1、8.6.3 平面与平面垂直(二) 【课标要求】 知识点 平面与平面垂直的性质定理 【知识导学】 平面与平面垂直的其他性质与结论 (1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内即 ，A，Ab，bb. (2)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面即 ，. 【新知拓展】 (3)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内即 ，bb 或 b. (4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即 l，l. (5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直，即 ，l，m，nlm，mn，l
2、n. 1判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)如果两个平面垂直， 那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面 ( ) (2)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内( ) (3)平面 平面 ，平面 平面 ，则平面 平面 .( ) 【基础自测】 2做一做 (1)在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，已知平面 AA1C1C平面 ABCD，且 ABBC，ADCD，则 BD 与 CC1( ) A平行 B共面 C垂直 D不垂直 (2)如图所示，平面 平面 ，l，点 A平面 ，ABl，垂足为 B，C平面 ，若 AB3，BC4，则 AC_. 答案 (1)C (2)5
3、 题型一 面面垂直性质的应用 例 1 如图所示， P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点， 四边形 ABCD是DAB60 且边长为 a 的菱形侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD. (1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG平面 PAD； (2)求证：ADPB. 【题型探究】 证明 (1)如图，连接 PG，BD， 四边形 ABCD 是菱形且DAB60 ，ABD 是正三角形， G 为 AD 的中点，BGAD. 又平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCDAD， BG平面 ABCD，BG平面 PAD. (2)由(1)可知 BGAD，由 PAD 为正三角形， G
4、 为 AD 的中点，PGAD. 又 PGBGG，AD平面 PBG，ADPB. 【规律方法】 应用面面垂直证明线面垂直应注意的问题 (1)证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点： 两个平面垂直； 直线必须在其中一个平面内； 直线必须垂直于它们的交线 (2)在应用线面平行、垂直的判定和性质定理证明有关问题时，在善于运用转化思想的同时，还应注意寻找线面平行、垂直所需的条件 【跟踪训练 1】 如图， 在三棱锥 VABC 中， 平面 VAB平面 ABC，
5、VAB 为等边三角形，ACBC 且 ACBC 2，O，M 分别为 AB，VA 的中点 (1)求证：VB平面 MOC； (2)求证：平面 MOC平面 VAB； (3)求三棱锥 VABC 的体积 解 (1)证明：O，M 分别为 AB，VA 的中点，OMVB. VB平面 MOC，OM平面 MOC，VB平面 MOC. (2)证明：ACBC，O 为 AB 的中点，OCAB. 又平面 VAB平面 ABC，且平面 VAB平面 ABCAB， OC平面 ABC，OC平面 VAB. OC平面 MOC，平面 MOC平面 VAB. (3)在等腰直角ACB 中，ACBC 2， AB2，OC1，SVAB34AB2 3.
6、OC平面 VAB， V三棱锥CVAB13OC SVAB13 1 333， V三棱锥VABCV三棱锥CVAB33. 题型二 线面垂直与面面垂直的综合应用 例 2 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是DAB60 且边长为a 的菱形，侧面 PAD 为正三角形，且其所在平面垂直于底面 ABCD. (1)求证：ADPB； (2)若 E 为 BC 边的中点，则能否在棱上找到一点 F，使平面 DEF平面ABCD？并证明你的结论 解 (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，如图 PAD 为正三角形，PGAD. 在菱形 ABCD 中，DAB60 ，G 为 AD 的中点，BGAD.
7、又 BGPGG，AD平面 PGB. PB平面 PGB，ADPB. (2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF平面 ABCD. 证明如下： 在PBC 中，FEPB，在菱形 ABCD 中，GBDE. 又 FE平面 DEF，DE平面 DEF，EFDEE， PB平面 PGB，GB平面 PGB，PBGBB， 平面 DEF平面 PGB. 由(1)得 PG平面 ABCD，而 PG平面 PGB， 平面 PGB平面 ABCD，平面 DEF平面 ABCD. 【规律方法】 (1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的它们之间的转化关系如下： 线线垂直判定定理线面
8、垂直定义线面垂直判定定理性质定理面面垂直 (2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题 【跟踪训练 2】 如图，A，B，C，D 为空间四点，在ABC 中，AB2，ACBC 2，等边三角形 ADB 以 AB 为轴转动 (1)当平面 ADB平面 ABC 时，求 CD； (2)当ADB 转动时，是否总有 ABCD？证明你的结论 解 (1)如图，取 AB 的中点 E，连接 DE，CE， 因为ADB
9、是等边三角形，所以 DEAB. 当平面 ADB平面 ABC 时， 因为平面 ADB平面 ABCAB，所以 DE平面 ABC， 又 CE平面 ABC，所以 DECE. 由已知可得 DE 3，EC1. 在 RtDEC 中，CD DE2EC22. (2)当ADB 以 AB 为轴转动时，总有 ABCD. 证明：当 D 在平面 ABC 内时，因为 ACBC，ADBD， 所以 C，D 都在线段 AB 的垂直平分线上，即 ABCD. 当 D 不在平面 ABC 内时，由(1)知 ABDE. 又因为 ACBC，所以 ABCE. 又因为 DE，CE 为相交直线，所以 AB平面 CDE. 由 CD平面 CDE，得
10、ABCD. 综上所述，总有 ABCD. 1若 ，l，点 P，Pl，则下列命题中正确的为( ) 过点 P 垂直于 l 的平面垂直于 ； 过点 P 垂直于 l 的直线垂直于 ； 过点 P 垂直于 的直线平行于 ； 过点 P 垂直于 的直线在 内 A B C D 【随堂达标】 解析 当过点 P 垂直于 l 的直线不在 内时，l 与 不垂直，故不正确；正确 答案 D 2已知直线 m，n 和平面 ，若 ，m，n，要使n，则应增加的条件是( ) Amn Bnm Cn Dn 解析 根据平面与平面垂直的性质定理判断已知直线 m，n 和平面，若 ，m，n，应增加条件 nm，才能使 n. 答案 B 3如图，四边形
11、 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45 ，BAD90 ，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成几何体 ABCD，则在几何体 ABCD 中，下列结论正确的是( ) A平面 ABD平面 ABC B平面 ADC平面 BDC C平面 ABC平面 BDC D平面 ADC平面 ABC 解析 由已知得 BAAD，CDBD，又平面 ABD平面 BCD，CD平面 ABD，从而 CDAB，故 AB平面 ADC.又 AB平面 ABC，平面 ABC平面 ADC. 答案 D 4如图，在三棱锥 PABC 内，侧面 PAC底面 ABC，且PAC90 ，PA1，AB2，则 PB_. 解析 因为侧面
12、 PAC底面 ABC， 交线为 AC， PAC90 (即 PAAC)，所以 PA平面 ABC， 所以 PAAB， 所以 PB PA2AB2 14 5. 答案 5 5如图所示，在三棱锥 PABC 中，E，F 分别为 AC，BC 边的中点 (1)求证：EF平面 PAB； (2)若平面 PAC平面 ABC，且 PAPC，ABC90 .求证：平面 PEF平面 PBC. 证明 (1)E，F 分别为 AC，BC 边的中点，EFAB. 又 EF平面 PAB，AB平面 PAB，EF平面 PAB. (2)PAPC，E 为 AC 的中点，PEAC. 又平面 PAC平面 ABC, PE平面 PAC， PE平面 ABC，PEBC. 又 F 为 BC 的中点，EFAB. ABC90 ，ABBC，BCEF. EFPEE，BC平面 PEF. BC平面 PBC，平面 PEF平面 PBC.