg(cos A)的值为( ) A.m1n B.12(mn) C.12m1n D.1
7、2m1n 答案 B 解析 lg(1sin A)m，lg(1sin A)n， 所以 lg(1sin2A)mn， 所以 lg(cos2A)mn， 所以 lg(cos A)12(mn). 13.(1)分别计算 cos46sin46和 cos26sin26，cos3的值，你有什么发现？ (2)计算 cos44sin44，cos24sin24，cos2的值，你有什么发现？ (3)证明：xR，cos2xsin2xcos4xsin4x. (4)推测xR，cos2xsin2x 与 cos 2x 的关系，不需证明. (1)解 cos46sin46 cos26sin26 cos26sin26 cos26sin26
8、341412cos3. (2)解 cos44sin44 cos24sin24 cos24sin24 cos24sin241212 0cos2. (3)证明 cos4xsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)cos2xsin2x. (4)解 推测 cos2xsin2xcos 2x. 14.设 是第三象限角， 问是否存在实数 m， 使得 sin ， cos 是关于 x 的方程 8x26mx2m10 的两个根？若存在，求出实数 m；若不存在，请说明理由. 解 假设存在实数 m 满足条件. 由题设得 36m232(2m1)0， sin cos 34m0(sin 0，cos 0(sin 0，cos 0). 又 sin2cos21， (sin cos )22sin cos 1. 把代入上式得34m222m181， 即 9m28m200， 解得 m12，m2109. m12 不满足条件，舍去； m2109不满足条件，舍去. 故满足题意的实数 m 不存在.