1、8.5.3 平面与平面平行 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理， 并能应用这两个定理解决问题(重点) 2平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用(难点) 1.通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习， 培养直观想象的核心素养 2借助平行关系的综合问题，提升逻辑推理的核心素养. 1平面与平面平行的判定 (1)文字语言：如果一个平面内的两条 直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 (2)符号语言：a，b， ，a，b. abP 相交 【自主预习】 (3)图形语言：如图所示 2平面与平面平行的性质定理 (1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两
2、个平面相交，那么两条交线 (2)符号语言：，a， ab. b 平行 (3)图形语言：如图所示 (4)作用：证明两直线 平行 思考：如果两个平面平行，那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗？ 提示 不一定它们可能异面 1已知平面 内的两条直线 a，b，a，b，若要得出平面 平面 ， 则直线 a，b 的位置关系是( ) A相交 B平行 C异面 D垂直 A 根据面面平行的判定定理可知 a，b 相交 【基础自测】 2平面 与圆台的上、下底面分别相交于直线 m，n，则 m，n 的位置关系是( ) A平行 B相交 C异面 D平行或异面 A 因为圆台的上、 下底面互相平行， 所以由平面与平面平行的性质定理可
3、知 mn. 3已知平面 平面 ，直线 l，则( ) A. l B. l C. l 或 l D. l, 相交 C 假设 l 与 相交，又 ，则 l 与 相交，与 l 矛盾，则假设不成立，则 l 或 l. 4已知长方体 ABCD- ABCD，平面 平面 ABCDEF，平面 平面 ABCDEF，则 EF 与 EF的位置关系是( ) A平行 B相交 C异面 D不确定 A 由面面平行的性质定理易得 类型一 平面与平面平行的判定 【例 1】 如图，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中， M、E、F、N 分别是 A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点 求证：(1)E、F、B、D 四点共面； (2)
4、平面 MAN平面 EFDB. 【合作探究】 思路探究 (1)欲证 E、F、B、D 四点共面， 需证 BDEF 即可 (2)要证平面 MAN平面 EFDB， 只需证 MN平面 EFDB，AN平面 BDFE 即可 解 (1)连接 B1D1， E、F 分别是边 B1C1、C1D1的中点，EFB1D1. 而 BDB1D1，BDEF，E、F、B、D 四点共面 (2)易知 MNB1D1，B1D1BD，MNBD. 又 MN平面 EFDB，BD平面 EFDB，MN平面 EFDB. 连接 MF，M、F 分别是 A1B1、C1D1的中点， MFA1D1，MFA1D1，MFAD 且 MFAD. 四边形 ADFM 是
5、平行四边形，AMDF. 又 AM平面 BDFE，DF平面 BDFE，AM平面 BDFE. 又AMMNM，平面 MAN平面 EFDB. 【规律方法】 平面与平面平行的判定方法： (1)定义法：两个平面没有公共点 (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面 (3)转化为线线平行： 平面 内的两条相交直线与平面 内的两条相交直线分别平行，则 . (4)利用平行平面的传递性：若 ，则 . 【跟踪训练】 1如图所示，在四棱锥 P- ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形点M，N，Q 分别在 PA，BD，PD 上，且 PMMABNNDPQQD.求证：平面 MNQ平面 PBC. 证明
6、PMMABNNDPQQD，MQAD，NQBP. 又BP平面 PBC，NQ平面 PBC，NQ平面 PBC. 四边形 ABCD 为平行四边形，BCAD，MQBC. 又BC平面 PBC，MQ平面 PBC，MQ平面 PBC. 又MQNQQ，平面 MNQ平面 PBC. 类型二 平面与平面平行的性质 探究问题 1平面与平面平行性质定理的条件有哪些？ 提示 必须具备三个条件： 平面 和平面 平行，即 ； 平面 和 相交，即 a； 平面 和 相交，即 b. 以上三个条件缺一不可 2线线、线面、面面平行之间有什么联系？ 提示 联系如下： 【例 2】 如图，已知平面 平面 ，P 且 P，过点 P 的直线m 与 、
7、 分别交于 A、C，过点 P 的直线 n 与 、 分别交于 B、D，且 PA6，AC9，PD8，求 BD 的长 解 因为 ACBDP， 所以经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD， 因为 ，平面 PCDAB，平面 PCDCD， 所以 ABCD. 所以PAACPBBD，即698BDBD，所以 BD245. 母题探究 1. 将本例改为：已知平面 ，两条直线 l、m 分别与平面 、相交于点 A、B、C 与 D、E、F.已知 AB6，DEDF25，则 AC . 15 由题可知DEDFABACACDFDE AB52615. 2将本例改为：若点 P 在平面 ， 之间(如图所示)，其他条件不变，试求
8、BD 的长 解 与本例同理，可证 ABCD. 所以PAPCPBPD，即63BD88，所以 BD24. 3将本例改为：已知三个平面 、 满足 ，直线 a与这三个平面依次交于点 A、B、C，直线 b 与这三个平面依次交于点 E、F、G. 求证：ABBCEFFG. 证明 连接 AG 交 于 H，连 BH、FH、AE、CG. 因为 ，平面 ACGBH，平面 ACGCG， 所以 BHCG.同理 AEHF，所以ABBCAHHGEFFG. 【规律方法】 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤： 类型三 平行关系的综合应用 【例 3】 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P是平面 ABCD 外一点，M
9、 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH. 求证：GH平面 PAD. 证明 如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO. ABCD 是平行四边形，O 是 AC 的中点， 又 M 是 PC 的中点，PAMO， 而 AP平面 BDM，OM平面 BDM， PA平面 BMD， 又PA平面 PAHG， 平面 PAHG平面 BMDGH， PAGH. 又 PA平面 PAD，GH平面 PAD， GH平面 PAD. 【规律方法】 1证明直线与直线平行的方法 (1)平面几何中证明直线平行的方法如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同
10、一直线的两条直线互相平行等 (2)基本事实 4. (3)线面平行的性质定理 (4)面面平行的性质定理 2. 证明直线与平面平行的方法： (1)线面平行的判定定理 (2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 【跟踪训练】 2如图，三棱锥 A- BCD 被一平面所截，截面为平行四边形 EFGH. 求证：CD平面 EFGH. 证明 由于四边形 EFGH 是平行四边形， EFGH. EF平面 BCD，GH平面 BCD， EF平面 BCD.又EF平面 ACD， 平面 ACD平面 BCDCD，EFCD. 又EF平面 EFGH，CD平面 EFGH， CD平面 EFGH. 1三种平行关系
11、的转化. 【课堂小结】 2常用的面面平行的其他几个性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等 (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例 (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行 1判断正误 (1) 内有无数多条直线与 平行，则 .( ) (2)直线 a，a.则 .( ) (3)直线 a，直线 b，且 a，b，则 .( ) (3) 内的任何直线都与 平行，则 .( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 【当堂达标】 2a，b，则 a
12、 与 b 位置关系是( ) A平行 B异面 C相交 D平行或异面或相交 D 如图所示，a 与 b 的关系分别是平行、异面或相交 3若平面 平面 ，直线 a，点 M，过点 M 的所有直线中( ) A不一定存在与 a 平行的直线 B只有两条与 a 平行的直线 C存在无数条与 a 平行的直线 D有且只有一条与 a 平行的直线 D 由于 ，a，M，过 M 有且只有一条直线与 a 平行，故 D 项正确 4用一个平面去截三棱柱 ABC- A1B1C1，交 A1C1，B1C1，BC，AC 分别于点 E，F，G，H.若 A1AA1C1，则截面的形状可以为 (填序号) 一般的平行四边形；矩形；菱形；正方形；梯形 当 FGB1B 时，四边形 EFGH 为矩形；当 FG 不与 B1B平行时，四边形 EFGH 为梯形 5如图，在四面体 ABCD 中，点 E，F 分别为棱 AB，AC 上的点，点 G 为棱 AD 的中点，且平面 EFG平面 BCD. 求证：BC2EF. 证明 因为平面 EFG平面 BCD， 平面 ABD平面 EFGEG， 平面 ABD平面 BCDBD，所以 EGBD， 又 G 为 AD 的中点，故 E 为 AB 的中点， 同理可得，F 为 AC 的中点， 所以 BC2EF.