1、第七章 章末复习 一、复数的概念 1复数的相等 两个复数z1abi(a，bR)，z2cdi(c，dR)，并且仅当ac且bd时，z1z2.特别地，当且仅当ab0时，abi0. 2虚数单位i具有幂的周期性 i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30.(nZ) 【自主预习】 3复数是实数的充要条件 (1)zabi(a，bR)Rb0； (2)zRzz； (3)zRz20. 4复数是纯虚数的充要条件 (1)zabi(a，bR)是纯虚数a0，且 b0； (2)z 是纯虚数zz0(z0)； (3)z 是纯虚数z20. 二、复数的运算 1复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、
2、乘、除，加、减法是对应实、虚部相加、减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意 i21. 2 在进行复数的运算时， 不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当 zC 时不总是成立的； (1)(zm)nzmn(m，n 为分数)； (2)zmznmn(z1)； (3)z21z220z1z20； (4)|z|2z2. 专题一 复数的概念 【点拨】 设 zabi(a，bR)，则(1)z 是虚数b0， (2)z 是纯虚数 a0b0，(3)z 是实数b0. 【专题探究】 【例1】复数zlog3(x23x3)ilog2(x3)，当x为何实数时， (1)zR；(2)z为虚
3、数；(3)z为纯虚数 思维点击 本题主要考查复数的分类，由复数的概念易得解法 解 (1)一个复数是实数的充要条件是虚部为 0， x23x30， log2x30. x30 由得 x4，经验证满足式 当 x4 时，zR. (2)一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于 0， x23x30，log2x30，x30.解得 x3 212或x3 212，x3且x4， 即3 212x4 或 x4， 当3 212x4 时，z 为虚数 (3)一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为 0 且虚部不为 0， log3x23x30，log2x30，x30解得 x1或x4，x3且x4.无解 复数 z 不可能是纯虚数 【跟踪训练
4、】 1已知复数z与(z2)28i均为纯虚数，求复数z. 解：设zbi(bR，b0)， 则(z2)28i(2bi)28i(4b2)(4b8)i， (z2)28i为纯虚数，4b20，且4b80. b2.z2i. 【点拨】 对于两个复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，我们规定：abicdi(a，b，c，dR)ac，bd. (1)根据两个复数相等的定义知，在ac，bd两式中，如果有一个不成立，那么abicdi. (2)复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现把复数问题实数化处理，主要根据复数相等建立方程或方程组，通过解方程或方程组，达到
5、解题的目的 专题二 利用复数相等的条件解题 【例2】已知复数z1i，求实数a，b使az2b(a2z)2. 思维点击 复数问题化归为实数问题，是解决复数问题的一种重要思想方法 解 z1i，az2bz(a2b)(a2b)i， (a2z)2(a2)244(a2)i(a24a)4(a2)i. a，b 都是实数， 由 az2bz(a2z)2，得 a2ba24a，a2b4a2， 两式相加，整理得 a26a80， 解得 a12，a24，对应得 b11，b22. 所求实数为 a2，b1 或 a4，b2. 【跟踪训练】 2 i 是虚数单位， 若17i2iabi(a， bR)， 则乘积 ab 的值是( ) A15
6、 B3 C3 D15 解析： 因为17i2i17i2i2i2i13i， 所以 a1，b3，故 ab3. 答案： B 【点拨】 复数的运算是复数中的重要内容，是高考考查的热点，尤其是复数的乘、除法运算，其中融合着复数的模、共轭复数等概念，要求熟悉复数的四则运算法则及常用的运算技巧，高考一般以选择题或填空题的形式考查 专题三 复数的运算 特别提醒：记住以下结论可以提高运算速度 (1i)22i，(1i)22i； 1i1ii，1i1ii； 1ii. 【例3】计算： 思维点击 利用复数的运算法则计算 (1)2i1i212i；(2)45i54i1i. 解 (1)2i1i212i2i2i12i212i12i
7、2. (2)45i54i1i54ii54i1i i1ii1i1i1ii121212i. 【跟踪训练】 3若1i1i21i1i2abi(a，bR)，且 z21abi，求 z. 解： 1i1i21i1i2i1ii1i i1i2i1i21. abi1，z21. i21，(i)21，z i. 【点拨】 复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义以及复数的加减法的几何意义复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法 专题四 复数的几何意义及应用 【例 4】已知 z 是复数，z2i，z2i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面上对应的点在第一象限， 求
8、实数 a 的取值范围 思维点击 可设 zxyi(x，yR)，利用 z2i，z2i是实数求 z，再求 a 的取值范围 解 设 zxyi(x，yR)，则 z2ix(y2)i， z2ixyi2i15(xyi)(2i)15(2xy)15(2yx)i. 由题意知 y20，152yx0， x4，y2，z42i. (zai)24(a2)i2(124aa2)8(a2)i， 由已知得 124aa20，8a20，2a6. 实数 a 的取值范围是(2,6) 【跟踪训练】 4已知点集 Dz|z1 3i|1，zC，试求|z|的最小值和最大值 解：点集 D 的图象为以点 C(1， 3)为圆心，1 为半径的圆，圆上任一点
9、P 对应的复数为 z，则|OP|z|.OC 与圆 C 交于点 A，B，则|z|的最小值是|OA|OC|1 12 321211，即|z|min1，|z|的最大值是|OB|OC|1213，即|z|max3. 1下列四个命题： 两个复数不能比较大小； 若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1； 若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； 纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 其中真命题的个数是( ) A0个 B1个 C2个 D3个 【随堂达标】 解析： 中当这两个复数都是实数时，可以比较大小 由于x，y都是复数，故xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件 若a0，则ai不是纯虚数
10、由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集 答案： A 2在复平面内，复数(2i)2对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析： 利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解 (2i)244ii234i，复数(2i)2在复平面内对应点的坐标为(3，4)，对应的点位于复平面内第四象限 答案： D 3复数32i23i32i23i等于( ) A0 B2 C2i D2i 答案： D 解析： 方法一方法一：32i23i32i23i 32i23i23i23i32i23i23i23i13i1313i132i. 方法二：方法二：32i23i32i2
11、3i32i23i32i23i23i23i 13i13i132i. 4设 a，b 为实数，若复数12iabi1i，则( ) Aa12，b32 Ba3，b1 Ca32，b12 Da1，b3 解析： 由12iabi1i，得 abi12i1i12i1i1i1i3i2， a32，b12. 答案： C 5把复数 z 的共轭复数记作z，i 为虚数单位若 z1i， 则(1z) z_. 解析： (1z) zz|z|21i23i. 答案： 3i 6设复数z满足(1i)z2i，则z_. 答案： 1i 解析： 先设出复数 zabi，然后运用复数相等的充要条件求出 a，b 的值 设 zabi，则(1i)(abi)2i，
12、即(ab)(ba)i2i. 根据复数相等的充要条件得 ab0，ba2，解得 a1，b1， z1i. 7已知复数z1满足(z12)i1i，复数z2的虚部为2，且z1z2为实数，求z2. 解：由(z12)i1i，得 z121ii(1i)(i)1i， z13i.设 z2x2i(xR)， 则 z1 z2(3i)(x2i)3x2(6x)i 为实数， x6，z262i. 8已知 zai1i(aR 且 a0)，复数 z(zi)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数 的模 解：把 zai1i(a0)代入 中， 得 ai1iai1ii a12aa12i. 由aa12a1232，得 a24. 又 a0，所以 a2，所以|323i 325.