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江苏省泰州市泰兴市二校联考2021-2022学年八年级上期中数学试题(含答案解析)

1、江苏省泰州市泰兴市江苏省泰州市泰兴市 20212021- -20222022 学年八年级上期中数学试题学年八年级上期中数学试题 一选择题一选择题(2 分分) 1. 在四个数8,711,2,0(12)中,无理数的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 点 P(-2,-3)向左平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位,则所得到的点的坐标为( ) A. (-3,0) B. (-1,6) C. (-3,-6) D. (-1,0) 3. 下列给出的三条线段的长,能组成直角三角形的是( ) A. 2,3,4 B. 1 11,2 3 C. 1, 1, 2 D. 0.2,0.5,0.6 4

2、. 如果点2,Pb和点, 3Q a 关于x轴对称,则ab的值是( ) A. 1 B. 1 C. 5 D. 5 5. 已知点 M(3,2)与点 N(x,y)在同一条平行于 x轴直线上,且点 N 到 y 轴的距离为 5,则点 N的坐标为 ( ) A. (2,5) B. (5,2) C. (5,2) D. (5,2)或(5,2) 6. 如图, 点 A的坐标是 (2, 2) , 若点 P 在 x 轴上, 且APO 是等腰三角形, 则点 P 的坐标不可能是 ( ) A. (4,0) B. (1,0) C. (22,0) D. (2,0) 二填空题二填空题(2 分分) 7. 64的立方根是_比较大小:3_

3、2 8. 中国航母“辽宁舰”满载排水量67 500t,精确到千位可记作_t (科学记数法表示) 9. 若 a 是5的整数部分,b是它的小数部分,则 ab_ 10. 已知点 P坐标为(2a+1,a3) 点 P 在 y 轴上,则 a_ 11. 已知点 P(a,2a+3)点在第二、四象限的角平分线上,则 a=_ 12. 点 P(5,-12)到原点的距离是_ 13. 在平面直角坐标系中, 以原点为中心, 把点A (4, 6) 逆时针旋转90 , 得到的点A的坐标为 _ 14. 如图,在 33的网格中,每一个小正方形的边长都是 1,点 A、B、C、D都在格点上,连接 AC,BD相交于 P,那么APB的大

4、小是_ 15. 如图,在四边形ABCD中,90ABCADC ,点 E是AC的中点若45BAD,2BD ,则AC _ 16. 如图,在ABCV中,90A ,ABAC,O是BC的中点,如果在AB和AC上分别有一个动点MN在移动,且在移动时保持ANBM若6 3BC 则MN的最小值为_ 三解答题(三解答题(68 分)分) 17. 计算: (1)2127|32| ()3 (2)203( 3)16(3.14)8 18. 求出下列 x 的值 (1)16x2490; (2)24(x1)3+30 19. 已知点(1,5)A a和(2,1)Bb试根据下列条件求出 a,b 的值 (1)A,B两点关于 y 轴对称;

5、(2)A,B两点关于 x 轴对称; (3)ABx 轴 20. 如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB=4,BC=5,点 E 在 AD 边上,EFBC,垂足为 F,点 M 在 AB 边上,BM=1,沿过点 M的直线折叠该纸片使点 A 落在线段 EF上的点 A处,折痕为 MN,点 N在 AD 边上 (1)画出折痕 MN; (尺规作图,保留作图痕迹) (2)当 BF=1.8 时,求折痕 MN 的长; 21. 在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长为 1,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC 的顶点 A,C的坐标分别为(,5) , (,3) 请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系;

6、请作出 ABC 关于 y轴对称的 ABC; 写出点 B的坐标 22. 如图,在ABC中,ACB90,ACBC,延长 AB 至点 D,使 DBAB,连接 CD以 CD为边作等腰直角三角形 CDE,其中DCE90,连接 BE (1)求证:ACDBCE; (2)若 AB2cm,求 BE长 23. 已知,如图,等腰ABC,ABAC,BAC120,ADBC于点 D,点 P是 BA延长线上一点,点 O是线段 AD上一点,OPOC,连接 OB 证明: (1)APO+DCO30; (2)OPC是等边三角形; (3)ABAO+AP 24. 已知三角形 ABC 的三个顶点坐标为 A(4,0) ,B(2,0) ,C

7、(1,2) (1)求 ABC的面积 (2)若 ABD与 ABC面积相等,且点 D 在 y 轴上,求 D 的坐标 25. 如图,点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边 ABC 边 AB、BC 上的动点,点 P 从顶点 A,点 Q 从顶点 B同时出发,且它们的速度都为 1cm/s (1)连接 AQ、CP 交于点 M,则在 P、Q 运动的过程中,CMQ 变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数; (2)请求出何时 PBQ 是直角三角形? 26. 在平面直角坐标系 xoy中,点 A(a4,4) ,点 B(a+1,4) ,点 C(-3,0) (1)若 OA=OB,求点 A的坐标 (2)当点

8、A 到 x 轴、y 轴的距离相等时,在 y 轴上存在点 D,使 AD AC,求点 D的坐标 (3)若ABC是以 AB 为腰等腰三角形时,求 a的值 江苏省泰州市泰兴市江苏省泰州市泰兴市 20212021- -20222022 学年八年级上期中数学试题学年八年级上期中数学试题 一选择题一选择题(2 分分) 1. 在四个数8,711,2,0(12)中,无理数的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的概念解答即可 【详解】解:82 2 ,0(12)=1, 无理数有8,2,共 2 个, 故选 C 【点睛】 此题主要考查了无理数的定义, 注意带根号

9、的要开不尽方才是无理数, 无限不循环小数为无理数 如,6,0.8080080008(每两个 8 之间依次多 1个 0)等形式 2. 点 P(-2,-3)向左平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位,则所得到的点的坐标为( ) A. (-3,0) B. (-1,6) C. (-3,-6) D. (-1,0) 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析:点 P(-2,-3)向左平移 1 个单位后坐标为(-3,-3) , (-3,-3)向上平移 3 个单位后为(-3,0) ,点 P(-2,-3)向左平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位,则所得到的点的坐标为(-3,0) ,故选 A 考点:坐标的平移

10、3. 下列给出的三条线段的长,能组成直角三角形的是( ) A. 2,3,4 B. 1 11,2 3 C. 1, 1, 2 D. 0.2,0.5,0.6 【答案】C 【解析】 【分析】先找出两小边,求出两小边的平方和,求出大边的平方,再根据勾股定理的逆定理判断即可 【详解】解:A、22+3242,即组成的三角形不是直角三角形,故本选项不符合; B、12+(12)2(13)2,即组成的三角形不是直角三角形,故本选项不符合; C、12+(1)2=(2)2,即组成的三角形是直角三角形,故本选项符合; D、0.22+0.520.62,即组成的三角形不是直角三角形,故本选项不符合; 故选 C 【点睛】本题

11、考查了对勾股定理的逆定理的应用,能理解定理的内容是解此题的关键 4. 如果点2,Pb和点, 3Q a 关于x轴对称,则ab的值是( ) A. 1 B. 1 C. 5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于 x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数,求出 a、b 的值,再计算 a+b的值 【详解】解:点 P(-2,b)和点 Q(a,-3)关于 x 轴对称, 又关于 x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数, a=-2,b=3 a+b=1, 故选 B 【点睛】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律: (1)关于 x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数; (2)关于 y轴对称的

12、点,纵坐标相同,横坐标互为相反数; 5. 已知点 M(3,2)与点 N(x,y)在同一条平行于 x轴的直线上,且点 N到 y轴的距离为 5,则点 N的坐标为 ( ) A. (2,5) B. (5,2) C. (5,2) D. (5,2)或(5,2) 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行于 x轴的直线上的点纵坐标相同,再根据到 y轴的距离为 5,即可判断坐标 【详解】解:点 M(3,2)与点 N(x,y)在同一条平行于 x 轴的直线上, 点 N的纵坐标为 2, 点 N到 y轴的距离为 5, 点 N的横坐标为5, 则点 N的坐标为(5,2)或(5,2) ; 故选:D 【点睛】 本题考查了平面直角

13、坐标系中点的坐标特征, 解题关键是明确平行于 x轴的直线上的点纵坐标相同,到 y轴的距离是横坐标的绝对值 6. 如图, 点 A的坐标是 (2, 2) , 若点 P 在 x 轴上, 且APO 是等腰三角形, 则点 P 的坐标不可能是 ( ) A. (4,0) B. (1,0) C. (22,0) D. (2,0) 【答案】B 【解析】 分析】 先根据勾股定理求出 OA的长, 再根据APPO; AOAP; AOOP 分别算出 P 点坐标即可 【详解】解:点 A 的坐标是(2,2) , 根据勾股定理可得:OA22, 若 APPO,可得:P(2,0) , 若 AOAP可得:P(4,0) , 若 AOO

14、P,可得:P(22,0)或(22,0) , 故点 P的坐标不可能是: (1,0) 故选:B 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质,等腰三角形的判定,关键是掌握等腰三角形的判定:有两边相等的三角形是等腰三角形,再分情况讨论 二填空题二填空题(2 分分) 7. 64的立方根是_比较大小:3_2 【答案】 . -4 . 【解析】 【分析】根据立方根的意义求解即可,根据两个负数比较大小的方法比较即可 【详解】解:64的立方根是-4; 32 , 32 ; 故答案为:-4, 【点睛】本题考查了立方根和实数比较大小,解题关键是明确立方根的意义,会比较两个负数大小 8. 中国航母“辽宁舰”满载排水量为 67

15、 500t,精确到千位可记作_t (科学记数法表示) 【答案】6.8104 【解析】 【分析】先精确再用科学记数法的表示即可 详解】解:将 67500 这个数据精确到千位是 68千,用科学记数法表示为:6.8104 故答案是:6.8104 点睛】 此题主要考查了科学记数法与近似数, 解题关键是明确近似数的表示和把一个数记成 a10n(1|a|10,n为整数)的形式,这种记数的方法叫做科学记数法 9. 若 a 是5的整数部分,b是它的小数部分,则 ab_ 【答案】4-5 【解析】 【分析】先确定5的范围,再求出 a、b的值,最后代入求出即可 【详解】解:253, 又a 是5的整数部分,b 是它的

16、小数部分, a=2,b=5-2, a-b=2-(5-2)=4-5, 故答案为:4-5 【点睛】本题考查了估算无理数的性质和求代数式的值,能确定出5的范围是解题的关键 10. 已知点 P的坐标为(2a+1,a3) 点 P在 y轴上,则 a_ 【答案】12#-0.5 【解析】 【分析】根据 y 轴上的点的横坐标为零,可得关于 a 的一元一次方程,根据解方程,可得答案; 【详解】点 P(2a+1,a3)在 y轴上, 210a , 12a ; 故答案是:12; 【点睛】本题主要考查了坐标轴上点的特征,准确计算是解题的关键 11. 已知点 P(a,2a+3)点在第二、四象限的角平分线上,则 a=_ 【答

17、案】-1 【解析】 【详解】由点 P(a,2a+3)点在第二、四象限的角平分线上,得 a+2a+3=0, 解得 a=-1 故答案为-1 考点:点的坐标 12. 点 P(5,-12)到原点的距离是_ 【答案】13 【解析】 【详解】解:如图,设原点为 O,作 PAx 轴于点 A, 那么 PA=12,OA=5, 根据勾股定理可得 OP=22PAOA=13 故答案为:13 解答此题的关键是构造直角三角形利用勾股定理来求斜边 13. 在平面直角坐标系中, 以原点为中心, 把点A (4, 6) 逆时针旋转90 , 得到的点A的坐标为 _ 【答案】 (6,4) 【解析】 【分析】分别过 A、A作 x 轴的

18、垂线,垂足分别为 C、D,可证明AOCOAD,可求得 AD和 OA的长,则可求得 A点坐标 【详解】解:如图,分别过 A、A作 x 轴的垂线,垂足分别为 C、D, A(4,6) , OC4,AC6, 把点 A(4,6)逆时针旋转 90得到点 A, OAOA,且AOA90, AOD+AOCAOC+CAO90, AODCAO, 在AOC和OAD中 ACOADOOACAODOAOAD, AOCOAD(AAS) , ODAC6,ADOC4, A(6,4) , 故答案为: (6,4) 【点睛】 此题主要考查了坐标与图形变换旋转, 解答此题的关键是要明确:旋转变换只改变图形的位置,不改变图形的形状与大小

19、14. 如图,在 33的网格中,每一个小正方形的边长都是 1,点 A、B、C、D都在格点上,连接 AC,BD相交于 P,那么APB的大小是_ 【答案】45#45度 【解析】 【分析】将 AC向右平移一个单位得到 BM,如图,连接 DM,根据勾股定理求出 DM、BM、BD,根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出DMB是等腰直角三角形,求出DBM45,再根据平行线的性质得出即可 【详解】解:将 AC向右平移一个单位得到 BM,连接 DM, BMAC, 由勾股定理得:DM22125,BM22125,BD223110, DMBM,DM2+BM2BD2, DMB 是等腰直角三角形, DBM45, A

20、CBM, APBDBM45, 故答案为:45 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理,等腰三角形的性质,能构造直角三角形是解此题的关键 15. 如图,在四边形ABCD中,90ABCADC ,点 E是AC的中点若45BAD,2BD ,则AC _ 【答案】2 2 【解析】 【分析】根据中点的性质、直角三角形的性质求出 DE=BE=2,从而可得 AC 【详解】解:ABC=ADC=90 ,E 是对角线 AC的中点, BE=DE=AE=EC=12AC, ABE=BAE,ADE=DAE, BEC=ABE+BAE,DEC=ADE+DAE,BED=BEC+DEC,BAE+DAE=BAD=45 , BED=2BAE

21、+2DAE=2BAD, BAD=45 , BED=90 , BD=2, BE=DE=222=2, AC=2BE=2 2, 故答案为:2 2 【点睛】此题考查了直角三角形的性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,关键是根据中点的性质、直角三角形的性质得出 BE=DE=AE=EC=12AC 16. 如图,在ABCV中,90A ,ABAC,O是BC的中点,如果在AB和AC上分别有一个动点MN在移动,且在移动时保持ANBM若6 3BC 则MN的最小值为_ 【答案】3 3 【解析】 【分析】 连接 OA, 取 MN的中点 D, 连接 OD, AD, 证明OANOBM, 可得 MN=OD+AD, 而

22、OD+ADOA,即 OA就是 MN 的最小值 【详解】解:连接 OA,取 MN 的中点 D,连接 OD,AD, 在ABC 中,A=90 ,AB=AC,O是 BC 的中点, AO=BO=CO,B=C=45 ; 在OAN和 OBM 中, AOBONAOBANBM , OANOBM(SAS) , ON=OM,AON=BOM; 又BOM+AOM=90 , NOM=AON+AOM=90 , OMN 是等腰直角三角形, MON=NAM=90 , OD=AD=12MN, MN=OD+AD, OD+ADAO, MNAO, MN 的最小值为 AO, BC=6 3, AO=3 3, MN 的最小值为3 3, 故答

23、案为:3 3 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理、三角形三边关系等知识点,难度适中“中点”是本题的题眼,在初中阶段,与“中点”的几何知识并不多,同学们可自行总结一下“中点”有几种用法,今后再遇到与“中点”有关的几何题目,就会反应迅速,作出辅助线也就很容易 三解答题(三解答题(68 分)分) 17. 计算: (1)2127|32| ()3 (2)203( 3)16(3.14)8 【答案】 (1)2 311; (2)4 【解析】 【分析】 (1)原式首先化简二次根式、绝对值以及负整数指数幂,最后再合并同类二次根式即可得到结果; (2)原式首先

24、化简二次根式、零指数幂以及立方根,最后再进行加减运算即可得到结果 【详解】解: (1)2127|32| ()3 =3 3239 =2 311; (2)203( 3)16(3.14)8 =34 1 2 =4 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算,熟练掌握运算法则和顺序是解答本题的关键 18. 求出下列 x 的值 (1)16x2490; (2)24(x1)3+30 【答案】 (1)x74; (2)x12 【解析】 【分析】 (1)先移项,再两边都除以 16,继而两边开方即可得; (2)先移项,再两边都除以 24,继而两边开立方,最后解方程即可得 【详解】 (1)16x2490, 16x249, x

25、24916, 则 x74; (2)24(x1)3+30, 24(x1)33, 则(x1)318, x112, 解得:x12 【点睛】本题主要考查了平方根,解题的关键是掌握平方根的定义 19. 已知点(1,5)A a和(2,1)Bb试根据下列条件求出 a,b 的值 (1)A,B两点关于 y 轴对称; (2)A,B两点关于 x 轴对称; (3)ABx 轴 【答案】 (1)1a,6b; (2)3a ,4b; (3)3a,6b 【解析】 【分析】 (1)关于 y轴对称,纵坐标不变,横坐标变为相反数,据此可得 a,b 的值; (2)关于 x轴对称,横坐标不变,纵坐标变为相反数,据此可得 a,b的值; (

26、3)ABx 轴,即两点的纵坐标相同,横坐标不相同,据此可得 a,b的值 【详解】解: (1)因为 A,B两点关于 y轴对称, 所以1215ab , 则1a,6b (2)因为 A,B两点关于 x 轴对称, 所以1215ab 则3a ,4b (3因为/ABx轴 则满足15b ,即6b, 12a ,即3a 【点睛】本题考查了关于 x 轴的对称点的坐标特点以及关于 y轴的对称点的坐标特点,即点 P(x,y)关于 x轴对称点 P 的坐标是(x,-y),关于 y轴对称点 P 的坐标是(-x,y) 20. 如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB=4,BC=5,点 E 在 AD 边上,EFBC,垂足为 F,点

27、M 在 AB 边上,BM=1,沿过点 M的直线折叠该纸片使点 A 落在线段 EF上的点 A处,折痕为 MN,点 N在 AD 边上 (1)画出折痕 MN; (尺规作图,保留作图痕迹) (2)当 BF=1.8 时,求折痕 MN 的长; 【答案】 (1)见解析; (2)10 【解析】 【分析】 (1)以 M为圆心,MA 长为半径画弧,交 EF于 A,作AMA的角平分线,交 AD 于 N,连接 NA,MA,则 MN是折痕; (2)过点 M 作 MHEF于 H,得出 BF=MH=AE=1.8,BM=GF=1,EG=AM=3,根据勾股定理求得 AG,再设 AN=x,则 NE=1.8-x,NA=x,在 Rt

28、AEN 中,根据勾股定理得到(1.8-x)2+0.62=x2,求得 AN的长,最后根据勾股定理求得 MN的长即可; 【详解】解: (1)如图所示,折痕 MN即为所求; ; (2)过点 M 作 MGEF于 G,则 BF=MG=AE=1.8,BM=GF=1,EG=AM=3, 由折叠得,MA=MA=3, RtMAG 中,AG=2231.8=2 4, EA=3-2.4=0.6, 设 AN=x,则 NE=1.8-x,NA=x, RtAEN 中, (1.8-x)2+0.62=x2, 解得 x=1, AN=1, RtAMN中,MN=2210AMAN 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及折叠的性质,解题时注意

29、:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等 21. 在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长为 1,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC 的顶点 A,C的坐标分别为(,5) , (,3) 请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系; 请作出ABC关于 y轴对称的ABC; 写出点 B的坐标 【答案】如图,B(2,1) 【解析】 【分析】 (1)易得 y轴在 C的右边一个单位,x 轴在 C 的下方 3个单位; (2)作出 A,B,C 三点关于 y轴对称的三点,顺次连接即可; (3)根据所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标 【详解】

30、解: (1)如图; (2)如图; (3)点 B的坐标为(2,1) 22. 如图,在ABC中,ACB90,ACBC,延长 AB 至点 D,使 DBAB,连接 CD以 CD为边作等腰直角三角形 CDE,其中DCE90,连接 BE (1)求证:ACDBCE; (2)若 AB2cm,求 BE的长 【答案】 (1)见解析, (2)4 cm 【解析】 【分析】 (1)由“SAS”可证ACDBCE; (2)由全等三角形的性质可求 BEAD4cm 【详解】 (1)证明:DCEACB90, ACDBCE, 在ACD和BCE 中, ACBCACDBCECDCE, ACDBCE(SAS) ; (2)解:DBAB2

31、cm, AD4cm, ACDBCE, BEAD4cm 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键 23. 已知,如图,等腰ABC,ABAC,BAC120,ADBC于点 D,点 P是 BA延长线上一点,点 O是线段 AD上一点,OPOC,连接 OB 证明: (1)APO+DCO30; (2)OPC是等边三角形; (3)ABAO+AP 【答案】 (1)见解析; (2)见解析; (3)见解析 【解析】 【 分 析 】( 1 ) 利 用 等 边 对 等 角 , 即 可 证 得 : APO=ABO , DCO=DBO , 则APO+DCO=ABO+DBO=

32、ABD,据此即可求解; (2)证明POC=60 且 OP=OC,即可证得OPC是等边三角形; (3)首先证明OPACPE,则 AO=CE,AC=AE+CE=AO+AP 【详解】证明: (1)AB=AC,ADBC, BD=CD,BAD=12BAC=12 120 =60 , OB=OC,ABC=90 -BAD=30 OP=OC, OB=OC=OP, APO=ABO,DCO=DBO, APO+DCO=ABO+DBO=ABD=30 (2)APC+DCP+PBC=180 , APC+DCP=150 , APO+DCO=30 , OPC+OCP=120 , POC=180 -(OPC+OCP)=60 ,

33、OP=OC, OPC是等边三角形 (3)如图,在 AC 上截取 AE=PA,连接 PE, PAE=180 -BAC=60 , APE是等边三角形, PEA=APE=60 ,PE=PA, APO+OPE=60 , OPE+CPE=CPO=60 , APO=CPE, OP=CP, 在OPA 和CPE 中, PAPEAPOCPEOPCP, OPACPE(SAS) , AO=CE, AC=AE+CE=AO+AP 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质,正确作出辅助线是解决问题的关键 24. 已知三角形 ABC 的三个顶点坐标为 A(4,0) ,B

34、(2,0) ,C(1,2) (1)求ABC面积 (2)若ABD与ABC面积相等,且点 D在 y 轴上,求 D 的坐标 【答案】 (1)6, (2) (0,2)或(0,-2) 【解析】 【分析】 (1)过点 C作 CGAB 于 G,根据三角形面积公式计算即可; (2)根据ABD与ABC面积相等,则点 D 纵坐标与点 C的纵坐标绝对值相同即可求 【详解】解: (1)过点 C作 CGAB于 G, 三角形 ABC的三个顶点坐标为 A(4,0) ,B(2,0) ,C(1,2) , AB=2-(-4)=6,CG=2, 116 2622ABCSAB CG g (2)ABD与ABC面积相等, CG=OD=2,

35、 D 的坐标为(0,2)或(0,-2) , 【点睛】 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标, 解题关键是树立数形结合思想,利用点的坐标求线段长 25. 如图,点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边ABC 边 AB、BC 上的动点,点 P 从顶点 A,点 Q 从顶点 B同时出发,且它们的速度都为 1cm/s (1)连接 AQ、CP 交于点 M,则在 P、Q 运动的过程中,CMQ 变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数; (2)请求出何时PBQ 是直角三角形? 【答案】 (1)不变,CMQ=60 ; (2)当第43秒或第83秒时,PBQ 为直角三角形 【解析】 【分析】(1) 先根据全

36、等三角形的判定定理得出ABQCAP, 由全等三角形的性质可知BAQ=ACP,故CMQ=ACP+CAM=BAQ+CAM=BAC=60 ,故可得出结论; (2)设时间为 t 秒,则 AP=BQ=tcm,PB=(4t)cm,当PQB=90 时,因为B=60 ,所以 PB=2BQ,即 4t=2t 故可得出 t 的值,当BPQ=90 时,同理可得 BQ=2BP,即 t=2(4t) ,由此两种情况即可得出结论 【详解】解: (1)不变,CMQ=60 ABC 是等边三角形, 等边三角形中,AB=AC,B=CAP=60 又点 P 从顶点 A,点 Q 从顶点 B 同时出发,且它们的速度都为 1cm/s AP=B

37、Q, ABQCAP(SAS) , BAQ=ACP, CMQ=ACP+CAM=BAQ+CAM=BAC=60 ; (2)设时间为 t 秒,则 AP=BQ=tcm,PB=(4t)cm, 当PQB=90 时, B=60 , PB=2BQ,即 4t=2t,t=43, 当BPQ=90 时, B=60 , BQ=2BP,得 t=2(4t) ,t=83, 当第43秒或第83秒时,PBQ 为直角三角形 26. 在平面直角坐标系 xoy中,点 A(a4,4) ,点 B(a+1,4) ,点 C(-3,0) (1)若 OA=OB,求点 A的坐标 (2)当点 A 到 x 轴、y 轴的距离相等时,在 y 轴上存在点 D,

38、使 AD AC,求点 D的坐标 (3)若ABC是以 AB 为腰的等腰三角形时,求 a的值 【答案】 (1) (-2.5,4) , (2) (0,5)或(0,11) (3)4或-2 或-1 或-7 【解析】 【分析】 (1)根据 OA=OB,可得两点横坐标绝对值相等,列方程可求; (2)根据点 A 到 x轴、y轴的距离相等,求出点 A的坐标,过点 A作坐标轴的垂线,垂足分别为 M、N,证明AMDANC即可求坐标; (3)求出 AB 长,分 AB=AC 和 AB=BC 两种情况,勾股定理列出方程即可 【详解】 (1)OA=OB,点 A(a4,4) ,点 B(a+1,4) , 点 A与点 B重合或关

39、于y轴对称, 当点 A与点 B重合时,a4=a+1,方程无解; 点 A 与点 B 关于y轴对称时,a4+a+1=0,解得 a=1.5, 点 A 的坐标为(-2.5,4) ; (2)点 A 到 x 轴、y 轴的距离相等, 点 A的坐标为(4,4)或(-4,4) ; 当点 A的坐标为(4,4)时, 过点 A作坐标轴的垂线,垂足分别为 M、N, AMD=ANC=90, MAN=90, AD AC, DAC=90, CAN=DAM, AM=AN, AMDANC, DM=CN, 点 C(-3,0) , DM=CN=7, 点 D的坐标为(0,11) , 当点 A的坐标为(-4,4)时, 同理AMDANC, DM=CN=1, 点 D的坐标为(0,5) , 综上,点 D的坐标为(0,5)或(0,11) , (3)点 A(a4,4) ,点 B(a+1,4) , 145ABaa , 当 AB=AC时, 222(43)45a , 解得,14a ,22a ; 当 AB=BC时, 222(1 3)45a , 解得,31a ,47a ; 综上,a的值为 4或-2 或-1 或-7 【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标特征,全等三角形的判定与性质,勾股定理,解题关键是根据题目条件,构建全等,利用点的坐标建立方程