1、江苏省泰州市泰兴市江苏省泰州市泰兴市 20212021- -20222022 学年八年级上期中数学试题学年八年级上期中数学试题 一选择题一选择题(2 分分) 1. 在四个数8，711，2，0(12)中，无理数的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 点 P（-2，-3）向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，则所得到的点的坐标为（ ） A. （-3，0） B. （-1，6） C. （-3，-6） D. （-1，0） 3. 下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是（ ） A. 2,3,4 B. 1 11,2 3 C. 1, 1, 2 D. 0.2,0.5,0.6 4
2、. 如果点2,Pb和点, 3Q a 关于x轴对称，则ab的值是（ ） A. 1 B. 1 C. 5 D. 5 5. 已知点 M（3，2）与点 N（x，y）在同一条平行于 x轴直线上，且点 N 到 y 轴的距离为 5，则点 N的坐标为 （ ） A. （2，5） B. （5，2） C. （5，2） D. （5，2）或（5，2） 6. 如图， 点 A的坐标是 （2， 2） ， 若点 P 在 x 轴上， 且APO 是等腰三角形， 则点 P 的坐标不可能是 （ ） A. （4，0） B. （1，0） C. （22，0） D. （2，0） 二填空题二填空题(2 分分) 7. 64的立方根是_比较大小：3_
3、2 8. 中国航母“辽宁舰”满载排水量67 500t，精确到千位可记作_t （科学记数法表示） 9. 若 a 是5的整数部分，b是它的小数部分，则 ab_ 10. 已知点 P坐标为（2a+1，a3） 点 P 在 y 轴上，则 a_ 11. 已知点 P（a，2a+3）点在第二、四象限的角平分线上，则 a=_ 12. 点 P(5，-12)到原点的距离是_ 13. 在平面直角坐标系中， 以原点为中心， 把点A （4， 6） 逆时针旋转90 ， 得到的点A的坐标为 _ 14. 如图，在 33的网格中，每一个小正方形的边长都是 1，点 A、B、C、D都在格点上，连接 AC，BD相交于 P，那么APB的大
4、小是_ 15. 如图，在四边形ABCD中，90ABCADC ，点 E是AC的中点若45BAD，2BD ，则AC _ 16. 如图，在ABCV中，90A ，ABAC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点MN在移动，且在移动时保持ANBM若6 3BC 则MN的最小值为_ 三解答题（三解答题（68 分）分） 17. 计算： （1）2127|32| ()3 （2）203( 3)16(3.14)8 18. 求出下列 x 的值 （1）16x2490； （2）24（x1）3+30 19. 已知点(1,5)A a和(2,1)Bb试根据下列条件求出 a，b 的值 （1）A，B两点关于 y 轴对称；
5、（2）A，B两点关于 x 轴对称； （3）ABx 轴 20. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=4，BC=5，点 E 在 AD 边上，EFBC，垂足为 F，点 M 在 AB 边上，BM=1，沿过点 M的直线折叠该纸片使点 A 落在线段 EF上的点 A处，折痕为 MN，点 N在 AD 边上 （1）画出折痕 MN； （尺规作图，保留作图痕迹） （2）当 BF=1.8 时，求折痕 MN 的长； 21. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点 A，C的坐标分别为（，5） ， （，3） 请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
6、请作出 ABC 关于 y轴对称的 ABC； 写出点 B的坐标 22. 如图，在ABC中，ACB90，ACBC，延长 AB 至点 D，使 DBAB，连接 CD以 CD为边作等腰直角三角形 CDE，其中DCE90，连接 BE （1）求证：ACDBCE； （2）若 AB2cm，求 BE长 23. 已知，如图，等腰ABC，ABAC，BAC120，ADBC于点 D，点 P是 BA延长线上一点，点 O是线段 AD上一点，OPOC，连接 OB 证明： （1）APO+DCO30； （2）OPC是等边三角形； （3）ABAO+AP 24. 已知三角形 ABC 的三个顶点坐标为 A（4，0） ，B（2，0） ，C
7、（1，2） （1）求 ABC的面积 （2）若 ABD与 ABC面积相等，且点 D 在 y 轴上，求 D 的坐标 25. 如图，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边 ABC 边 AB、BC 上的动点，点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B同时出发，且它们的速度都为 1cm/s （1）连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程中，CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）请求出何时 PBQ 是直角三角形？ 26. 在平面直角坐标系 xoy中，点 A（a4，4） ，点 B（a+1，4） ，点 C（-3，0） （1）若 OA=OB，求点 A的坐标 （2）当点
8、A 到 x 轴、y 轴的距离相等时，在 y 轴上存在点 D，使 AD AC，求点 D的坐标 （3）若ABC是以 AB 为腰等腰三角形时，求 a的值 江苏省泰州市泰兴市江苏省泰州市泰兴市 20212021- -20222022 学年八年级上期中数学试题学年八年级上期中数学试题 一选择题一选择题(2 分分) 1. 在四个数8，711，2，0(12)中，无理数的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的概念解答即可 【详解】解：82 2 ，0(12)=1， 无理数有8，2，共 2 个， 故选 C 【点睛】 此题主要考查了无理数的定义， 注意带根号
9、的要开不尽方才是无理数， 无限不循环小数为无理数 如，6，0.8080080008（每两个 8 之间依次多 1个 0）等形式 2. 点 P（-2，-3）向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，则所得到的点的坐标为（ ） A. （-3，0） B. （-1，6） C. （-3，-6） D. （-1，0） 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：点 P（-2，-3）向左平移 1 个单位后坐标为（-3，-3） ， （-3，-3）向上平移 3 个单位后为（-3，0） ，点 P（-2，-3）向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，则所得到的点的坐标为（-3，0） ，故选 A 考点：坐标的平移
10、3. 下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是（ ） A. 2,3,4 B. 1 11,2 3 C. 1, 1, 2 D. 0.2,0.5,0.6 【答案】C 【解析】 【分析】先找出两小边，求出两小边的平方和，求出大边的平方，再根据勾股定理的逆定理判断即可 【详解】解：A、22+3242，即组成的三角形不是直角三角形，故本选项不符合； B、12+（12）2（13）2，即组成的三角形不是直角三角形，故本选项不符合； C、12+（1）2=（2）2，即组成的三角形是直角三角形，故本选项符合； D、0.22+0.520.62，即组成的三角形不是直角三角形，故本选项不符合； 故选 C 【点睛】本题
11、考查了对勾股定理的逆定理的应用，能理解定理的内容是解此题的关键 4. 如果点2,Pb和点, 3Q a 关于x轴对称，则ab的值是（ ） A. 1 B. 1 C. 5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出 a、b 的值，再计算 a+b的值 【详解】解：点 P（-2，b）和点 Q（a，-3）关于 x 轴对称， 又关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， a=-2，b=3 a+b=1， 故选 B 【点睛】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于 x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于 y轴对称的
12、点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； 5. 已知点 M（3，2）与点 N（x，y）在同一条平行于 x轴的直线上，且点 N到 y轴的距离为 5，则点 N的坐标为 （ ） A. （2，5） B. （5，2） C. （5，2） D. （5，2）或（5，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行于 x轴的直线上的点纵坐标相同，再根据到 y轴的距离为 5，即可判断坐标 【详解】解：点 M（3，2）与点 N（x，y）在同一条平行于 x 轴的直线上， 点 N的纵坐标为 2， 点 N到 y轴的距离为 5， 点 N的横坐标为5， 则点 N的坐标为（5，2）或（5，2） ； 故选：D 【点睛】 本题考查了平面直角
13、坐标系中点的坐标特征， 解题关键是明确平行于 x轴的直线上的点纵坐标相同，到 y轴的距离是横坐标的绝对值 6. 如图， 点 A的坐标是 （2， 2） ， 若点 P 在 x 轴上， 且APO 是等腰三角形， 则点 P 的坐标不可能是 （ ） A. （4，0） B. （1，0） C. （22，0） D. （2，0） 【答案】B 【解析】 分析】 先根据勾股定理求出 OA的长， 再根据APPO； AOAP； AOOP 分别算出 P 点坐标即可 【详解】解：点 A 的坐标是（2，2） ， 根据勾股定理可得：OA22， 若 APPO，可得：P（2，0） ， 若 AOAP可得：P（4，0） ， 若 AOO
14、P，可得：P（22，0）或（22，0） ， 故点 P的坐标不可能是： （1，0） 故选：B 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形，再分情况讨论 二填空题二填空题(2 分分) 7. 64的立方根是_比较大小：3_2 【答案】 . -4 . 【解析】 【分析】根据立方根的意义求解即可，根据两个负数比较大小的方法比较即可 【详解】解：64的立方根是-4； 32 ， 32 ； 故答案为：-4， 【点睛】本题考查了立方根和实数比较大小，解题关键是明确立方根的意义，会比较两个负数大小 8. 中国航母“辽宁舰”满载排水量为 67
15、 500t，精确到千位可记作_t （科学记数法表示） 【答案】6.8104 【解析】 【分析】先精确再用科学记数法的表示即可 详解】解：将 67500 这个数据精确到千位是 68千，用科学记数法表示为：6.8104 故答案是：6.8104 点睛】 此题主要考查了科学记数法与近似数， 解题关键是明确近似数的表示和把一个数记成 a10n（1|a|10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法 9. 若 a 是5的整数部分，b是它的小数部分，则 ab_ 【答案】4-5 【解析】 【分析】先确定5的范围，再求出 a、b的值，最后代入求出即可 【详解】解：253， 又a 是5的整数部分，b 是它的
16、小数部分， a=2，b=5-2， a-b=2-（5-2）=4-5， 故答案为：4-5 【点睛】本题考查了估算无理数的性质和求代数式的值，能确定出5的范围是解题的关键 10. 已知点 P的坐标为（2a+1，a3） 点 P在 y轴上，则 a_ 【答案】12#-0.5 【解析】 【分析】根据 y 轴上的点的横坐标为零，可得关于 a 的一元一次方程，根据解方程，可得答案； 【详解】点 P（2a+1，a3）在 y轴上， 210a ， 12a ； 故答案是：12； 【点睛】本题主要考查了坐标轴上点的特征，准确计算是解题的关键 11. 已知点 P（a，2a+3）点在第二、四象限的角平分线上，则 a=_ 【答
17、案】-1 【解析】 【详解】由点 P（a，2a+3）点在第二、四象限的角平分线上，得 a+2a+3=0， 解得 a=-1 故答案为-1 考点：点的坐标 12. 点 P(5，-12)到原点的距离是_ 【答案】13 【解析】 【详解】解：如图，设原点为 O，作 PAx 轴于点 A， 那么 PA=12，OA=5， 根据勾股定理可得 OP=22PAOA=13 故答案为：13 解答此题的关键是构造直角三角形利用勾股定理来求斜边 13. 在平面直角坐标系中， 以原点为中心， 把点A （4， 6） 逆时针旋转90 ， 得到的点A的坐标为 _ 【答案】 （6，4） 【解析】 【分析】分别过 A、A作 x 轴的
18、垂线，垂足分别为 C、D，可证明AOCOAD，可求得 AD和 OA的长，则可求得 A点坐标 【详解】解：如图，分别过 A、A作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D， A（4，6） ， OC4，AC6， 把点 A（4，6）逆时针旋转 90得到点 A， OAOA，且AOA90， AOD+AOCAOC+CAO90， AODCAO， 在AOC和OAD中 ACOADOOACAODOAOAD， AOCOAD（AAS） ， ODAC6，ADOC4， A（6，4） ， 故答案为： （6，4） 【点睛】 此题主要考查了坐标与图形变换旋转， 解答此题的关键是要明确：旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小
19、14. 如图，在 33的网格中，每一个小正方形的边长都是 1，点 A、B、C、D都在格点上，连接 AC，BD相交于 P，那么APB的大小是_ 【答案】45#45度 【解析】 【分析】将 AC向右平移一个单位得到 BM，如图，连接 DM，根据勾股定理求出 DM、BM、BD，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出DMB是等腰直角三角形，求出DBM45，再根据平行线的性质得出即可 【详解】解：将 AC向右平移一个单位得到 BM，连接 DM， BMAC， 由勾股定理得：DM22125，BM22125，BD223110， DMBM，DM2+BM2BD2， DMB 是等腰直角三角形， DBM45， A
20、CBM， APBDBM45， 故答案为：45 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质，能构造直角三角形是解此题的关键 15. 如图，在四边形ABCD中，90ABCADC ，点 E是AC的中点若45BAD，2BD ，则AC _ 【答案】2 2 【解析】 【分析】根据中点的性质、直角三角形的性质求出 DE=BE=2，从而可得 AC 【详解】解：ABC=ADC=90 ，E 是对角线 AC的中点， BE=DE=AE=EC=12AC， ABE=BAE，ADE=DAE， BEC=ABE+BAE，DEC=ADE+DAE，BED=BEC+DEC，BAE+DAE=BAD=45 ， BED=2BAE
21、+2DAE=2BAD， BAD=45 ， BED=90 ， BD=2， BE=DE=222=2， AC=2BE=2 2， 故答案为：2 2 【点睛】此题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是根据中点的性质、直角三角形的性质得出 BE=DE=AE=EC=12AC 16. 如图，在ABCV中，90A ，ABAC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点MN在移动，且在移动时保持ANBM若6 3BC 则MN的最小值为_ 【答案】3 3 【解析】 【分析】 连接 OA， 取 MN的中点 D， 连接 OD， AD， 证明OANOBM， 可得 MN=OD+AD， 而
22、OD+ADOA，即 OA就是 MN 的最小值 【详解】解：连接 OA，取 MN 的中点 D，连接 OD，AD， 在ABC 中，A=90 ，AB=AC，O是 BC 的中点， AO=BO=CO，B=C=45 ； 在OAN和 OBM 中， AOBONAOBANBM ， OANOBM（SAS） ， ON=OM，AON=BOM； 又BOM+AOM=90 ， NOM=AON+AOM=90 ， OMN 是等腰直角三角形， MON=NAM=90 ， OD=AD=12MN， MN=OD+AD， OD+ADAO， MNAO， MN 的最小值为 AO， BC=6 3， AO=3 3， MN 的最小值为3 3， 故答
23、案为：3 3 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理、三角形三边关系等知识点，难度适中“中点”是本题的题眼，在初中阶段，与“中点”的几何知识并不多，同学们可自行总结一下“中点”有几种用法，今后再遇到与“中点”有关的几何题目，就会反应迅速，作出辅助线也就很容易 三解答题（三解答题（68 分）分） 17. 计算： （1）2127|32| ()3 （2）203( 3)16(3.14)8 【答案】 （1）2 311； （2）4 【解析】 【分析】 （1）原式首先化简二次根式、绝对值以及负整数指数幂，最后再合并同类二次根式即可得到结果； （2）原式首先
24、化简二次根式、零指数幂以及立方根，最后再进行加减运算即可得到结果 【详解】解： （1）2127|32| ()3 =3 3239 =2 311； （2）203( 3)16(3.14)8 =34 1 2 =4 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解答本题的关键 18. 求出下列 x 的值 （1）16x2490； （2）24（x1）3+30 【答案】 （1）x74； （2）x12 【解析】 【分析】 （1）先移项，再两边都除以 16，继而两边开方即可得； （2）先移项，再两边都除以 24，继而两边开立方，最后解方程即可得 【详解】 （1）16x2490， 16x249， x
25、24916， 则 x74； （2）24（x1）3+30， 24（x1）33， 则（x1）318， x112， 解得：x12 【点睛】本题主要考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义 19. 已知点(1,5)A a和(2,1)Bb试根据下列条件求出 a，b 的值 （1）A，B两点关于 y 轴对称； （2）A，B两点关于 x 轴对称； （3）ABx 轴 【答案】 （1）1a，6b； （2）3a ，4b； （3）3a，6b 【解析】 【分析】 （1）关于 y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，据此可得 a，b 的值； （2）关于 x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数，据此可得 a，b的值； （
26、3）ABx 轴，即两点的纵坐标相同，横坐标不相同，据此可得 a，b的值 【详解】解： （1）因为 A，B两点关于 y轴对称， 所以1215ab ， 则1a，6b （2）因为 A，B两点关于 x 轴对称， 所以1215ab 则3a ，4b （3因为/ABx轴 则满足15b ，即6b， 12a ，即3a 【点睛】本题考查了关于 x 轴的对称点的坐标特点以及关于 y轴的对称点的坐标特点，即点 P(x,y)关于 x轴对称点 P 的坐标是(x,-y)，关于 y轴对称点 P 的坐标是(-x,y) 20. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=4，BC=5，点 E 在 AD 边上，EFBC，垂足为 F，点
27、M 在 AB 边上，BM=1，沿过点 M的直线折叠该纸片使点 A 落在线段 EF上的点 A处，折痕为 MN，点 N在 AD 边上 （1）画出折痕 MN； （尺规作图，保留作图痕迹） （2）当 BF=1.8 时，求折痕 MN 的长； 【答案】 （1）见解析； （2）10 【解析】 【分析】 （1）以 M为圆心，MA 长为半径画弧，交 EF于 A，作AMA的角平分线，交 AD 于 N，连接 NA，MA，则 MN是折痕； （2）过点 M 作 MHEF于 H，得出 BF=MH=AE=1.8，BM=GF=1，EG=AM=3，根据勾股定理求得 AG，再设 AN=x，则 NE=1.8-x，NA=x，在 Rt
28、AEN 中，根据勾股定理得到（1.8-x）2+0.62=x2，求得 AN的长，最后根据勾股定理求得 MN的长即可； 【详解】解： （1）如图所示，折痕 MN即为所求； ； （2）过点 M 作 MGEF于 G，则 BF=MG=AE=1.8，BM=GF=1，EG=AM=3， 由折叠得，MA=MA=3， RtMAG 中，AG=2231.8=2 4， EA=3-2.4=0.6， 设 AN=x，则 NE=1.8-x，NA=x， RtAEN 中， （1.8-x）2+0.62=x2， 解得 x=1， AN=1， RtAMN中，MN=2210AMAN 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及折叠的性质，解题时注意
29、：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 21. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点 A，C的坐标分别为（，5） ， （，3） 请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； 请作出ABC关于 y轴对称的ABC； 写出点 B的坐标 【答案】如图，B(2,1) 【解析】 【分析】 （1）易得 y轴在 C的右边一个单位，x 轴在 C 的下方 3个单位； （2）作出 A，B，C 三点关于 y轴对称的三点，顺次连接即可； （3）根据所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标 【详解】
30、解： （1）如图； （2）如图； （3）点 B的坐标为（2，1） 22. 如图，在ABC中，ACB90，ACBC，延长 AB 至点 D，使 DBAB，连接 CD以 CD为边作等腰直角三角形 CDE，其中DCE90，连接 BE （1）求证：ACDBCE； （2）若 AB2cm，求 BE的长 【答案】 （1）见解析， （2）4 cm 【解析】 【分析】 （1）由“SAS”可证ACDBCE； （2）由全等三角形的性质可求 BEAD4cm 【详解】 （1）证明：DCEACB90， ACDBCE， 在ACD和BCE 中， ACBCACDBCECDCE， ACDBCE（SAS） ； （2）解：DBAB2
31、cm， AD4cm， ACDBCE， BEAD4cm 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键 23. 已知，如图，等腰ABC，ABAC，BAC120，ADBC于点 D，点 P是 BA延长线上一点，点 O是线段 AD上一点，OPOC，连接 OB 证明： （1）APO+DCO30； （2）OPC是等边三角形； （3）ABAO+AP 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）见解析 【解析】 【 分 析 】（ 1 ） 利 用 等 边 对 等 角 ， 即 可 证 得 ： APO=ABO ， DCO=DBO ， 则APO+DCO=ABO+DBO=
32、ABD，据此即可求解； （2）证明POC=60 且 OP=OC，即可证得OPC是等边三角形； （3）首先证明OPACPE，则 AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP 【详解】证明： （1）AB=AC，ADBC， BD=CD，BAD=12BAC=12 120 =60 ， OB=OC，ABC=90 -BAD=30 OP=OC， OB=OC=OP， APO=ABO，DCO=DBO， APO+DCO=ABO+DBO=ABD=30 （2）APC+DCP+PBC=180 ， APC+DCP=150 ， APO+DCO=30 ， OPC+OCP=120 ， POC=180 -（OPC+OCP）=60 ，
33、OP=OC， OPC是等边三角形 （3）如图，在 AC 上截取 AE=PA，连接 PE， PAE=180 -BAC=60 ， APE是等边三角形， PEA=APE=60 ，PE=PA， APO+OPE=60 ， OPE+CPE=CPO=60 ， APO=CPE， OP=CP， 在OPA 和CPE 中， PAPEAPOCPEOPCP， OPACPE（SAS） ， AO=CE， AC=AE+CE=AO+AP 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键 24. 已知三角形 ABC 的三个顶点坐标为 A（4，0） ，B
34、（2，0） ，C（1，2） （1）求ABC面积 （2）若ABD与ABC面积相等，且点 D在 y 轴上，求 D 的坐标 【答案】 （1）6， （2） （0，2）或（0，-2） 【解析】 【分析】 （1）过点 C作 CGAB 于 G，根据三角形面积公式计算即可； （2）根据ABD与ABC面积相等，则点 D 纵坐标与点 C的纵坐标绝对值相同即可求 【详解】解： （1）过点 C作 CGAB于 G， 三角形 ABC的三个顶点坐标为 A（4，0） ，B（2，0） ，C（1，2） ， AB=2-（-4）=6，CG=2， 116 2622ABCSAB CG g （2）ABD与ABC面积相等， CG=OD=2，
35、 D 的坐标为（0，2）或（0，-2） ， 【点睛】 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标， 解题关键是树立数形结合思想，利用点的坐标求线段长 25. 如图，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边ABC 边 AB、BC 上的动点，点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B同时出发，且它们的速度都为 1cm/s （1）连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程中，CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）请求出何时PBQ 是直角三角形？ 【答案】 （1）不变，CMQ=60 ； （2）当第43秒或第83秒时，PBQ 为直角三角形 【解析】 【分析】（1） 先根据全
36、等三角形的判定定理得出ABQCAP， 由全等三角形的性质可知BAQ=ACP，故CMQ=ACP+CAM=BAQ+CAM=BAC=60 ，故可得出结论； （2）设时间为 t 秒，则 AP=BQ=tcm，PB=（4t）cm，当PQB=90 时，因为B=60 ，所以 PB=2BQ，即 4t=2t 故可得出 t 的值，当BPQ=90 时，同理可得 BQ=2BP，即 t=2（4t） ，由此两种情况即可得出结论 【详解】解： （1）不变，CMQ=60 ABC 是等边三角形， 等边三角形中，AB=AC，B=CAP=60 又点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s AP=B
37、Q， ABQCAP（SAS） ， BAQ=ACP， CMQ=ACP+CAM=BAQ+CAM=BAC=60 ； （2）设时间为 t 秒，则 AP=BQ=tcm，PB=（4t）cm， 当PQB=90 时， B=60 ， PB=2BQ，即 4t=2t，t=43， 当BPQ=90 时， B=60 ， BQ=2BP，得 t=2（4t） ，t=83， 当第43秒或第83秒时，PBQ 为直角三角形 26. 在平面直角坐标系 xoy中，点 A（a4，4） ，点 B（a+1，4） ，点 C（-3，0） （1）若 OA=OB，求点 A的坐标 （2）当点 A 到 x 轴、y 轴的距离相等时，在 y 轴上存在点 D，
38、使 AD AC，求点 D的坐标 （3）若ABC是以 AB 为腰的等腰三角形时，求 a的值 【答案】 （1） （-2.5，4） ， （2） （0，5）或（0，11） （3）4或-2 或-1 或-7 【解析】 【分析】 （1）根据 OA=OB，可得两点横坐标绝对值相等，列方程可求； （2）根据点 A 到 x轴、y轴的距离相等，求出点 A的坐标，过点 A作坐标轴的垂线，垂足分别为 M、N，证明AMDANC即可求坐标； （3）求出 AB 长，分 AB=AC 和 AB=BC 两种情况，勾股定理列出方程即可 【详解】 （1）OA=OB，点 A（a4，4） ，点 B（a+1，4） ， 点 A与点 B重合或关
39、于y轴对称， 当点 A与点 B重合时，a4=a+1，方程无解； 点 A 与点 B 关于y轴对称时，a4+a+1=0，解得 a=1.5， 点 A 的坐标为（-2.5，4） ； （2）点 A 到 x 轴、y 轴的距离相等， 点 A的坐标为（4，4）或（-4，4） ； 当点 A的坐标为（4，4）时， 过点 A作坐标轴的垂线，垂足分别为 M、N， AMD=ANC=90， MAN=90， AD AC， DAC=90， CAN=DAM， AM=AN， AMDANC， DM=CN， 点 C（-3，0） ， DM=CN=7， 点 D的坐标为（0，11） ， 当点 A的坐标为（-4，4）时， 同理AMDANC， DM=CN=1， 点 D的坐标为（0，5） ， 综上，点 D的坐标为（0，5）或（0，11） ， （3）点 A（a4，4） ，点 B（a+1，4） ， 145ABaa ， 当 AB=AC时， 222(43)45a ， 解得，14a ，22a ； 当 AB=BC时， 222(1 3)45a ， 解得，31a ，47a ； 综上，a的值为 4或-2 或-1 或-7 【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据题目条件，构建全等，利用点的坐标建立方程