1、第八章 章末复习 【知识系统整合】 1对于简单的空间几何体，要注意从表示法、分类、结构特征三个方面入手，抓住各几何体之间的相互关系，多观察、模仿课本中的立体图形，画好空间几何体的直观图 2在本章学习中要注意掌握“还台为锥”的解题思想和“化曲(折)为直”(将几何体表面展开铺平)的思想方法，以用来求解表面两点间距离最短问题 【规律方法收藏】 3直线和平面垂直的判定定理可简化为“线线垂直，则线面垂直”这里的“线线”指的是“一条直线和平面内的两条相交直线”；“线面”则是指这条直线和两条相交直线所在的平面判定定理告诉我们，要证明直线和平面垂直，只需在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直即可 4判定
2、线面垂直的方法，主要有三种：利用定义；利用判定定理；与平行关系联合运用，即若 ab，且 a，则 b. 5两平面相交成直二面角时，两平面垂直作为二面角，除了本身所包含的问题外，它又是两个平面垂直定义的基础同异面直线所成的角、直线和平面所成的角相比，二面角又是多种知识的交汇点，因此它必是每年高考重点考查的内容之一对于本节内容及相关问题应引起足够重视 6二面角的平面角必须具备三个条件：角的顶点在二面角的棱上；角的两边分别在二面角的两个半平面内；角的两条边分别与二面角的棱垂直准确、恰当地作出二面角的平面角， 是解答有关二面角问题的关键 作二面角的平面角通常有三种方法：定义法这里要注意角的顶点的恰当选取
3、；垂面法；垂线法当二面角的棱未给出时，首先要作出二面角的棱，再利用上述办法作出平面角 7面面垂直的判定方法有两种：一是利用面面垂直的定义找到二面角的平面角，证明该角为直角；二是利用面面垂直的判定定理 8转化思想是解立体几何最常用的数学思想，本章涉及的垂直问题的证明通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，同时，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化 一、空间几何体的结构特征 1空间几何体的结构特征是立体几何图形认识的基础，理解时要从其几何体的本质去把握，多面体中常见的棱柱、棱锥和棱台既有必然的联系，也有本质的区别 2旋转体是由一个平面封闭图形绕一条轴旋转形成的，一定
4、要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转形成的，从而可以掌握旋转体中各元素之间的关系，也就掌握了它们各自的性质 【学科思想培优】 典例 1 给出下列四个命题： 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； 棱柱的上下底面全等； 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 解析 不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；正确；错误当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱
5、台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等 答案 B 二、空间几何体的直观图 空间几何体的直观图是空间几何体的表现形式， 是学好空间几何的基础和关键，只有正确作出空间几何体的直观图，才能分析其中各元素及各组成部分之间的关系 典例 2 画出如图所示的四边形 OABC 的直观图(已知 OCAD2，OD3，OB4，OCOB，ADOB) 解 以 O 为原点，OB 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系 xOy，如图 1. 作COB45 ，其中 OB是水平的，OB4，OD3，OC1， 过 D作BDA135 ，使 AD1，顺次连接 OA，AB，BC， 所得四边形 O
6、ABC即为四边形 OABC 的直观图，如图 2. 三、空间几何体的体积与表面积 几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用割补法、构造法是常用的技巧 典例 3 已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90 ，C为该球面上的动点若三棱锥 OABC 的体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为多少？ 解 如图所示， 当点 C 位于垂直于平面 OAB 的直径顶
7、端时，三棱锥 OABC 的体积最大 设球 O 的半径为 R，此时 VOABCVCOAB1312R2 RR3636. R6，球 O 的表面积为 S4R2144. 四、空间中的位置关系 1空间中两直线的位置关系 相交平行异面 2空间中线与面的位置关系 线在面内线面平行线面相交 3两个平面的位置关系 平行相交 典例 4 已知 m，n 是不同的直线 ， 是两个不重合的平面 给出下列结论： 若 m，则 m 平行于平面 内任意一条直线； 若 ，m，n，则 mn； 若 m，n，mn，则 ； 若 ，m，则 m. 其中正确的结论的序号是_(写出所有正确结论的序号) 解析 若 m， 则 m 平行于过 m 的平面与
8、 相交的交线， 并非所有的直线，故错误；若 ，m，n，则可能 mn，也可能 m，n 异面，故错误正确 答案 五、平行问题 立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由基本事实 4 和面面平行的性质定理可以证明线线平行， 由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行；根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等；二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可证明线面平行；三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行；由面面平行可以得出线面平行和线线平行平行关系的转化是： 典例 5 如图， 四棱锥 PABC
9、D 中， PA底面 ABCD， ADBC，ABADAC3， PABC4， M 为线段 AD 上一点， AM2MD，N 为 PC 的中点 (1)证明：MN平面 PAB； (2)求四面体 NBCM 的体积 解 (1)证明：由已知得 AM23AD2. 如图，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN， 由 N 为 PC 的中点知 TNBC，TN12BC2. 又 ADBC，故 TN 綊 AM， 所以四边形 AMNT 为平行四边形，所以 MNAT. 因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB. (2)因为 PA平面 ABCD，N 为 PC 的中点， 所以 N 到平面 ABCD 的距离为
10、12PA. 如图，取 BC 的中点 E，连接 AE. 由 ABAC3 得 AEBC，AE AB2BE2 5. 由 AMBC 得 M 到 BC 的距离为 5， 故 SBCM12 4 52 5. 所以四面体 NBCM 的体积 VNBCM13 SBCMPA24 53. 六、垂直问题 1空间中垂直关系的相互转化 2判定线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理； (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”； (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”； (4)利用面面垂直的性质 3判定线线垂直的方法 (1)平面几何中证明线线垂直的方法； (2)线
11、面垂直的性质：a，bab； (3)线面垂直的性质：a，bab. 4判断面面垂直的方法 (1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a，a. 典例 6 如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， A1B1A1C1， D，E 分别是棱 BC，CC1上的点(点 D 不同于点 C)，且 ADDE，F 为 B1C1的中点求证： (1)平面 ADE平面 BCC1B1； (2)直线 A1F平面 ADE. 证明 (1)因为 ABCA1B1C1是直三棱柱， 所以 CC1平面 ABC. 又 AD平面 ABC，所以 CC1AD. 又因为 ADDE，CC1平面 BCC1B1，DE平面 BC
12、C1B1， CC1DEE，所以 AD平面 BCC1B1. 又 AD平面 ADE，所以平面 ADE平面 BCC1B1. (2)因为 A1B1A1C1，F 为 B1C1的中点， 所以 A1FB1C1. 因为 CC1平面 A1B1C1，且 A1F平面 A1B1C1， 所以 CC1A1F. 又因为 CC1，B1C1平面 BCC1B1，CC1B1C1C1， 所以 A1F平面 BCC1B1. 由(1)知 AD平面 BCC1B1，所以 A1FAD. 又 AD平面 ADE，A1F平面 ADE， 所以 A1F平面 ADE. 七、线线角、线面角和二面角问题 1 两条异面直线所成的角的范围是0，2.找两条异面直线所
13、成的角， 关键是选取合适的点，引两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角特别地，两条异面直线垂直，可由线面垂直得到 2 直线和平面所成的角的范围是0，2.找线面角的关键是找到直线与其在平面内的射影的夹角当线面角为 0 时，直线与平面平行或直线在平面内；当线面角为 90 时，直线与平面垂直 3如果求两个相交平面所成的二面角除垂直外，均有两个答案，即 或 180 .具体几何体中， 由题意和图形确定 作二面角的平面角时，首先要确定二面角的棱，然后结合题设构造二面角的平面角一般常用：(1)定义法；(2)垂面法 4求角度问题时，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所
14、成的角的问题求角度的解题步骤：(1)找出这个角；(2)证该角符合题意；(3)构造出含这个角的三角形，解这个三角形，求出角 典例 7 如图，PD平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形， PDDC2，BC2 2. (1)求 PB 与平面 ADC 所成角的大小； (2)求异面直线 PC，BD 所成角的正弦值 解 (1)因为 PD平面 ABCD， 所以PBD 即为 PB 与平面 ADC 所成的角 因为四边形 ABCD 是矩形，所以 BCDC， 所以 BD2 3，tanPBDPDBD33，所以PBD30 ， 即 PB 与平面 ADC 所成角的大小为 30 . (2)取 PA 的中点 G，连接 OG，D
15、G，如图 显然 OGPC， 所以DOG(或其补角)即为异面直线 PC， BD 所成的角 因为 OG12PC 2，OD12BD 3，DG12PA 3， 所以OGD 是等腰三角形， 作底边的高，易求出 sinDOG306， 所以异面直线 PC，BD 所成角的正弦值为306. 典例 8 如图，在圆锥 PO 中，已知 PO底面O，PO 2，O 的直径 AB2，C 是的中点，D 为 AC 的中点 (1)证明：平面 POD平面 PAC； (2)求二面角 BPAC 的余弦值. 解 (1)证明：如图，连接 OC. PO底面O，AC底面O，ACPO. OAOC，D 是 AC 的中点，ACOD. 又 ODPOO，
16、AC平面 POD. 又 AC平面 PAC，平面 POD平面 PAC. (2)在平面 POD 中，过点 O 作 OHPD 于点 H. 由(1)知，平面 POD平面 PAC，且交线为 PD， OH平面 POD，OH平面 PAC. 又 PA平面 PAC，PAOH. 在平面 PAO 中，过点 O 作 OGPA 于点 G，连接 HG， 则有 PA平面 OGH，PAHG. 故OGH 为二面角 BPAC 的平面角 C 是的中点，AB 是直径，OCAB. 在 RtODA 中，ODOA sin45 22. 在 RtPOD 中，OHPO ODPDPO ODPO2OD2222212105. 在 RtPOA 中，OGPO OAPAPO OAPO2OA22 12163. 又 GH平面 PAC，OHGH. 在 RtOHG 中，sinOGHOHOG10563155. cosOGH 1sin2OGH11525105. 故二面角 BPAC 的余弦值为105.